Módulo generado finitamente

En álgebra, módulo con un conjunto generador finito.

En matemáticas , un módulo generado finitamente es un módulo que tiene un conjunto generador finito . Un módulo generado finitamente sobre un anillo R también puede denominarse módulo R finito , finito sobre R , ^[1] o módulo de tipo finito .

Los conceptos relacionados incluyen módulos finitamente cogenerados , módulos finitamente presentados , módulos finitamente relacionados y módulos coherentes, todos los cuales se definen a continuación. Sobre un anillo noetheriano coinciden los conceptos de módulos finitamente generados, finitamente presentados y coherentes.

Un módulo generado finitamente sobre un campo es simplemente un espacio vectorial de dimensión finita , y un módulo generado finitamente sobre números enteros es simplemente un grupo abeliano generado finitamente .

Definición

El módulo R izquierdo M se genera de forma finita si existe un ₁ , un ₂ , ..., un _n en M tal que para cualquier x en M , existe r ₁ , r ₂ , ..., r _n en R con x = r ₁ a ₁ + r ₂ a ₂ + ... + r _n a _n .

El conjunto { a ₁ , a ₂ , ..., an } _se denomina conjunto generador de M en este caso. Un conjunto generador finito no necesita ser una base, ya que no necesita ser linealmente independiente de R. Lo que es cierto es: M se genera de forma finita si y sólo si hay un mapa lineal R sobreyectivo :

${\displaystyle R^{n}\to M}$

para algunos n ( M es un cociente de un módulo libre de rango finito).

Si un conjunto S genera un módulo que se genera de forma finita, entonces hay un conjunto generador finito que está incluido en S , ya que sólo se necesitan un número finito de elementos en S para expresar los generadores en cualquier conjunto generador finito, y estos elementos finitos forman un grupo electrógeno. Sin embargo, puede ocurrir que S no contenga ningún conjunto generador finito de cardinalidad mínima . Por ejemplo, el conjunto de números primos es un conjunto generador visto como módulo, y un conjunto generador formado a partir de números primos tiene al menos dos elementos, mientras que el singleton {1} también es un conjunto generador. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

En el caso en que el módulo M es un espacio vectorial sobre un campo R y el conjunto generador es linealmente independiente , n está bien definido y se conoce como la dimensión de M ( bien definido significa que cualquier conjunto generador linealmente independiente tiene n elementos: este es el teorema de dimensión para espacios vectoriales ).

Cualquier módulo es la unión del conjunto dirigido de sus submódulos finitamente generados.

Un módulo M se genera finitamente si y sólo si cualquier cadena creciente _Mi de submódulos con unión M se estabiliza : es decir, hay algo de i tal que Mi ₌ M. Este hecho con el lema de Zorn implica que todo módulo generado finitamente distinto de cero admite submódulos máximos . Si cualquier cadena creciente de submódulos se estabiliza (es decir, cualquier submódulo se genera de forma finita), entonces el módulo M se denomina módulo noetheriano .

Ejemplos

• Si un módulo es generado por un elemento, se llama módulo cíclico .
• Sea R un dominio integral con K su campo de fracciones. Entonces, cada R -submódulo I de K generado finitamente es un ideal fraccionario : es decir, hay algún r distinto de cero en R tal que rI está contenido en R. De hecho, se puede tomar r como el producto de los denominadores de los generadores de I. Si R es noetheriano, entonces todo ideal fraccionario surge de esta manera.
• Los módulos finitamente generados sobre el anillo de números enteros Z coinciden con los grupos abelianos finitamente generados . Estos se clasifican completamente mediante el teorema de la estructura , tomando Z como dominio ideal principal.
• Los módulos finitamente generados (digamos a la izquierda) sobre un anillo de división son precisamente espacios vectoriales de dimensión finita (sobre el anillo de división).

Algunos hechos

Cada imagen homomórfica de un módulo generado finitamente se genera finitamente. En general, no es necesario generar de forma finita los submódulos de módulos generados de forma finita. Como ejemplo, considere el anillo R  =  Z [ X ₁ , X ₂ , ...] de todos los polinomios en un número contable de variables. R en sí es un módulo R finitamente generado (con {1} como conjunto generador). Considere el submódulo K que consta de todos aquellos polinomios con término constante cero. Dado que cada polinomio contiene sólo un número finito de términos cuyos coeficientes son distintos de cero, el módulo R K no se genera de forma finita.

