Submódulo denso

En álgebra abstracta , específicamente en teoría de módulos , un submódulo denso de un módulo es un refinamiento de la noción de submódulo esencial . Si N es un submódulo denso de M , alternativamente se puede decir que " N  ⊆  M es una extensión racional ". Los submódulos densos están conectados con anillos de cocientes en la teoría de anillos no conmutativos . La mayoría de los resultados que aparecen aquí se establecieron por primera vez en (Johnson 1951), (Utumi 1956) y (Findlay & Lambek 1958).

Cabe señalar que esta terminología es diferente de la noción de subconjunto denso en la topología general . No se necesita ninguna topología para definir un submódulo denso, y un submódulo denso puede o no ser topológicamente denso en un módulo con topología .

Definición

Este artículo modifica la exposición que aparece en (Storrer 1972) y (Lam 1999, p. 272). Sea R un anillo y M un R -módulo recto con submódulo N . Para un elemento y de M , definamos

${\displaystyle y^{-1}N=\{r\in R\mid yr\in N\}\,}$

Nótese que la expresión y ⁻¹ es sólo formal ya que no tiene sentido hablar de que el elemento módulo y sea invertible , pero la notación ayuda a sugerir que y ⋅( y ⁻¹ N ) ⊆  N . El conjunto y  ⁻¹ N es siempre un ideal recto de R .

Se dice que un submódulo N de M es un submódulo denso si para todo x e y en M con x  ≠ 0, existe un r en R tal que xr  ≠ {0} e yr está en N . En otras palabras, utilizando la notación introducida, el conjunto

${\displaystyle x(y^{-1}N)\neq \{0\}\,}$

En este caso, la relación se denota por

${\displaystyle N\subseteq _{d}M\,}$

Otra definición equivalente es de naturaleza homológica : N es denso en M si y sólo si

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(M/N,E(M))=\{0\}\,}$

donde E ( M ) es la envoltura inyectiva de M .

Propiedades

• Se puede demostrar que N es un submódulo esencial de M si y solo si para todo y  ≠ 0 en M , el conjunto y ⋅( y  ⁻¹ N ) ≠ {0}. Claramente, entonces, todo submódulo denso es un submódulo esencial.
• Si M es un módulo no singular , entonces N es denso en M si y sólo si es esencial en M.
• Un anillo es un anillo recto no singular si y sólo si sus ideales rectos esenciales son todos ideales rectos densos.
• Si N y N' son submódulos densos de M , entonces también lo es N  ∩  N' .
• Si N es denso y N  ⊆  K  ⊆  M , entonces K también es denso.
• Si B es un ideal recto denso en R , entonces también lo es y ⁻¹ B para cualquier y en R .

Ejemplos

• Si x es un divisor distinto de cero en el centro de R , entonces xR es un ideal derecho denso de R .
• Si I es un ideal bilateral de R , I es denso como ideal derecho si y solo si el aniquilador izquierdo de I es cero, es decir, . En particular, en anillos conmutativos , los ideales densos son precisamente los ideales que son módulos fieles . ${\displaystyle \ell \cdot \mathrm {Ann} (I)=\{0\}\,}$

Aplicaciones

Casco racional de un módulo

Todo módulo R recto M tiene una extensión esencial máxima E ( M ) que es su envoltura inyectiva . La construcción análoga que utiliza una extensión densa máxima da como resultado la envoltura racional Ẽ ( M ) que es un submódulo de E ( M ). Cuando un módulo no tiene una extensión racional propia, de modo que Ẽ ( M ) =  M , se dice que el módulo es racionalmente completo . Si R es no singular recto, entonces, por supuesto, Ẽ ( M ) =  E ( M ).

La envoltura racional se identifica fácilmente dentro de la envoltura inyectiva. Sea S = End _R ( E ( M )) el anillo de endomorfismo de la envoltura inyectiva. Entonces, un elemento x de la envoltura inyectiva está en la envoltura racional si y solo si x es enviado a cero por todas las funciones en S que son cero en M . En símbolos,

${\displaystyle {\tilde {E}}(M)=\{x\in E(M)\mid \forall f\in S,f(M)=0\implies f(x)=0\}\,}$

En general, puede haber mapas en S que sean cero en M y, sin embargo, no sean cero para algún x que no esté en M , y dicho x no estaría en la envoltura racional.

Anillo máximo derecho de cocientes

El anillo derecho máximo de cocientes se puede describir de dos maneras en conexión con los ideales derechos densos de R.

• En un método, se demuestra que Ẽ ( R ) es isomorfo en módulo a un cierto anillo de endomorfismo, y la estructura del anillo se toma a través de este isomorfismo para imbuir a Ẽ ( R ) con una estructura de anillo, la del anillo derecho máximo de cocientes. (Lam 1999, p. 366)
• En un segundo método, el anillo recto máximo de cocientes se identifica con un conjunto de clases de equivalencia de homomorfismos de ideales rectos densos de R en R . La relación de equivalencia dice que dos funciones son equivalentes si concuerdan en un ideal recto denso de R . (Lam 1999, p. 370)

Referencias

• Findlay, GD; Lambek, J. (1958), "Un anillo generalizado de cocientes. I, II", Canadian Mathematical Bulletin , 1 (2): 77–85, 155–167, doi : 10.4153/CMB-1958-009-3 , ISSN  0008-4395, MR  0094370
• Johnson, RE (1951), "El centralizador extendido de un anillo sobre un módulo", Actas de la American Mathematical Society , 2 (6): 891–895, doi : 10.1090/s0002-9939-1951-0045695-9 , ISSN  0002-9939, MR  0045695
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lecciones sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas, n.º 189, vol. 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, Sr.  1653294
• Storrer, Hans H. (1972), "Sobre la descomposición primaria de Goldman", Lectures on Rings and Modules (Tulane Univ. Ring and Operator Theory) , Apuntes de clase de matemáticas, I (1970-1971), Berlín: Springer: 617-661, doi :10.1007/bfb0059571, ISBN 978-3-540-05760-4, Sr.  0360717
• Utumi, Yuzo (1956), "Sobre anillos de cociente", Osaka Mathematical Journal , 8 : 1–18, doi : 10.18910/8001 , MR  0078966