Ideal que asigna a cero un subconjunto de un módulo
En matemáticas , el aniquilador de un subconjunto S de un módulo sobre un anillo es el ideal formado por los elementos del anillo que dan siempre cero al multiplicarlos por cada elemento de S.
En un dominio integral , un módulo que tiene un aniquilador distinto de cero es un módulo de torsión , y un módulo de torsión generado finitamente tiene un aniquilador distinto de cero.
La definición anterior se aplica también en el caso de anillos no conmutativos , donde el aniquilador izquierdo de un módulo izquierdo es un ideal izquierdo, y el aniquilador derecho , de un módulo derecho, es un ideal derecho.
Definiciones
Sea R un anillo y sea M un módulo R izquierdo . Elija un subconjunto no vacío S de M . El aniquilador de S , denotado Ann R ( S ), es el conjunto de todos los elementos r en R tales que, para todos los s en S , rs = 0 . [1] En notación de conjuntos,
- para todos
Es el conjunto de todos los elementos de R los que "aniquilan" a S (los elementos para los cuales S es un conjunto de torsión). También se pueden utilizar subconjuntos de módulos correctos, después de la modificación de " sr = 0 " en la definición.
El aniquilador de un solo elemento x generalmente se escribe Ann R ( x ) en lugar de Ann R ({ x }). Si el anillo R puede entenderse por el contexto, se puede omitir el subíndice R.
Dado que R es un módulo sobre sí mismo, se puede considerar que S es un subconjunto del propio R , y dado que R es un módulo R derecho e izquierdo , la notación debe modificarse ligeramente para indicar el lado izquierdo o derecho. Por lo general , se utiliza algún esquema de subíndice similar para distinguir los aniquiladores izquierdo y derecho, si es necesario.
Si M es un módulo R y Ann R ( M ) = 0 , entonces M se llama módulo fiel .
Propiedades
Si S es un subconjunto de un módulo R izquierdo M , entonces Ann( S ) es un ideal izquierdo de R. [2]
Si S es un submódulo de M , entonces Ann R ( S ) es incluso un ideal bilateral: ( ac ) s = a ( cs ) = 0, ya que cs es otro elemento de S. [3]
Si S es un subconjunto de M y N es el submódulo de M generado por S , entonces, en general, Ann R ( N ) es un subconjunto de Ann R ( S ), pero no son necesariamente iguales. Si R es conmutativo , entonces se cumple la igualdad.
M también puede verse como un módulo R /Ann R ( M ) usando la acción . Por cierto, no siempre es posible convertir un módulo R en un módulo R / I de esta manera, pero si el I ideal es un subconjunto del aniquilador de M , entonces esta acción está bien definida. Considerado como un módulo R /Ann R ( M ), M es automáticamente un módulo fiel.
Para anillos conmutativos
A lo largo de esta sección, sean un anillo conmutativo y un módulo -generado finitamente .
Relación con el apoyo
Recordemos que el soporte de un módulo se define como
Luego, cuando el módulo se genera de forma finita, existe la relación
- ,
donde está el conjunto de ideales primos que contiene el subconjunto. [4]
secuencias exactas cortas
Dada una secuencia corta y exacta de módulos,
la propiedad de soporte
- [5]
junto con la relación con el aniquilador implica
Más específicamente, tenemos las relaciones
Si la secuencia se divide, entonces la desigualdad de la izquierda es siempre una igualdad. De hecho, esto es válido para sumas directas arbitrarias de módulos, como
Módulos de cociente y aniquiladores.
Dado un ideal y sea un módulo generado finitamente, entonces existe la relación
en el soporte. Usando la relación con el apoyo, esto da la relación con el aniquilador [6]
Ejemplos
sobre los números enteros
Cualquier módulo generado finitamente se clasifica completamente como la suma directa de su parte libre con su parte de torsión del teorema fundamental de los grupos abelianos. Entonces, el aniquilador de un módulo generado finitamente no es trivial sólo si es completamente de torsión. Esto es porque
ya que el único elemento que mata a cada uno de ellos es . Por ejemplo, el aniquilador de es
el ideal generado por . De hecho, el aniquilador de un módulo de torsión.
es isomorfo al ideal generado por su mínimo común múltiplo , . Esto muestra que los aniquiladores se pueden clasificar fácilmente en números enteros.