En general, se dice que un módulo es noetheriano si cada submódulo se genera de forma finita. Un módulo finitamente generado sobre un anillo noetheriano es un módulo noetheriano (y de hecho esta propiedad caracteriza a los anillos noetherianos): un módulo sobre un anillo noetheriano se genera finitamente si y sólo si es un módulo noetheriano. Esto se parece, pero no es exactamente, al teorema de base de Hilbert , que establece que el anillo polinómico R [ X ] sobre un anillo noetheriano R es noetheriano. Ambos hechos implican que un álgebra conmutativa generada finitamente sobre un anillo noetheriano es nuevamente un anillo noetheriano.

De manera más general, un álgebra (por ejemplo, anillo) que es un módulo generado finitamente es un álgebra generada finitamente . Por el contrario, si un álgebra generada finitamente es integral (sobre el anillo de coeficientes), entonces es un módulo generado finitamente. (Consulte el elemento integral para obtener más información).

Sea 0 → M ′ → M → M “ → 0 una secuencia exacta de módulos. Entonces M se genera finitamente si M ′, M ′′ se generan finitamente. Hay algunas reacciones parciales a esto. Si M se genera finitamente y M " se presenta finitamente (lo cual es más fuerte que lo generado finitamente; ver más abajo), entonces M ′ se genera finitamente. Además, M es noetheriano (resp. artiniano) si y sólo si M ′, M ′′ son noetherianos (resp. artiniano).

Sea B un anillo y A su subanillo tal que B sea un módulo A recto fielmente plano . Entonces, un módulo A izquierdo F se genera finitamente (o se presenta finitamente) si y solo si el módulo B B ⊗ _A F se genera finitamente (o se presenta finitamente). ^[2]

Módulos finitamente generados sobre un anillo conmutativo.

Para módulos finitamente generados sobre un anillo conmutativo R , el lema de Nakayama es fundamental. A veces, el lema permite probar fenómenos de espacios vectoriales de dimensión finita para módulos generados de forma finita. Por ejemplo, si f  : M → M es un R -endomorfismo sobreyectivo de un módulo M finitamente generado , entonces f también es inyectivo y, por tanto, es un automorfismo de M. ^[3] Esto dice simplemente que M es un módulo hopfiano . De manera similar, un módulo artiniano M es cohopfiano : cualquier endomorfismo inyectivo f también es un endomorfismo sobreyectivo. ^[4]

Cualquier R -módulo es un límite inductivo de R -submódulos finitamente generados . Esto es útil para debilitar una suposición del caso finito (por ejemplo, la caracterización de planitud con el functor Tor ).

Un ejemplo de vínculo entre generación finita y elementos integrales se puede encontrar en las álgebras conmutativas. Decir que un álgebra conmutativa A es un anillo finitamente generado sobre R significa que existe un conjunto de elementos G = { x ₁ , ..., x _n } de A tal que el subanillo más pequeño de A que contiene a G y R es A sí mismo. Debido a que el producto del anillo puede usarse para combinar elementos, se generan más que simplemente R -combinaciones lineales de elementos de G. Por ejemplo, un anillo polinómico R [ x ] es generado finitamente por {1, x } como anillo, pero no como módulo . Si A es un álgebra conmutativa (con unidad) sobre R , entonces las dos afirmaciones siguientes son equivalentes: ^[5]

• A es un módulo R finitamente generado .
• A es a la vez un anillo generado finitamente sobre R y una extensión integral de R.

rango genérico

Sea M un módulo finitamente generado sobre un dominio integral A con el campo de fracciones K . Entonces la dimensión se llama rango genérico de M sobre A. Este número es el mismo que el número de vectores A máximos linealmente independientes en M o, de manera equivalente, el rango de un submódulo libre máximo de M ( cf. Rango de un grupo abeliano ). Ya que , es un módulo de torsión . Cuando A es noetheriano, por libertad genérica , existe un elemento f (dependiendo de M ) tal que sea un módulo libre. Entonces el rango de este módulo gratuito es el rango genérico de M. ${\displaystyle \operatorname {dim} _{K}(M\otimes _{A}K)}$ ${\displaystyle (M/F)_{(0)}=M_{(0)}/F_{(0)}=0}$ ${\displaystyle M/F}$ ${\displaystyle M[f^{-1}]}$ ${\displaystyle A[f^{-1}]}$

Ahora supongamos que el dominio integral A se genera como álgebra sobre un campo k mediante un número finito de elementos homogéneos de grados . Supongamos que M también se califica y sea la serie de Poincaré de M. Según el teorema de Hilbert-Serre , existe un polinomio F tal que . Entonces es el rango genérico de M . ^[6] ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle P_{M}(t)=\sum (\operatorname {dim} _{k}M_{n})t^{n}}$ ${\displaystyle P_{M}(t)=F(t)\prod (1-t^{d_{i}})^{-1}}$ ${\displaystyle F(1)}$

