Sobre Karoubi

Teoría de categorías

En matemáticas, la envolvente de Karoubi (o compleción de Cauchy o compleción idempotente ) de una categoría C es una clasificación de los idempotentes de C , por medio de una categoría auxiliar. Tomando la envolvente de Karoubi de una categoría preaditiva se obtiene una categoría pseudoabeliana , de ahí que la construcción a veces se denomine compleción pseudoabeliana. Recibe su nombre en honor al matemático francés Max Karoubi .

Dada una categoría C , un idempotente de C es un endomorfismo

${\displaystyle e:A\rightarrow A}$

con

${\displaystyle e\circ e=e}$.

Se dice que un idempotente e : A → A se divide si hay un objeto B y morfismos f : A → B , g  : B → A tales que e = g f y 1 _B = f g .

La envolvente de Karoubi de C , a veces escrita Split(C) , es la categoría cuyos objetos son pares de la forma ( A , e ), donde A es un objeto de C y es un idempotente de C , y cuyos morfismos son las ternas ${\displaystyle e:A\rightarrow A}$

${\displaystyle (e,f,e^{\prime }):(A,e)\rightarrow (A^{\prime },e^{\prime })}$

donde es un morfismo de C que satisface (o equivalentemente ). ${\displaystyle f:A\rightarrow A^{\prime }}$ ${\displaystyle e^{\prime }\circ f=f=f\circ e}$ ${\displaystyle f=e'\circ f\circ e}$

La composición en Split(C) es como en C , pero el morfismo identidad en en Split(C) es , en lugar de la identidad en . ${\displaystyle (A,e)}$ ${\displaystyle (e,e,e)}$ ${\displaystyle A}$

La categoría C se integra completa y fielmente en Split(C) . En Split(C) todo idempotente se divide, y Split(C) es la categoría universal con esta propiedad. La envolvente de Karoubi de una categoría C puede considerarse, por tanto, como la "completación" de C que divide a los idempotentes.

La envolvente Karoubi de una categoría C puede definirse de forma equivalente como la subcategoría completa de (los prehaces sobre C ) de retractos de funtores representables . La categoría de prehaces sobre C es equivalente a la categoría de prehaces sobre Split(C) . ${\displaystyle {\hat {\mathbf {C} }}}$

Automorfismos en la envoltura de Karoubi

Un automorfismo en Split(C) tiene la forma , con inversa que satisface: ${\displaystyle (e,f,e):(A,e)\rightarrow (A,e)}$ ${\displaystyle (e,g,e):(A,e)\rightarrow (A,e)}$

${\displaystyle g\circ f=e=f\circ g}$

${\displaystyle g\circ f\circ g=g}$

${\displaystyle f\circ g\circ f=f}$

Si la primera ecuación se relaja para tener solo , entonces f es un automorfismo parcial (con g inverso ). Una involución (parcial) en Split(C) es un automorfismo (parcial) autoinverso. ${\displaystyle g\circ f=f\circ g}$

Ejemplos

• Si C tiene productos, entonces dado un isomorfismo la aplicación , compuesta con la aplicación canónica de simetría, es una involución parcial . ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ ${\displaystyle f\times f^{-1}:A\times B\rightarrow B\times A}$ ${\displaystyle \gamma :B\times A\rightarrow A\times B}$
• Si C es una categoría triangulada , la envolvente de Karoubi Split ( C ) puede estar dotada de la estructura de una categoría triangulada tal que el funtor canónico C → Split ( C ) se convierte en un funtor triangulado . ^[1]
• El sobre Karoubi se utiliza en la construcción de varias categorías de motivos .
• La construcción de la envolvente de Karoubi toma semiadjunciones de adjunciones . ^[2] Por esta razón, la envolvente de Karoubi se utiliza en el estudio de modelos del cálculo lambda no tipificado . La envolvente de Karoubi de un modelo lambda extensional (un monoide, considerado como una categoría) es cartesianamente cerrada. ^{[3] [4]}
• La categoría de módulos proyectivos sobre cualquier anillo es la envolvente Karoubi de su subcategoría completa de módulos libres.
• La categoría de fibrados vectoriales sobre cualquier espacio paracompacto es la envolvente de Karoubi de su subcategoría completa de fibrados triviales. De hecho, se trata de un caso especial del ejemplo anterior por el teorema de Serre-Swan y, a la inversa, este teorema se puede demostrar demostrando primero ambos hechos, la observación de que el funtor de secciones globales es una equivalencia entre fibrados vectoriales triviales sobre y módulos libres sobre y luego utilizando la propiedad universal de la envolvente de Karoubi. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C(X)}$

Referencias

1. Balmer y Schlichting 2001
2. Susumu Hayashi (1985). "Adjunción de semifunctores: estructuras categóricas en cálculo lambda no extensional". Ciencias de la computación teórica . 41 : 95–104. doi :10.1016/0304-3975(85)90062-3.
3. CPJ Koymans (1982). "Modelos del cálculo lambda". Información y control . 52 : 306–332. doi : 10.1016/s0019-9958(82)90796-3 .
4. DS Scott (1980). "Teorías relacionadas del cálculo lambda". Para HB Curry: Ensayos sobre lógica combinatoria .

• Balmer, Paul; Schlichting, Marco (2001), "Completado idempotente de categorías trianguladas" (PDF) , Journal of Algebra , 236 (2): 819–834, doi : 10.1006/jabr.2000.8529 , ISSN  0021-8693