En álgebra abstracta , un módulo es indescomponible si no es cero y no se puede escribir como una suma directa de dos submódulos distintos de cero . [1] [2]
Indecomponible es una noción más débil que módulo simple (que a veces también se llama módulo irreducible ): simple significa "sin submódulo propio" N < M , mientras que indecomponible "no expresable como N ⊕ P = M ".
Una suma directa de indecomponibles se llama completamente descomponible ; [ cita requerida ] esto es más débil que ser semisimple , que es una suma directa de módulos simples .
La descomposición por suma directa de un módulo en módulos indecomponibles se denomina descomposición indecomponible .
En muchas situaciones, todos los módulos de interés son completamente descomponibles; los módulos indescomponibles pueden entonces considerarse como los "bloques básicos de construcción", los únicos objetos que necesitan ser estudiados. Este es el caso de los módulos sobre un campo o PID , y subyace a la forma normal de Jordan de los operadores .
Los módulos sobre cuerpos son espacios vectoriales . [3] Un espacio vectorial es indecomponible si y sólo si su dimensión es 1. Por lo tanto, todo espacio vectorial es completamente descomponible (de hecho, semisimple), con infinitos sumandos si la dimensión es infinita. [4]
Los módulos finitamente generados sobre dominios ideales principales (PID) se clasifican según el teorema de estructura para módulos finitamente generados sobre un dominio ideal principal : la descomposición primaria es una descomposición en módulos indecomponibles, por lo que cada módulo finitamente generado sobre un PID es completamente descomponible.
Explícitamente, los módulos de la forma R / p n para ideales primos p (incluyendo p = 0 , que produce R ) son indecomponibles. Cada R -módulo finitamente generado es una suma directa de estos. Nótese que esto es simple si y solo si n = 1 (o p = 0 ); por ejemplo, el grupo cíclico de orden 4, Z /4, es indecomponible pero no simple – tiene el subgrupo 2 Z /4 de orden 2, pero este no tiene un complemento.
Sobre los números enteros Z , los módulos son grupos abelianos . Un grupo abeliano finitamente generado es indescomponible si y solo si es isomorfo a Z o a un grupo factorial de la forma Z / p n Z para algún número primo p y algún entero positivo n . Todo grupo abeliano finitamente generado es una suma directa de (un número finito) grupos abelianos indescomponibles.
Existen, sin embargo, otros grupos abelianos indecomponibles que no son generados finitamente; ejemplos de ellos son los números racionales Q y los p -grupos de Prüfer Z ( p ∞ ) para cualquier número primo p .
Para un entero positivo fijo n , considérese el anillo R de matrices n -por- n con entradas de los números reales (o de cualquier otro cuerpo K ). Entonces K n es un R -módulo izquierdo (la multiplicación escalar es multiplicación matricial ). Este es, hasta el isomorfismo, el único módulo indecomponible sobre R . Cada R -módulo izquierdo es una suma directa de (un número finito o infinito de) copias de este módulo K n .
Todo módulo simple es indescomponible. La recíproca no es cierta en general, como lo demuestra el segundo ejemplo anterior.
Al observar el anillo de endomorfismo de un módulo, se puede saber si el módulo es indescomponible: si y solo si el anillo de endomorfismo no contiene un elemento idempotente diferente de 0 y 1. [1] (Si f es un endomorfismo idempotente de M , entonces M es la suma directa de ker( f ) e im( f ).)
Un módulo de longitud finita es indescomponible si y solo si su anillo de endomorfismos es local . El lema de ajuste proporciona más información sobre los endomorfismos de indescomponibles de longitud finita .
En la situación de longitud finita, la descomposición en indecomponibles es particularmente útil, debido al teorema de Krull-Schmidt : cada módulo de longitud finita puede escribirse como una suma directa de un número finito de módulos indecomponibles, y esta descomposición es esencialmente única (lo que significa que si tienes una descomposición en indecomponibles diferente, entonces los sumandos de la primera descomposición pueden emparejarse con los sumandos de la segunda descomposición de modo que los miembros de cada par sean isomorfos). [5]