En la rama de las matemáticas conocida como álgebra universal (y en sus aplicaciones), un álgebra subdirectamente irreducible es un álgebra que no puede factorizarse como un producto subdirecto de álgebras "más simples". Las álgebras subdirectamente irreducibles desempeñan un papel algo análogo en álgebra a los primos en teoría de números .
Se dice que un álgebra universal A es subdirectamente irreducible cuando A tiene más de un elemento, y cuando cualquier representación subdirecta de A incluye (como factor) un álgebra isomorfa a A , estando el isomorfismo dado por el mapa de proyección.
El teorema de representación subdirecta del álgebra universal establece que toda álgebra es subdirectamente representable por sus cocientes subdirectamente irreducibles . Por lo tanto , una definición equivalente de "irreducible subdirecto" es cualquier álgebra A que no sea subdirectamente representable por aquellos de sus cocientes que no sean isomorfos a A. (Esto no es exactamente lo mismo que "por sus cocientes propios" porque un cociente propio de A puede ser isomorfo a A , por ejemplo el cociente de la semired ( Z , min ) obtenido identificando solo los dos elementos 3 y 4. )
Un corolario inmediato es que cualquier variedad , como clase cerrada bajo homomorfismos , subálgebras y productos directos , está determinada por sus miembros subdirectamente irreducibles, ya que cada álgebra A de la variedad puede construirse como una subálgebra de un producto directo adecuado de la variedad subdirectamente. cocientes irreducibles de A , todos los cuales pertenecen a la variedad porque A lo hace. Por esta razón, a menudo no se estudia la variedad en sí, sino sólo sus irreductibles subdirectos.
Un álgebra A es subdirectamente irreducible si y sólo si contiene dos elementos que están identificados por cada cociente propio, de manera equivalente, si y sólo si su red Con A de congruencias tiene un elemento mínimo de no identidad. Es decir, cualquier subdirecto irreductible debe contener un par específico de elementos que atestiguan su irreductibilidad de esta manera. Dado tal testigo ( a , b ) de la irreducibilidad subdirecta, decimos que el irreducible subdirecto es ( a , b ) -irreducible.
Dada cualquier clase C de álgebras similares, el lema de Jónsson (debido a Bjarni Jónsson ) establece que si la variedad HSP( C ) generada por C es congruencia-distributiva, sus irreductibles subdirectos están en HSP U ( C ), es decir, son cocientes de subálgebras de ultraproductos de miembros de C . (Si C es un conjunto finito de álgebras finitas, la operación del ultraproducto es redundante).
Una condición necesaria y suficiente para que un álgebra de Heyting sea subdirectamente irreducible es que haya un elemento mayor estrictamente por debajo de 1. El par testigo es ese elemento y 1, e identificar cualquier otro par a , b de elementos identifica tanto a → b como b → a con 1 colapsando así todo lo que está por encima de esas dos implicaciones a 1. Por lo tanto, cada cadena finita de dos o más elementos como un álgebra de Heyting es subdirectamente irreducible.
Según el lema de Jónsson, las álgebras subdirectamente irreducibles de una variedad distributiva de congruencia generadas por un conjunto finito de álgebras finitas no son mayores que las álgebras generadoras, ya que los cocientes y subálgebras de un álgebra A nunca son mayores que la propia A. Por ejemplo, los irreducibles subdirectos en la variedad generada por un álgebra de Heyting H finita ordenada linealmente deben ser solo los cocientes no degenerados de H , es decir, todas las álgebras de Heyting no degeneradas ordenadas linealmente más pequeñas. Las condiciones no se pueden eliminar en general: por ejemplo, la variedad de todas las álgebras de Heyting es generada por el conjunto de sus álgebras finitas subdirectamente irreducibles, pero existen álgebras de Heyting subdirectamente irreducibles de cardinalidad arbitraria (infinita) . También existe un álgebra finita única que genera una variedad (no distributiva de congruencia) con irreductibles subdirectos arbitrariamente grandes. [2]