Módulo serial

En álgebra abstracta , un módulo uniserial M es un módulo sobre un anillo R , cuyos submódulos están totalmente ordenados por inclusión . Esto significa simplemente que para dos submódulos N ₁ y N ₂ de M , o bien o bien . Un módulo se denomina módulo serial si es una suma directa de módulos uniseriales. Un anillo R se denomina anillo uniserial derecho si es uniserial como módulo derecho sobre sí mismo, y también se denomina anillo serial derecho si es un módulo serial derecho sobre sí mismo. Los anillos uniserial izquierdo y serial izquierdo se definen de manera similar y, en general, son distintos de sus contrapartes del lado derecho. ${\displaystyle N_{1}\subseteq N_{2}}$ ${\displaystyle N_{2}\subseteq N_{1}}$

Un ejemplo fácil de motivación es el anillo de cocientes para cualquier número entero . Este anillo es siempre serial y es uniserial cuando n es una potencia prima . ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n>1}$

El término uniserial se ha utilizado de forma diferente a la definición anterior: para mayor claridad, véase a continuación.

Una lista alfabética parcial de contribuyentes importantes a la teoría de anillos seriales incluye a los matemáticos Keizo Asano, IS Cohen, PM Cohn , Yu. Drozd, D. Eisenbud , A. Facchini, AW Goldie , Phillip Griffith, I. Kaplansky , VV Kirichenko, G. Köthe , H. Kuppisch, I. Murase, T. Nakayama , P. Příhoda, G. Puninski y R. Warfield. ^[1]

Siguiendo la convención común de la teoría de anillos, si se da una condición dependiente izquierda/derecha sin mencionar un lado (por ejemplo, uniserial, serial, artiniano , noetheriano ), se supone que la condición se cumple tanto en el lado izquierdo como en el derecho. A menos que se especifique lo contrario, cada anillo en este artículo es un anillo con unitario y cada módulo es unitario .

Propiedades de anillos y módulos uniseriales y seriales

Es inmediato que en un R -módulo uniserial M , todos los submódulos excepto M y 0 son simultáneamente esenciales y superfluos . Si M tiene un submódulo maximal , entonces M es un módulo local. M es también claramente un módulo uniforme y por lo tanto es directamente indescomponible. También es fácil ver que cada submódulo finitamente generado de M puede ser generado por un solo elemento, y por lo tanto M es un módulo de Bézout .

Se sabe que el anillo de endomorfismo End _R  M es un anillo semilocal que está muy cerca de un anillo local en el sentido de que End _R  M tiene como máximo dos ideales rectos máximos . Si se supone que M es artiniano o noetheriano, entonces End _R  M es un anillo local.

Como los anillos con unidad siempre tienen un ideal recto máximo, un anillo uniserial recto es necesariamente local. Como se señaló antes, un ideal recto finitamente generado puede generarse por un solo elemento, y por lo tanto los anillos uniserial rectos son anillos de Bézout rectos . Un anillo serial recto R necesariamente se factoriza en la forma donde cada e _i es un elemento idempotente y e _i R es un módulo uniserial local. Esto indica que R también es un anillo semiperfecto , que es una condición más fuerte que ser un anillo semilocal. ${\displaystyle R=\oplus _{i=1}^{n}e_{i}R}$

Köthe demostró que los módulos de los anillos ideales principales artinianos (que son un caso especial de anillos seriales) son sumas directas de submódulos cíclicos . Más tarde, Cohen y Kaplansky determinaron que un anillo conmutativo R tiene esta propiedad para sus módulos si y solo si R es un anillo ideal principal artiniano. Nakayama demostró que los anillos seriales artinianos tienen esta propiedad en sus módulos, y que la inversa no es cierta.

El resultado más general, quizás, sobre los módulos de un anillo serial se atribuye a Drozd y Warfield: establece que cada módulo finitamente presentado sobre un anillo serial es una suma directa de submódulos uniseriales cíclicos (y por lo tanto es serial). Si además se supone que el anillo es noetheriano, los módulos finitamente presentados y finitamente generados coinciden, y por lo tanto todos los módulos finitamente generados son seriales.

