En matemáticas , específicamente en álgebra abstracta , un módulo artiniano es un módulo que satisface la condición de cadena descendente en su conjunto de submódulos . Son para los módulos lo que los anillos artinianos son para los anillos , y un anillo es artiniano si y solo si es un módulo artiniano sobre sí mismo (con multiplicación por la izquierda o por la derecha). Ambos conceptos reciben su nombre de Emil Artin .
En presencia del axioma de elección ( dependiente ) , la condición de cadena descendente se vuelve equivalente a la condición mínima , y por lo tanto puede usarse en la definición en su lugar.
Al igual que los módulos noetherianos , los módulos artinianos disfrutan de la siguiente propiedad de herencia:
Lo contrario también es válido:
Como consecuencia, cualquier módulo finitamente generado sobre un anillo artiniano es artiniano. [1] Dado que un anillo artiniano es también un anillo noetheriano , y los módulos finitamente generados sobre un anillo noetheriano son noetherianos, [1] es cierto que para un anillo artiniano R , cualquier módulo R finitamente generado es tanto noetheriano como artiniano, y se dice que tiene una longitud finita . También se deduce que cualquier módulo artiniano finitamente generado es noetheriano incluso sin la suposición de que R sea artiniano. Sin embargo, si R no es artiniano y M no es finitamente generado, hay contraejemplos.
El anillo R puede considerarse como un módulo derecho, donde la acción es la natural dada por la multiplicación del anillo por la derecha. R se llama artiniano derecho cuando este módulo derecho R es un módulo artiniano. La definición de "anillo artiniano izquierdo" se realiza de forma análoga. Para los anillos no conmutativos esta distinción es necesaria, porque es posible que un anillo sea artiniano por un lado pero no por el otro.
Los adjetivos izquierda-derecha normalmente no son necesarios para los módulos, porque el módulo M suele darse como un módulo R izquierdo o derecho al principio. Sin embargo, es posible que M pueda tener una estructura de módulo R tanto izquierda como derecha, y entonces llamar a M artiniano es ambiguo, y se hace necesario aclarar qué estructura de módulo es artiniana. Para separar las propiedades de las dos estructuras, se puede abusar de la terminología y referirse a M como artiniano izquierdo o artiniano derecho cuando, estrictamente hablando, es correcto decir que M , con su estructura de módulo R izquierdo , es artiniano.
La aparición de módulos con una estructura izquierda y derecha no es inusual: por ejemplo, el propio R tiene una estructura de módulo R izquierdo y derecho. De hecho, este es un ejemplo de un bimódulo , y puede ser posible que un grupo abeliano M se convierta en un bimódulo izquierdo- R , derecho -S para un anillo diferente S . De hecho, para cualquier módulo derecho M , es automáticamente un módulo izquierdo sobre el anillo de números enteros Z , y además es un bimódulo Z - R . Por ejemplo, considere los números racionales Q como un bimódulo Z - Q de la manera natural. Entonces Q no es artiniano como un módulo Z izquierdo , pero es artiniano como un módulo Q derecho .
La condición artiniana puede definirse también en estructuras bimódulo: un bimódulo artiniano es un bimódulo cuyo conjunto de sub-bimódulos satisface la condición de cadena descendente. Puesto que un sub-bimódulo de un R - S -bimódulo M es a fortiori un R -módulo izquierdo, si M considerado como un R -módulo izquierdo fuera artiniano, entonces M es automáticamente un bimódulo artiniano. Puede ocurrir, sin embargo, que un bimódulo sea artiniano sin que sus estructuras izquierda o derecha sean artinianas, como lo mostrará el siguiente ejemplo.
Ejemplo: Es bien sabido que un anillo simple es artiniano izquierdo si y solo si es artiniano derecho, en cuyo caso es un anillo semisimple . Sea R un anillo simple que no es artiniano derecho. Entonces tampoco es artiniano izquierdo. Considerando a R como un R - R -bimódulo de la forma natural, sus subbimódulos son exactamente los ideales de R . Como R es simple solo hay dos: R y el ideal cero . Por lo tanto, el bimódulo R es artiniano como bimódulo, pero no artiniano como R -módulo izquierdo o derecho sobre sí mismo.
A diferencia del caso de los anillos, hay módulos artinianos que no son módulos noetherianos . Por ejemplo, considere el componente p -primario de , es decir , que es isomorfo al grupo p -cuasicíclico , considerado como -módulo. La cadena no termina, por lo que (y por lo tanto ) no es noetheriano. Sin embargo, cada cadena descendente de (sin pérdida de generalidad) submódulos propios termina: Cada una de esas cadenas tiene la forma para algunos números enteros , y la inclusión de implica que debe dividir a . Por lo tanto, es una secuencia decreciente de números enteros positivos. Por lo tanto, la secuencia termina, lo que hace que sea artiniano.
Tenga en cuenta que también es un módulo fiel . Por lo tanto, esto también proporciona un ejemplo de un módulo artiniano fiel sobre un anillo no artiniano. Esto no sucede en el caso noetheriano; si M es un módulo noetheriano fiel sobre A , entonces A también es noetheriano.
Sobre un anillo conmutativo , cada módulo artiniano cíclico es también noetheriano, pero sobre anillos no conmutativos los módulos artinianos cíclicos pueden tener longitud incontable como se muestra en el artículo de Hartley y se resume muy bien en el artículo de Paul Cohn dedicado a la memoria de Hartley.
Otro resultado relevante es el teorema de Akizuki–Hopkins–Levitzki , que establece que las condiciones artinianas y noetherianas son equivalentes para módulos sobre un anillo semiprimario .
![{\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/232c7272c5b61ffda9c6781bba7d7852ac08cbe0)
