anillo artiniano

En matemáticas , específicamente en álgebra abstracta , un anillo artiniano (a veces anillo de Artin ) es un anillo que satisface la condición de cadena descendente en ideales (unilaterales) ; es decir, no existe una secuencia descendente infinita de ideales. Los anillos artinianos llevan el nombre de Emil Artin , quien descubrió por primera vez que la condición de cadena descendente para ideales generaliza simultáneamente anillos finitos y anillos que son espacios vectoriales de dimensión finita sobre campos . La definición de anillos artinianos puede reformularse intercambiando la condición de la cadena descendente con una noción equivalente: la condición mínima .

Precisamente, un anillo es artiniano izquierdo si satisface la condición de cadena descendente en ideales izquierdos, artiniano derecho si satisface la condición de cadena descendente en ideales derechos, y artiniano o artiniano bilateral si es artiniano izquierdo y derecho. ^[1] Para los anillos conmutativos las definiciones izquierda y derecha coinciden, pero en general son distintas entre sí.

El teorema de Wedderburn-Artin caracteriza cada anillo artiniano simple como un anillo de matrices sobre un anillo de división . Esto implica que un anillo simple es artiniano izquierdo si y sólo si es artiniano derecho.

La misma definición y terminología se puede aplicar a los módulos , reemplazando los ideales por submódulos .

Aunque la condición de cadena descendente parece dual a la condición de cadena ascendente , en los anillos es de hecho la condición más fuerte. Específicamente, una consecuencia del teorema de Akizuki-Hopkins-Levitzki es que un anillo artiniano izquierdo (o derecho) es automáticamente un anillo noetheriano izquierdo (o derecho) . Esto no es cierto para los módulos generales; es decir, un módulo artiniano no tiene por qué ser un módulo noetheriano .

Ejemplos y contraejemplos

• Un dominio integral es artiniano si y sólo si es un campo.
• Un anillo con un número finito de ideales, digamos izquierdos, es artiniano izquierdo. En particular, un anillo finito (p. ej., ) es artiniano de izquierda y derecha. ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$
• Sea k un campo. Entonces es artiniano para cada entero positivo n . ${\displaystyle k[t]/(t^{n})}$
• De manera similar, es un anillo artiniano con ideal máximo . ${\displaystyle k[x,y]/(x^{2},y^{3},xy^{2})=k\oplus k\cdot x\oplus k\cdot y\oplus k\cdot xy\oplus k\cdot y^{2}}$ ${\displaystyle (x,y)}$
• Sea un endomorfismo entre un espacio vectorial de dimensión finita V . Entonces la subálgebra generada por es un anillo artiniano conmutativo. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A\subset \operatorname {End} (V)}$ ${\displaystyle x}$
• Si I es un ideal distinto de cero de un dominio de Dedekind A , entonces es un anillo artiniano principal . ^[2] ${\displaystyle A/I}$
• Para cada , el anillo de matriz completo sobre un anillo R artiniano izquierdo (resp. noetheriano izquierdo) es artiniano izquierdo (resp. noetheriano izquierdo). ^[3] ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle M_{n}(R)}$

Los dos siguientes son ejemplos de anillos no artinianos.

• Si R es cualquier anillo, entonces el anillo polinómico R [ x ] no es artiniano, ya que el ideal generado por está (correctamente) contenido en el ideal generado por para todos los números naturales n . Por el contrario, si R es noetheriano también lo es R [ x ] según el teorema de la base de Hilbert . ${\displaystyle x^{n+1}}$ ${\displaystyle x^{n}}$
• El anillo de los números enteros es un anillo noetheriano pero no artiniano. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Módulos sobre anillos artinianos

Sea M un módulo izquierdo sobre un anillo artiniano izquierdo. Entonces los siguientes son equivalentes ( teorema de Hopkins ): (i) M se genera de forma finita , (ii) M tiene longitud finita (es decir, tiene series de composición ), (iii) M es noetheriano, (iv) M es artiniano. ^[4]

Anillos artinianos conmutativos

Sea A un anillo noetheriano conmutativo con unidad. Entonces los siguientes son equivalentes.

