En matemáticas , el teorema de Krull-Schmidt establece que un grupo sometido a ciertas condiciones de finitud en cadenas de subgrupos , puede escribirse de forma única como un producto directo finito de subgrupos indecomponibles.
Decimos que un grupo G satisface la condición de cadena ascendente (CCA) en subgrupos si cada secuencia de subgrupos de G :
es eventualmente constante, es decir, existe N tal que G N = G N +1 = G N +2 = ... . Decimos que G satisface la ACC en subgrupos normales si cada secuencia de subgrupos normales de G eventualmente se vuelve constante.
De la misma manera, se puede definir la condición de cadena descendente en subgrupos (normales), observando todas las secuencias decrecientes de subgrupos (normales):
Claramente, todos los grupos finitos satisfacen tanto ACC como DCC en subgrupos. El grupo cíclico infinito satisface ACC pero no DCC, ya que (2) > (2) 2 > (2) 3 > ... es una secuencia infinita decreciente de subgrupos. Por otra parte, la parte de torsión de (el grupo p cuasicicíclico ) satisface DCC pero no ACC.
Decimos que un grupo G es indescomponible si no puede escribirse como un producto directo de subgrupos no triviales G = H × K .
Si es un grupo que satisface tanto ACC como DCC en subgrupos normales, entonces hay exactamente una forma de escribir como un producto directo de un número finito de subgrupos indecomponibles de . Aquí, la unicidad significa que las descomposiciones directas en subgrupos indecomponibles tienen la propiedad de intercambio. Es decir: supongamos que es otra expresión de como un producto de subgrupos indecomponibles. Entonces y hay una reindexación de la que satisface
Demostrar la existencia es relativamente sencillo: sea S el conjunto de todos los subgrupos normales que no pueden escribirse como un producto de subgrupos indecomponibles. Además, cualquier subgrupo indecomponible es (trivialmente) el producto directo de sí mismo, por lo tanto descomponible. Si Krull-Schmidt falla, entonces S contiene G ; por lo tanto, podemos construir iterativamente una serie descendente de factores directos; esto contradice la DCC. Uno puede entonces invertir la construcción para mostrar que todos los factores directos de G aparecen de esta manera. [1]
La prueba de unicidad, por otra parte, es bastante larga y requiere una serie de lemas técnicos. Para una exposición completa, véase [2] .
El teorema no afirma la existencia de una descomposición no trivial , sino simplemente que dos descomposiciones (si existen) son la misma.
Una descomposición de Remak , introducida por Robert Remak , [3] es una descomposición de un grupo abeliano u objeto similar en una suma directa finita de objetos indecomponibles. El teorema de Krull-Schmidt proporciona condiciones para que exista una descomposición de Remak y para que sus factores sean únicos.
Si es un módulo que satisface la ACC y la DCC sobre submódulos (es decir, es tanto noetheriano como artiniano o, equivalentemente, de longitud finita ), entonces es una suma directa de módulos indecomponibles . Salvo una permutación, los componentes indecomponibles en dicha suma directa están determinados de forma única hasta el isomorfismo. [4]
En general, el teorema falla si sólo se supone que el módulo es noetheriano o artiniano. [5]
El teorema de Krull-Schmidt actual fue demostrado por primera vez por Joseph Wedderburn ( Ann. of Math (1909)), para grupos finitos, aunque menciona que parte del crédito se debe a un estudio anterior de GA Miller donde se consideraron productos directos de grupos abelianos. El teorema de Wedderburn se enuncia como una propiedad de intercambio entre descomposiciones directas de longitud máxima. Sin embargo, la prueba de Wedderburn no hace uso de automorfismos.
La tesis de Robert Remak (1911) derivó el mismo resultado de unicidad que Wedderburn pero además demostró (en terminología moderna) que el grupo de automorfismos centrales actúa transitivamente sobre el conjunto de descomposiciones directas de longitud máxima de un grupo finito. A partir de ese teorema más fuerte, Remak también demostró varios corolarios, incluyendo que los grupos con un centro trivial y los grupos perfectos tienen una descomposición de Remak única .
Otto Schmidt ( Sobre los productos directos, SMF Bull. 41 (1913), 161–164) simplificó los principales teoremas de Remak a las 3 páginas que preceden a las demostraciones de los libros de texto actuales. Su método mejora el uso que Remak hace de los idempotentes para crear los automorfismos centrales apropiados. Tanto Remak como Schmidt publicaron demostraciones posteriores y corolarios de sus teoremas.
Wolfgang Krull ( Über verallgemeinerte endliche Abelsche Gruppen, MZ 23 (1925) 161–196), volvió al problema original de GA Miller de productos directos de grupos abelianos extendiéndolo a grupos de operadores abelianos con condiciones de cadena ascendente y descendente. Esto se enuncia con mayor frecuencia en el lenguaje de los módulos. Su prueba observa que los idempotentes utilizados en las pruebas de Remak y Schmidt pueden restringirse a homomorfismos de módulos; los detalles restantes de la prueba permanecen en gran medida sin cambios.
O. Ore unificó las pruebas de varias categorías, incluidos los grupos finitos, los grupos de operadores abelianos, los anillos y las álgebras, al demostrar que el teorema de intercambio de Wedderburn es válido para redes modulares con condiciones de cadena ascendente y descendente. Esta prueba no utiliza idempotentes y no refuta la transitividad de los teoremas de Remak.
La teoría de grupos de Kurosh y la teoría de grupos de Zassenhaus incluyen las demostraciones de Schmidt y Ore bajo el nombre de Remak-Schmidt, pero reconocen a Wedderburn y Ore. Textos posteriores utilizan el título Krull-Schmidt ( Álgebra de Hungerford ) y Krull-Schmidt- Azumaya (Curtis-Reiner). El nombre Krull-Schmidt se utiliza ahora popularmente como sustituto de cualquier teorema relativo a la unicidad de productos directos de tamaño máximo. Algunos autores optan por llamar a las descomposiciones directas de descomposiciones de Remak de tamaño máximo para honrar sus contribuciones.
