En matemáticas , el término subgrupo máximo se utiliza para significar cosas ligeramente diferentes en diferentes áreas del álgebra .
En teoría de grupos , un subgrupo máximo H de un grupo G es un subgrupo propio , tal que ningún subgrupo propio K contiene H estrictamente. En otras palabras, H es un elemento máximo del conjunto parcialmente ordenado de subgrupos de G que no son iguales a G. Los subgrupos máximos son de interés debido a su conexión directa con representaciones de permutación primitivas de G. También se estudian mucho a los efectos de la teoría de grupos finitos : véase, por ejemplo, el subgrupo de Frattini , la intersección de los subgrupos máximos.
En teoría de semigrupos , un subgrupo máximo de un semigrupo S es un subgrupo (es decir, un subsemigrupo que forma un grupo bajo la operación de semigrupo) de S que no está contenido adecuadamente en otro subgrupo de S. Observe que, aquí, no existe ningún requisito de que un subgrupo máximo sea propio, por lo que si S es de hecho un grupo, entonces su subgrupo máximo único (como semigrupo) es el propio S. Considerar subgrupos, y en particular subgrupos máximos, de semigrupos a menudo permite aplicar técnicas de teoría de grupos en la teoría de semigrupos. [ cita necesaria ] Existe una correspondencia uno a uno entre los elementos idempotentes de un semigrupo y los subgrupos máximos del semigrupo: cada elemento idempotente es el elemento de identidad de un subgrupo máximo único.
Cualquier subgrupo propio de un grupo finito está contenido en algún subgrupo máximo, ya que los subgrupos propios forman un conjunto finito parcialmente ordenado bajo inclusión. Sin embargo, existen infinitos grupos abelianos que no contienen subgrupos máximos, por ejemplo el grupo de Prüfer .
De manera similar, se dice que un subgrupo normal N de G es un subgrupo normal máximo (o un subgrupo normal máximo propio) de G si N < G y no existe un subgrupo normal K de G tal que N < K < G . Tenemos el siguiente teorema:
Estos diagramas de Hasse muestran las redes de subgrupos del grupo simétrico S 4 , el grupo diédrico D 4 y C 2 3 , la tercera potencia directa del grupo cíclico C 2 .
Los subgrupos máximos están vinculados al grupo mismo (en la parte superior del diagrama de Hasse) por un borde del diagrama de Hasse.