• A es artiniano.
• A es un producto finito de anillos locales artinianos conmutativos . ^[5]
• A / nil( A ) es un anillo semisimple , donde nil( A ) es el radical nil de A . ^{[ cita necesaria ]}
• Cada módulo finitamente generado sobre A tiene una longitud finita. (véase más arriba)
• A tiene dimensión Krull cero. ^[6] (En particular, el radical nil es el radical de Jacobson ya que los ideales primos son máximos).
• ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$es finito y discreto.
• ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$es discreto. ^[7]

Sea k un campo y A k - álgebra finitamente generada . Entonces A es artiniano si y sólo si A se genera finitamente como k -módulo.

Un anillo local artiniano está completo. Un cociente y localización de un anillo artiniano es artiniano.

Anillo artiniano sencillo

Una versión del teorema de Wedderburn-Artin establece que un anillo artiniano simple A es un anillo de matriz sobre un anillo de división. De hecho, ^[8] sea I un ideal correcto mínimo (distinto de cero) de A , que existe ya que A es artiniano (y el resto de la prueba no utiliza el hecho de que A es artiniano). Entonces, ya que es un ideal bilateral, ya que A es simple. Así, podemos elegir para que . Supongamos que k es mínimo con respecto a esa propiedad. Considere el mapa de módulos A derechos : ${\displaystyle AI}$ ${\displaystyle AI=A}$ ${\displaystyle a_{i}\in A}$ ${\displaystyle 1\in a_{1}I+\cdots +a_{k}I}$

${\displaystyle {\begin{cases}I^{\oplus k}\to A,\\(y_{1},\dots ,y_{k})\mapsto a_{1}y_{1}+\cdots +a_{k}y_{k}\end{cases}}}$

Es sobreyectivo . Si no es inyectivo , entonces, digamos, con valor distinto de cero . Entonces, por la minimalidad de I , tenemos: . Sigue: ${\displaystyle a_{1}y_{1}=a_{2}y_{2}+\cdots +a_{k}y_{k}}$ ${\displaystyle y_{1}}$ ${\displaystyle y_{1}A=I}$

${\displaystyle a_{1}I=a_{1}y_{1}A\subset a_{2}I+\cdots +a_{k}I}$,

lo que contradice la minimalidad de k . Por eso y por lo tanto . ${\displaystyle I^{\oplus k}\simeq A}$ ${\displaystyle A\simeq \operatorname {End} _{A}(A)\simeq M_{k}(\operatorname {End} _{A}(I))}$

Ver también

• álgebra de artín
• ideal artiniano
• Módulo serie
• anillo semiperfecto
• Anillo Gorenstein
• anillo noetheriano

Citas

1. Brešar 2014, pag. 73
2. Clark, teorema 20.11
3. Cohn 2003, 5.2 Ejercicio 11
4. Bourbaki 2012, VIII, pág. 7
5. Atiyah y Macdonald 1969, Teoremas 8.7
6. Atiyah y Macdonald 1969, Teoremas 8.5
7. Atiyah y Macdonald 1969, cap. 8, Ejercicio 2
8. Milnor 1971, pág. 144

Referencias

• Auslander, Maurice; Reiten, Idún; Smalø, Sverre O. (1995), Teoría de la representación de las álgebras de Artin , Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas, vol. 36, Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9780511623608, ISBN 978-0-521-41134-9, señor  1314422
• Bourbaki, Nicolás (2012). Algébre. Capítulo 8, Módulos y anillos semisimples . Heidelberg: Springer-Verlag Berlín Heidelberg. ISBN 978-3-540-35315-7.
• Carlos Hopkins. Anillos con condición mínima para ideales de izquierda. Ana. de Matemáticas. (2) 40, (1939). 712–730.
• Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, IG (1969), Introducción al álgebra conmutativa , Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
• Cohn, Paul Moritz (2003). Álgebra básica: grupos, anillos y campos . Saltador. ISBN 978-1-85233-587-8.
• Brešar, Matej (2014). Introducción al Álgebra no conmutativa . Saltador. ISBN 978-3-319-08692-7.
• Clark, Pete L. "Álgebra conmutativa" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 14 de diciembre de 2010.
• Milnor, John Willard (1971), Introducción a la teoría K algebraica , Annals of Mathematics Studies, vol. 72, Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press , MR  0349811, Zbl  0237.18005