hipersuperficie

En geometría , una hipersuperficie es una generalización de los conceptos de hiperplano , curva plana y superficie . Una hipersuperficie es una variedad o variedad algebraica de dimensión $n - 1$ , que está incrustada en un espacio ambiental de dimensión $n$ , generalmente un espacio euclidiano , un espacio afín o un espacio proyectivo . ^[1] Las hipersuperficies comparten, con las superficies en un espacio tridimensional , la propiedad de estar definidas por una única ecuación implícita , al menos localmente (cerca de cada punto) y, a veces, globalmente.

Una hipersuperficie en un espacio (euclidiano, afín o proyectivo) de dimensión dos es una curva plana. En un espacio de dimensión tres, es una superficie.

Por ejemplo, la ecuación

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}-1=0

define una hipersuperficie algebraica de dimensión $n - 1$ en el espacio euclidiano de dimensión $n$ . Esta hipersuperficie también es una variedad suave y se llama hiperesfera o $(n - 1)$ -esfera .

Hipersuperficie suave

Una hipersuperficie que es una variedad lisa se llama hipersuperficie lisa .

En $R n$ , una hipersuperficie suave es orientable . ^[2] Cada hipersuperficie lisa compacta conectada es un conjunto de niveles y separa R ⁿ en dos componentes conectados; esto está relacionado con el teorema de separación de Jordan-Brouwer . ^[3]

Hipersuperficie algebraica afín

Una hipersuperficie algebraica es una variedad algebraica que puede definirse mediante una única ecuación implícita de la forma

p(x_{1},\ldots,x_{n})=0,

donde $p$ es un polinomio multivariado . Generalmente se supone que el polinomio es irreducible . Cuando no es así, la hipersuperficie no es una variedad algebraica, sino sólo un conjunto algebraico . Puede depender de los autores o del contexto si un polinomio reducible define una hipersuperficie. Para evitar ambigüedades, a menudo se utiliza el término hipersuperficie irreducible .

En cuanto a las variedades algebraicas, los coeficientes del polinomio definitorio pueden pertenecer a cualquier campo fijo $k$ , y los puntos de la hipersuperficie son los ceros de $p$ en el espacio afín donde $K$ es una extensión algebraicamente cerrada de $k$ . $K^{n},$

Una hipersuperficie puede tener singularidades , que son los ceros comunes, si los hay, del polinomio definitorio y sus derivadas parciales. En particular, una hipersuperficie algebraica real no es necesariamente una variedad.

Propiedades

Las hipersuperficies tienen algunas propiedades específicas que no se comparten con otras variedades algebraicas.

Una de las principales propiedades de este tipo es Nullstellensatz de Hilbert , que afirma que una hipersuperficie contiene un conjunto algebraico dado si y sólo si el polinomio definitorio de la hipersuperficie tiene una potencia que pertenece al ideal generado por los polinomios definitorios del conjunto algebraico.

Un corolario de este teorema es que, si dos polinomios irreducibles (o más generalmente dos polinomios libres de cuadrados ) definen la misma hipersuperficie, entonces uno es el producto del otro por una constante distinta de cero.

Las hipersuperficies son exactamente las subvariedades de dimensión $n - 1$ de un espacio afín de dimensión de $n$ . Ésta es la interpretación geométrica del hecho de que, en un anillo polinómico sobre un campo, la altura de un ideal es 1 si y sólo si el ideal es un ideal principal . En el caso de hipersuperficies posiblemente reducibles, este resultado puede reformularse de la siguiente manera: las hipersuperficies son exactamente los conjuntos algebraicos cuyos componentes irreducibles tienen dimensión $n - 1$ .

Puntos reales y racionales.