La serialidad correcta se conserva en productos directos de anillos y módulos, y en cocientes de anillos . La uniserialidad se conserva en cocientes de anillos y módulos, pero nunca en productos. Un sumando directo de un módulo serial no es necesariamente serial, como demostró Puninski, pero los sumandos directos de sumas directas finitas de módulos uniseriales son módulos seriales. ^[2]

Se ha verificado que la conjetura de Jacobson se cumple en los anillos seriales noetherianos. ^[3]

Ejemplos

Cualquier módulo simple es trivialmente uniserial, y del mismo modo los módulos semisimples son módulos seriales.

Se pueden obtener muchos ejemplos de anillos seriales de las secciones de estructura anteriores. Cada anillo de valoración es un anillo uniserial y todos los anillos ideales principales artinianos son anillos seriales, como se ilustra con los anillos semisimples .

Ejemplos más exóticos incluyen las matrices triangulares superiores sobre un anillo de división T _n  D , y el anillo de grupo para algún cuerpo finito de característica prima p y grupo G que tiene un subgrupo p - Sylow cíclico normal . ${\displaystyle \mathbb {F} [G]}$

Estructura

Esta sección tratará principalmente de los anillos seriales noetherianos y su subclase, los anillos seriales artinianos. En general, los anillos primero se descomponen en anillos indecomponibles. Una vez que se conoce la estructura de estos anillos, los anillos descomponibles son productos directos de los indecomponibles. Además, para anillos semiperfectos como los anillos seriales, el anillo básico es equivalente de Morita al anillo original. Por lo tanto, si R es un anillo serial con anillo básico B , y se conoce la estructura de B , la teoría de equivalencia de Morita da que donde P es algún progenerador finitamente generado B . Es por esto que los resultados se expresan en términos de anillos básicos indecomponibles. ${\displaystyle R\cong \mathrm {End} _{B}(P)}$

En 1975, Kirichenko y Warfield publicaron de forma independiente y simultánea análisis de la estructura de anillos seriales noetherianos, no artinianos. Los resultados fueron los mismos, sin embargo, los métodos que utilizaron fueron muy diferentes entre sí. El estudio de anillos primos hereditarios , noetherianos , así como de quivers definidos en anillos seriales fueron herramientas importantes. El resultado central establece que un anillo serial noetheriano recto, no artiniano, básico e indecomponible puede describirse como un tipo de anillo matricial sobre un dominio uniserial noetheriano V , cuyo radical de Jacobson J( V ) es distinto de cero. Este anillo matricial es un subanillo de M _n ( V ) para algún n , y consta de matrices con entradas de V en y por encima de la diagonal, y entradas de J( V ) por debajo.

La estructura del anillo serial artiniano se clasifica en casos dependiendo de la estructura del quiver. Resulta que la estructura del quiver para un anillo serial artiniano básico e indecomponible es siempre un círculo o una línea. En el caso del quiver lineal, el anillo es isomorfo a las matrices triangulares superiores sobre un anillo de división (nótese la similitud con la estructura de los anillos seriales noetherianos en el párrafo anterior). Una descripción completa de la estructura en el caso de un quiver circular está fuera del alcance de este artículo, pero se puede encontrar en (Puninski 2002). Parafraseando el resultado tal como aparece allí: Un anillo serial artiniano básico cuyo quiver es un círculo es una imagen homomórfica de una "expansión" de un anillo cuasi-Frobenius serial básico e indecomponible .

