submódulo denso

En álgebra abstracta , específicamente en teoría de módulos , un submódulo denso de un módulo es un refinamiento de la noción de submódulo esencial . Si N es un submódulo denso de M , alternativamente se puede decir que " N  ⊆  M es una extensión racional ". Los submódulos densos están conectados con anillos de cocientes en la teoría de anillos no conmutativa. La mayoría de los resultados que aparecen aquí se establecieron por primera vez en (Johnson 1951), (Utumi 1956) y (Findlay y Lambek 1958).

Cabe señalar que esta terminología es diferente de la noción de subconjunto denso en la topología general . No se necesita topología para definir un submódulo denso, y un submódulo denso puede o no ser topológicamente denso en un módulo con topología.

Definición

Este artículo modifica la exposición que aparece en (Storrer 1972) y (Lam 1999, p. 272). Sea R un anillo y M un módulo R derecho con submódulo N. Para un elemento y de M , defina

${\displaystyle y^{-1}N=\{r\in R\mid yr\in N\}\,}$

Tenga en cuenta que la expresión y ⁻¹ es solo formal ya que no tiene sentido hablar de que el elemento módulo y sea invertible , pero la notación ayuda a sugerir que y ⋅( y ⁻¹ N ) ⊆  N . El conjunto y  ⁻¹ N es siempre un ideal recto de R .

Se dice que un submódulo N de M es un submódulo denso si para todo x e y en M con x  ≠ 0, existe una r en R tal que xr  ≠ {0} e yr está en N. En otras palabras, usando la notación introducida, el conjunto

${\displaystyle x(y^{-1}N)\neq \{0\}\,}$

En este caso, la relación se denota por

${\displaystyle N\subseteq _{d}M\,}$

Otra definición equivalente es de naturaleza homológica : N es denso en M si y sólo si

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(M/N,E(M))=\{0\}\,}$

donde E ( M ) es el casco inyectivo de M .

Propiedades

• Se puede demostrar que N es un submódulo esencial de M si y sólo si para todo y  ≠ 0 en M , el conjunto y ⋅( y  ⁻¹ N ) ≠ {0}. Es evidente entonces que todo submódulo denso es un submódulo esencial.
• Si M es un módulo no singular , entonces N es denso en M si y sólo si es esencial en M.
• Un anillo es un anillo recto no singular si y sólo si sus ideales rectos esenciales son todos ideales rectos densos.
• Si N y N' son submódulos densos de M , entonces también lo es N  ∩  N' .
• Si N es denso y N  ⊆  K  ⊆  M , entonces K también es denso.
• Si B es un ideal derecho denso en R , entonces también lo es y −1 ^B para cualquier y en R.

Ejemplos

• Si x es un divisor distinto de cero en el centro de R , entonces xR es un ideal denso derecho de R.
• Si I es un ideal bilateral de R , I es denso como ideal derecho si y sólo si el aniquilador izquierdo de I es cero, es decir ,. En particular en los anillos conmutativos, los ideales densos son precisamente los ideales que son módulos fieles . ${\displaystyle \ell \cdot \mathrm {Ann} (I)=\{0\}\,}$

Aplicaciones

Casco racional de un módulo.

Todo módulo R derecho M tiene una extensión esencial máxima E ( M ) que es su casco inyectivo . La construcción análoga que utiliza una extensión densa máxima da como resultado el casco racional Ẽ ( M ) que es un submódulo de E ( M ). Cuando un módulo no tiene una extensión racional adecuada, de modo que Ẽ ( M ) =  M , se dice que el módulo es racionalmente completo . Si R es no singular, entonces, por supuesto, Ẽ ( M ) =  E ( M ).

La cáscara racional se identifica fácilmente dentro de la cáscara inyectiva. Sea S =End _R ( E ( M )) el anillo de endomorfismo del casco inyectivo. Entonces un elemento x de la carcasa inyectiva está en la carcasa racional si y sólo si x es enviado a cero por todos los mapas en S que son cero en M. En símbolos,

${\displaystyle {\tilde {E}}(M)=\{x\in E(M)\mid \forall f\in S,f(M)=0\implies f(x)=0\}\,}$

En general, puede haber aplicaciones en S que sean cero en M y, sin embargo, sean distintas de cero para alguna x que no esté en M , y tal x no estaría en el casco racional.

Anillo derecho máximo de cocientes

El anillo derecho máximo de cocientes se puede describir de dos maneras en relación con los ideales derechos densos de R.

• En un método, se muestra que Ẽ ( R ) es un módulo isomorfo a un determinado anillo de endomorfismo, y la estructura del anillo se toma a través de este isomorfismo para imbuir a Ẽ ( R ) con una estructura de anillo, la del anillo derecho máximo de cocientes. (Lam 1999, pág. 366)
• En un segundo método, el anillo derecho máximo de cocientes se identifica con un conjunto de clases de equivalencia de homomorfismos de ideales derechos densos de R en R . La relación de equivalencia dice que dos funciones son equivalentes si coinciden en un ideal derecho denso de R. (Lam 1999, pág. 370)

Referencias

• Findlay, GD; Lambek, J. (1958), "Un anillo generalizado de cocientes. I, II", Boletín matemático canadiense , 1 (2): 77–85, 155–167, doi : 10.4153/CMB-1958-009-3 , ISSN  0008-4395, SEÑOR  0094370
• Johnson, RE (1951), "El centralizador extendido de un anillo sobre un módulo", Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense , 2 (6): 891–895, doi : 10.1090/s0002-9939-1951-0045695-9 , ISSN  0002-9939, SEÑOR  0045695
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Conferencias sobre módulos y anillos , Textos de Graduado en Matemáticas N° 189, vol. 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, señor  1653294
• Storrer, Hans H. (1972), "Sobre la descomposición primaria de Goldman", Conferencias sobre anillos y módulos (Teoría de operadores y anillos de la Universidad de Tulane) , Apuntes de conferencias de matemáticas, Berlín: Springer, I (1970–1971): 617–661 , doi :10.1007/bfb0059571, ISBN 978-3-540-05760-4, SEÑOR  0360717
• Utumi, Yuzo (1956), "Sobre anillos de cociente", Osaka Mathematical Journal , 8 : 1–18, doi : 10.18910/8001 , SEÑOR  0078966