Una hipersuperficie real es una hipersuperficie definida por un polinomio con coeficientes reales . En este caso el cuerpo algebraicamente cerrado sobre el que se definen los puntos es generalmente el cuerpo de números complejos . Los puntos reales de una hipersuperficie real son los puntos que pertenecen a El conjunto de los puntos reales de una hipersuperficie real es la parte real de la hipersuperficie. A menudo, queda en manos del contexto si el término hipersuperficie se refiere a todos los puntos o sólo a la parte real. $\mathbb {C}$ $\mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {C} ^{n}.$

Si los coeficientes del polinomio definitorio pertenecen a un campo $k$ que no es algebraicamente cerrado (típicamente el campo de números racionales , un campo finito o un campo numérico ), se dice que la hipersuperficie está definida sobre $k$ , y los puntos que pertenecen a son racionales sobre $k$ (en el caso del campo de números racionales, "sobre $k$ " generalmente se omite). $k^{n}$

$Por ejemplo, la n$ -esfera imaginaria definida por la ecuación

x_{0}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+1=0

es una hipersuperficie real sin ningún punto real, que se define sobre los números racionales. No tiene ningún punto racional, pero tiene muchos puntos que son racionales sobre los racionales gaussianos .

Hipersuperficie algebraica proyectiva

Una hipersuperficie proyectiva (algebraica) de dimensión $n - 1$ en un espacio proyectivo de dimensión $n$ sobre un campo $k$ está definida por un polinomio homogéneo en $n$ $+ 1$ indeterminados. Como de costumbre, polinomio homogéneo significa que todos los monomios de $P$ tienen el mismo grado o, de manera equivalente, para cada constante $c$ , donde $d$ es el grado del polinomio. Los puntos de la hipersuperficie son los puntos del espacio proyectivo cuyas coordenadas proyectivas son ceros de $P.$ $P(x_{0},x_{1},\ldots,x_{n})$ $P(cx_{0},cx_{1},\ldots,cx_{n})=c^{d}P(x_{0},x_{1},\ldots,x_{n})$

Si uno elige el hiperplano de la ecuación como hiperplano en el infinito , el complemento de este hiperplano es un espacio afín , y los puntos de la hipersuperficie proyectiva que pertenecen a este espacio afín forman una hipersuperficie afín de la ecuación . Por el contrario, dada una hipersuperficie afín de la ecuación , define una hipersuperficie proyectiva, llamada su terminación proyectiva , cuya ecuación se obtiene homogeneizando $p$ . Es decir, la ecuación de la terminación proyectiva es con $x_{0}=0$ $P(1,x_{1},\ldots,x_{n})=0.$ $p(x_{1},\ldots,x_{n})=0,$ $P(x_{0},x_{1},\ldots,x_{n})=0,$

P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{0}^{d}p(x_{1}/x_{0},\ldots ,x_{n }/x_ {0}),

donde $d$ es el grado de $P$ .

Estos dos procesos de finalización proyectiva y restricción a un subespacio afín son inversos entre sí. Por lo tanto, una hipersuperficie afín y su terminación proyectiva tienen esencialmente las mismas propiedades y, a menudo, se consideran dos puntos de vista para la misma hipersuperficie.

Sin embargo, puede ocurrir que una hipersuperficie afín sea no singular , mientras que su terminación proyectiva tenga puntos singulares. En este caso, se dice que la superficie afín es singular en el infinito . Por ejemplo, el cilindro circular de la ecuación

x^{2}+y^{2}-1=0

en el espacio afín de dimensión tres tiene un único punto singular, que está en el infinito, en la dirección $x = 0, y = 0$ .

Ver también

Referencias

^ Lee, Jeffrey (2009). "Curvas e hipersuperficies en el espacio euclidiano". Colectores y Geometría Diferencial . Providencia: Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 143–188. ISBN 978-0-8218-4815-9.
^ Hans Samelson (1969) "Orientabilidad de hipersuperficies en Rn", Actas de la American Mathematical Society 22(1): 301,2
^ Lima, Elon L. (1988). "El teorema de separación de Jordan-Brouwer para hipersuperficies lisas". El Mensual Matemático Estadounidense . 95 (1): 39–42. doi :10.1080/00029890.1988.11971963.

"Hypersurface", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Shoshichi Kobayashi y Katsumi Nomizu (1969), Fundamentos de la geometría diferencial Vol II, Wiley Interscience
PA Simionescu y D. Beal (2004) Visualización de hipersuperficies y funciones multivariables (objetivas) mediante globalización parcial, The Visual Computer 20(10):665–81.