Categoría Krull-Schmidt

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas, una categoría de Krull-Schmidt es una generalización de categorías en la que se cumple el teorema de Krull-Schmidt . Surgen, por ejemplo, en el estudio de módulos de dimensión finita sobre un álgebra .

Definición

Sea C una categoría aditiva o, más generalmente, una categoría aditiva R -lineal para un anillo conmutativo  R . Llamamos a C una categoría de Krull–Schmidt siempre que cada objeto se descomponga en una suma directa finita de objetos que tengan anillos de endomorfismo locales. De manera equivalente, C tiene idempotentes partidos y el anillo de endomorfismo de cada objeto es semiperfecto .

Propiedades

Se tiene el análogo del teorema de Krull-Schmidt en las categorías de Krull-Schmidt:

Un objeto se llama indescomponible si no es isomorfo a una suma directa de dos objetos distintos de cero. En una categoría de Krull-Schmidt tenemos que

• un objeto es indescomponible si y sólo si su anillo de endomorfismo es local.
• Todo objeto es isomorfo a una suma directa finita de objetos indecomponibles.
• si donde y son todos indecomponibles, entonces , y existe una permutación tal que para todo i . ${\displaystyle X_{1}\oplus X_{2}\oplus \cdots \oplus X_{r}\cong Y_{1}\oplus Y_{2}\oplus \cdots \oplus Y_{s}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle Y_{j}}$ ${\displaystyle r=s}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle X_{\pi (i)}\cong Y_{i}}$

Se puede definir el carcaj de Auslander-Reiten como una categoría de Krull-Schmidt.

Ejemplos

• Una categoría abeliana en la que cada objeto tiene longitud finita . ^[1] Esto incluye como caso especial la categoría de módulos de dimensión finita sobre un álgebra.
• La categoría de módulos finitamente generados sobre un ^[2] R -álgebra finita , donde R es un anillo local completo noetheriano conmutativo . ^[3]
• La categoría de haces coherentes en una variedad completa sobre un cuerpo algebraicamente cerrado . ^[4]

Un no-ejemplo

La categoría de módulos proyectivos finitamente generados sobre los enteros tiene idempotentes escindidos, y cada módulo es isomorfo a una suma directa finita de copias del módulo regular, cuyo número viene dado por el rango . Por lo tanto, la categoría tiene descomposición única en indecomponibles, pero no es Krull-Schmidt ya que el módulo regular no tiene un anillo de endomorfismo local.

Véase también

• Carcaj
• Sobre Karoubi

Notas

1. Este es el caso clásico, véase por ejemplo Krause (2012), Corolario 3.3.3.
2. R -álgebra finita es un R -álgebra que se genera finitamente como un R -módulo.
3. Reiner (2003), Sección 6, Ejercicios 5 y 6, p. 88.
4. Atiyah (1956), Teorema 2.

Referencias

• Michael Atiyah (1956) Sobre el teorema de Krull-Schmidt con aplicación a haces Bull. Soc. Math. Francia 84, 307–317.
• Henning Krause, Categorías Krull-Remak-Schmidt y cubiertas proyectivas, mayo de 2012.
• Irving Reiner (2003) Órdenes máximas. Reimpresión corregida del original de 1975. Con prólogo de MJ Taylor. Monografías de la London Mathematical Society. Nueva serie, 28. The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford. ISBN  0-19-852673-3 .
• Claus Michael Ringel (1984) Álgebras domesticadas y formas cuadráticas integrales , Apuntes de clase de matemáticas 1099 , Springer-Verlag, 1984.