Una propiedad de unicidad de descomposición

Se dice que dos módulos U y V tienen la misma clase de monogenia , denotada , si existe un monomorfismo y un monomorfismo . La noción dual se puede definir: se dice que los módulos tienen la misma clase de epigenia , denotada , si existe un epimorfismo y un epimorfismo . ${\displaystyle [U]_{m}=[V]_{m}}$ ${\displaystyle U\rightarrow V}$ ${\displaystyle V\rightarrow U}$ ${\displaystyle [U]_{e}=[V]_{e}}$ ${\displaystyle U\rightarrow V}$ ${\displaystyle V\rightarrow U}$

La siguiente forma débil del teorema de Krull-Schmidt es válida. Sean U 1 , ..., U n , V 1 , ..., V t n + _t módulos rectos _uniseriales no nulos _sobre un anillo _R . Entonces las sumas directas y son R -módulos isomorfos si y solo si n = t y existen dos permutaciones y de 1, 2, ..., n tales que y para cada i = 1, 2, ..., n . ${\displaystyle U_{1}\oplus \dots \oplus U_{n}}$ ${\displaystyle V_{1}\oplus \dots \oplus V_{t}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle [U_{i}]_{m}=[V_{\sigma (i)}]_{m}}$ ${\displaystyle [U_{i}]_{e}=[V_{\tau (i)}]_{e}}$

Este resultado, debido a Facchini, ha sido extendido a sumas directas infinitas de módulos uniseriales por Příhoda en 2006. Esta extensión involucra los llamados módulos uniseriales cuasimiles. Estos módulos fueron definidos por Nguyen Viet Dung y Facchini, y su existencia fue demostrada por Puninski. La forma débil del Teorema de Krull-Schmidt es válida no sólo para módulos uniseriales, sino también para varias otras clases de módulos (módulos biuniformes, módulos presentados cíclicamente sobre anillos seriales, núcleos de morfismos entre módulos inyectivos indecomponibles , módulos presentados couniformemente).

Notas sobre términos alternativos, similares y relacionados

Los anillos uniseriales rectos también pueden denominarse anillos de cadena rectos ^[4] o anillos de valoración rectos . Este último término alude a los anillos de valoración , que son por definición dominios uniseriales conmutativos . Por la misma razón, los módulos uniseriales se han denominado módulos de cadena y los módulos seriales módulos de semicadena . La noción de anillo catenario tiene "cadena" como su homónimo, pero en general no está relacionada con los anillos de cadena.

En la década de 1930, Gottfried Köthe y Keizo Asano introdujeron el término Einreihig (literalmente "una serie") durante las investigaciones de anillos sobre los cuales todos los módulos son sumas directas de submódulos cíclicos. ^[5] Por esta razón, uniserial se utilizó para significar "anillo ideal principal artiniano" incluso tan recientemente como en la década de 1970. El artículo de Köthe también requería que un anillo uniserial tuviera una serie de composición única , lo que no solo obliga a que los ideales derecho e izquierdo estén ordenados linealmente, sino que también requiere que haya solo un número finito de ideales en las cadenas de ideales izquierdo y derecho. Debido a este precedente histórico, algunos autores incluyen la condición artiniana o la condición de longitud de composición finita en sus definiciones de módulos y anillos uniseriales.

Ampliando el trabajo de Köthe, Tadashi Nakayama utilizó el término anillo uniserial generalizado ^[6] para referirse a un anillo serial artiniano. Nakayama demostró que todos los módulos sobre dichos anillos son seriales. Los anillos seriales artinianos a veces se denominan álgebras de Nakayama y tienen una teoría de módulos bien desarrollada.

Warfield utilizó el término módulo homogéneamente serial para un módulo serial con la propiedad adicional de que para dos submódulos finitamente generados A y B , donde J (−) denota el radical de Jacobson del módulo. ^[7] En un módulo con longitud de composición finita, esto tiene el efecto de forzar a que los factores de composición sean isomorfos, de ahí el adjetivo "homogéneo". Resulta que un anillo serial R es una suma directa finita de ideales rectos homogéneamente seriales si y solo si R es isomorfo a un anillo matricial completo n  ×  n sobre un anillo serial local. Dichos anillos también se conocen como anillos seriales descomponibles primarios . ^{[8] [9]} ${\displaystyle A/J(A)\cong B/J(B)}$

Notas

1. Las referencias de cada autor se pueden encontrar en Puninski (2001a) y Hazewinkel, Gubareni y Kirichenko (2004).
2. Primera parte 2004.
3. Chatters y Hajarnavis 1980.
4. Fe 1999.
5. Köthe 1935.
6. Nakayama 1941.
7. Warfield 1975.
8. Fe 1976.
9. Hazewinkel, Gubareni y Kirichenko 2004.