Sobre un anillo conmutativoR
De hecho, existe un cálculo similar que se puede realizar para cualquier módulo presentado de forma finita sobre un anillo conmutativo . Recuerde que la definición de presentación finita de implica que existe una secuencia exacta, llamada presentación, dada por
¿Dónde está ? Escribir explícitamente como una matriz lo da como
por lo tanto tiene la descomposición de suma directa
Si escribimos cada uno de estos ideales como
entonces el ideal dado por
presenta el aniquilador.
Encimak[X,y]
Sobre el anillo conmutativo de un campo , el aniquilador del módulo.
viene dado por el ideal
Condiciones en cadena sobre los ideales aniquiladores
La red de ideales de la forma donde S es un subconjunto de R es una red completa cuando está parcialmente ordenada por inclusión . Es interesante estudiar anillos para los cuales esta red (o su contraparte derecha) satisface la condición de cadena ascendente o la condición de cadena descendente .
Denota el entramado de ideales aniquiladores izquierdos de R as y el entramado de ideales aniquiladores derechos de R as . Se sabe que satisface la condición de la cadena ascendente si y solo si satisface la condición de la cadena descendente, y satisface simétricamente la condición de la cadena ascendente si y solo si satisface la condición de la cadena descendente. Si cualquiera de las redes tiene alguna de estas condiciones de cadena, entonces R no tiene conjuntos ortogonales infinitos por pares de idempotentes . [7]
Si R es un anillo que satisface el ACC y R R tiene una dimensión uniforme finita , entonces R se llama anillo Goldie izquierdo .
Descripción teórica de categorías para anillos conmutativos
Cuando R es conmutativo y M es un módulo R , podemos describir Ann R ( M ) como el núcleo del mapa de acción R → End R ( M ) determinado por el mapa adjunto de la identidad M → M a lo largo del tensor Hom. adjunción .
De manera más general, dado un mapa bilineal de módulos , el aniquilador de un subconjunto es el conjunto de todos los elementos en ese aniquilado :
Por el contrario, dado , se puede definir un aniquilador como un subconjunto de .
El aniquilador proporciona una conexión de Galois entre subconjuntos de y , y el operador de cierre asociado es más fuerte que el tramo. En particular:
- los aniquiladores son submódulos
Un caso especial importante es la presencia de una forma no degenerada en un espacio vectorial , particularmente un producto interno : entonces el aniquilador asociado al mapa se llama complemento ortogonal .
Relaciones con otras propiedades de los anillos.
Dado un módulo M sobre un anillo conmutativo noetheriano R , un ideal primo de R que es un aniquilador de un elemento distinto de cero de M se llama primo asociado de M.
- (Aquí permitimos que cero sea un divisor de cero).
- En particular, D R es el conjunto de divisores cero (izquierdos) de R tomando S = R y R actuando sobre sí mismo como un módulo R izquierdo.
Ver también
Notas
- ^ Perforar (1982), pág. 23.
- ^ Prueba: si a y b aniquilan a S , entonces para cada s en S , ( a + b ) s = as + bs = 0, y para cualquier r en R , ( ra ) s = r ( as ) = r 0 = 0.
- ^ Perforar (1982), pág. 23, Lema b, punto (i).
- ^ "Lema 10.39.5 (00L2): el proyecto Stacks". pilas.math.columbia.edu . Consultado el 13 de mayo de 2020 .
- ^ "Lema 10.39.9 (00L3): el proyecto Stacks". pilas.math.columbia.edu . Consultado el 13 de mayo de 2020 .
- ^ "Lema 10.39.9 (00L3): el proyecto Stacks". pilas.math.columbia.edu . Consultado el 13 de mayo de 2020 .
- ^ Anderson y Fuller 1992, pág. 322.
Referencias
- Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Anillos y categorías de módulos , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 13 (2 ed.), Nueva York: Springer-Verlag, págs. x+376, doi :10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, señor 1245487
- Israel Nathan Herstein (1968) Anillos no conmutativos , Carus Mathematical Monographs #15, Mathematical Association of America , página 3.
- Lam, Tsit Yuen (1999), Conferencias sobre módulos y anillos , Textos de Graduado en Matemáticas N° 189, vol. 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 228–232, doi :10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, señor 1653294
- Richard S. Pierce. Álgebras asociativas . Textos de Posgrado en Matemáticas, vol. 88, Springer-Verlag, 1982, ISBN 978-0-387-90693-5