En matemáticas , específicamente en álgebra abstracta , un módulo artiniano es un módulo que satisface la condición de cadena descendente en su conjunto de submódulos . Son para los módulos lo que los anillos artinianos son para los anillos , y un anillo es artiniano si y sólo si es un módulo artiniano sobre sí mismo (con multiplicación por izquierda o por derecha). Ambos conceptos llevan el nombre de Emil Artin .
En presencia del axioma de elección ( dependiente ) , la condición de la cadena descendente se vuelve equivalente a la condición mínima , por lo que puede usarse en la definición.
Al igual que los módulos noetherianos , los módulos artinianos disfrutan de la siguiente propiedad hereditaria:
Lo contrario también se cumple:
Como consecuencia, cualquier módulo generado de forma finita sobre un anillo artiniano es artiniano. [1] Dado que un anillo artiniano también es un anillo noetheriano , y los módulos generados finitamente sobre un anillo noetheriano son noetherianos, [1] es cierto que para un anillo artiniano R , cualquier módulo R generado finitamente es tanto noetheriano como artiniano. , y se dice que tiene una longitud finita . También se deduce que cualquier módulo artiniano generado finitamente es noetheriano incluso sin suponer que R sea artiniano. Sin embargo, si R no es artiniano y M no se genera de forma finita, existen contraejemplos.
El anillo R puede considerarse como un módulo derecho, donde la acción es la natural dada por la multiplicación del anillo de la derecha. R se llama artiniano derecho cuando este módulo derecho R es un módulo artiniano. La definición de "anillo artiniano izquierdo" se hace de manera análoga. Para los anillos no conmutativos esta distinción es necesaria, porque es posible que un anillo sea artiniano en un lado pero no en el otro.
Los adjetivos izquierda-derecha normalmente no son necesarios para los módulos, porque el módulo M generalmente se da como módulo R izquierdo o derecho al principio. Sin embargo, es posible que M pueda tener una estructura de módulo R izquierda y derecha , y luego llamar a M Artiniano es ambiguo, y se hace necesario aclarar qué estructura de módulo es Artiniana. Para separar las propiedades de las dos estructuras, se puede abusar de la terminología y referirse a M como artiniano izquierdo o artiniano derecho cuando, estrictamente hablando, es correcto decir que M , con su estructura de módulo R izquierdo , es artiniano.
La aparición de módulos con una estructura izquierda y derecha no es inusual: por ejemplo, el propio R tiene una estructura de módulo R izquierda y derecha. De hecho, este es un ejemplo de un bimódulo , y es posible que un grupo abeliano M se convierta en un bimódulo R izquierdo y S derecho para un anillo S diferente . De hecho, para cualquier módulo derecho M , es automáticamente un módulo izquierdo sobre el anillo de números enteros Z , y además es un bimódulo Z - R. Por ejemplo, considere los números racionales Q como un bimódulo Z - Q de forma natural. Entonces Q no es artiniano como módulo Z izquierdo , pero es artiniano como módulo Q derecho .
La condición artiniana también se puede definir en estructuras de bimódulos: un bimódulo artiniano es un bimódulo cuyo conjunto de subbimódulos satisface la condición de cadena descendente. Dado que un subbimódulo de un bimódulo R - S M es a fortiori un módulo R izquierdo , si M considerado como un módulo R izquierdo fuera artiniano, entonces M es automáticamente un bimódulo artiniano. Puede suceder, sin embargo, que un bimódulo sea artiniano sin que sus estructuras izquierda o derecha sean artinianas, como lo mostrará el siguiente ejemplo.
Ejemplo: Es bien sabido que un anillo simple es artiniano de izquierda si y sólo si es artiniano de derecha, en cuyo caso es un anillo semisimple . Sea R un anillo simple que no es artiniano. Entonces tampoco queda artiniano. Considerando a R como un R - R -bimódulo de forma natural, sus subbimódulos son exactamente los ideales de R. Como R es simple sólo hay dos: R y el ideal cero . Por tanto, el bimódulo R es artiniano como bimódulo, pero no artiniano como módulo R izquierdo o derecho sobre sí mismo.
A diferencia del caso de los anillos, existen módulos artinianos que no son módulos noetherianos . Por ejemplo, considere el componente primario p de , es decir , que es isomorfo al grupo cuasicíclico p , considerado como módulo. La cadena no termina, por lo que (y por lo tanto ) no es noetheriana. Sin embargo, cada cadena descendente de (sin pérdida de generalidad) submódulos propios termina: cada cadena tiene la forma de algunos números enteros , y la inclusión de implica que se debe dividir . También lo es una secuencia decreciente de números enteros positivos. Así termina la secuencia, convirtiéndose en Artiniano.
Tenga en cuenta que también es un módulo fiel . Entonces, esto también proporciona un ejemplo de un módulo artiniano fiel sobre un anillo no artiniano. Esto no sucede en el caso noetheriano; Si M es un módulo noetheriano fiel sobre A, entonces A también es noetheriano.
Sobre un anillo conmutativo , cada módulo artiniano cíclico también es noetheriano, pero sobre anillos no conmutativos, los módulos artinianos cíclicos pueden tener una longitud incontable , como se muestra en el artículo de Hartley y se resume muy bien en el artículo de Paul Cohn dedicado a la memoria de Hartley.
Otro resultado relevante es el teorema de Akizuki-Hopkins-Levitzki , que establece que las condiciones artinianas y noetherianas son equivalentes para módulos sobre un anillo semiprimario .
![{\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/232c7272c5b61ffda9c6781bba7d7852ac08cbe0)