Libros de texto

• Frank W. Anderson; Kent R. Fuller (1992), Anillos y categorías de módulos, Springer, págs. 347–349, ISBN 0-387-97845-3
• Chatters, AW; Hajarnavis, CR (1980), Anillos con condiciones de cadena , Research Notes in Mathematics, vol. 44, Pitman, ISBN 978-0-273-08446-4
• Facchini, Alberto (1998), Anillos de endomorfismo y descomposiciones de suma directa en algunas clases de módulos , Birkhäuser Verlag, ISBN 3-7643-5908-0
• Faith, Carl (1976), Álgebra. II. Teoría del anillo. , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, n° 191. Springer-Verlag
• Faith, Carl (1999), Anillos y cosas y una fina variedad de álgebra asociativa del siglo XX , Mathematical Surveys and Monographs, 65. American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0993-8
• Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, VV (2004), Álgebras, anillos y módulos. vol. 1. , Editorial académica Kluwer, ISBN 1-4020-2690-0
• Puninski, Gennadi (2001a), Anillos seriales , Kluwer Academic Publishers, ISBN 0-7923-7187-9

Fuentes primarias

• Eisenbud, David; Griffith, Phillip (1971), "La estructura de los anillos seriales", Pacific J. Math. , 36 : 109–121, doi : 10.2140/pjm.1971.36.109
• Facchini, Alberto (1996), "Krull-Schmidt falla en los módulos seriales", Trans. Amer. Math. Soc. , 348 (11): 4561–4575, doi : 10.1090/s0002-9947-96-01740-0
• Köthe, Gottfried (1935), "Verallgemeinerte Abelsche Gruppen mit hyperkomplexem Operatorenring. (alemán)", Math. Z. , 39 : 31–44, doi :10.1007/bf01201343
• Nakayama, Tadasi (1941), "Sobre las álgebras de Frobenius. II.", Annals of Mathematics , segunda serie, 42 (1): 1–21, doi :10.2307/1968984, hdl : 10338.dmlcz/140501 , JSTOR  1968984
• Příhoda, Pavel (2004), "Teorema débil de Krull-Schmidt y descomposiciones de suma directa de módulos seriales de dimensión finita de Goldie", J. Algebra , 281 : 332–341, doi : 10.1016/j.jalgebra.2004.06.027
• Příhoda, Pavel (2006), "Una versión del teorema débil de Krull-Schmidt para sumas directas infinitas de módulos uniseriales", Comm. Algebra , 34 (4): 1479–1487, doi :10.1080/00927870500455049
• Puninski, GT (2002), "Anillos seriales artinianos y noetherianos", J. Math. Sci. (Nueva York) , 110 : 2330–2347, doi : 10.1023/A:1014906008243
• Puninski, Gennadi (2001b), "Algunas teorías de modelos sobre un dominio uniserial casi simple y descomposiciones de módulos seriales", J. Pure Appl. Algebra , 163 (3): 319–337, doi : 10.1016/s0022-4049(00)00140-7
• Puninski, Gennadi (2001c), "Algunas teorías de modelos sobre un anillo uniserial excepcional y descomposiciones de módulos seriales", Journal of the London Mathematical Society , 64 (2): 311–326, doi :10.1112/s0024610701002344
• Warfield, Robert B. Jr. (1975), "Anillos seriales y módulos finitamente presentados", J. Algebra , 37 (2): 187–222, doi : 10.1016/0021-8693(75)90074-5