Un módulo generado finitamente sobre un dominio ideal principal está libre de torsión si y sólo si está libre. Esto es una consecuencia del teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal , cuya forma básica dice que un módulo generado finitamente sobre un PID es una suma directa de un módulo de torsión y un módulo libre. Pero también se puede mostrar directamente de la siguiente manera: sea M un módulo finitamente generado sin torsión sobre un PID A y F un submódulo libre máximo. Sea f en A tal que . Entonces es libre ya que es un submódulo de un módulo libre y A es un PID. Pero ahora es un isomorfismo ya que M M no tiene torsión. ${\displaystyle fM\subset F}$ ${\displaystyle fM}$ ${\displaystyle f:M\to fM}$

Por el mismo argumento anterior, un módulo generado finitamente sobre un dominio A de Dedekind (o más generalmente un anillo semihereditario ) está libre de torsión si y sólo si es proyectivo ; en consecuencia, un módulo generado finitamente sobre A es una suma directa de un módulo de torsión y un módulo proyectivo. Un módulo proyectivo finitamente generado sobre un dominio integral noetheriano tiene rango constante y, por tanto, el rango genérico de un módulo finitamente generado sobre A es el rango de su parte proyectiva.

Definiciones equivalentes y módulos finitamente cogenerados.

Las siguientes condiciones son equivalentes a que M se genere de forma finita (fg):

• Para cualquier familia de submódulos { N _i | i ∈ I } en M , si , entonces para algún subconjunto finito F de I . ${\displaystyle \sum _{i\in I}N_{i}=M\,}$ ${\displaystyle \sum _{i\in F}N_{i}=M\,}$
• Para cualquier cadena de submódulos { N _i | i ∈ I } en M , si , entonces N _i = M para alguna i en I . ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}N_{i}=M\,}$
• Si es un epimorfismo , entonces la restricción es un epimorfismo para algún subconjunto finito F de I. ${\displaystyle \phi :\bigoplus _{i\in I}R\to M\,}$ ${\displaystyle \phi :\bigoplus _{i\in F}R\to M\,}$

A partir de estas condiciones es fácil ver que ser generado finitamente es una propiedad preservada por la equivalencia de Morita . Las condiciones también son convenientes para definir una noción dual de un módulo M finitamente cogenerado . Las siguientes condiciones equivalen a que un módulo sea cogenerado finitamente (f.cog.):

• Para cualquier familia de submódulos { N _i | i ∈ I } en M , si , entonces para algún subconjunto finito F de I . ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}N_{i}=\{0\}\,}$ ${\displaystyle \bigcap _{i\in F}N_{i}=\{0\}\,}$
• Para cualquier cadena de submódulos { N _i | i ∈ I } en M , si , entonces N _i = {0} para alguna i en I . ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}N_{i}=\{0\}\,}$
• Si es un monomorfismo , donde cada uno es un módulo R , entonces es un monomorfismo para algún subconjunto finito F de I. ${\displaystyle \phi :M\to \prod _{i\in I}N_{i}\,}$ ${\displaystyle N_{i}}$ ${\displaystyle \phi :M\to \prod _{i\in F}N_{i}\,}$

Tanto los módulos fg como f.cog. Los módulos tienen relaciones interesantes con los módulos noetherianos y artinianos, y con el radical de Jacobson J ( M ) y el zócalo soc ( M ) de un módulo. Los siguientes hechos ilustran la dualidad entre las dos condiciones. Para un módulo M :

• M es noetheriano si y sólo si cada submódulo N de M es fg
• M es artiniano si y sólo si cada módulo cociente M / N es f.cog.
• M es fg si y sólo si J ( M ) es un submódulo superfluo de M , y M / J ( M ) es fg
• M es f.cog. si y sólo si soc( M ) es un submódulo esencial de M y soc( M ) es fg
• Si M es un módulo semisimple (como soc( N ) para cualquier módulo N ), es fg si y sólo si f.cog.
• Si M es fg y distinto de cero, entonces M tiene un submódulo máximo y cualquier módulo cociente M / N es fg
• Si M es f.cog. y distinto de cero, entonces M tiene un submódulo mínimo y cualquier submódulo N de M es f.cog.
• Si N y M / N son fg, entonces también lo es M. Lo mismo ocurre si "fg" se reemplaza por "f.cog".

Los módulos finitamente cogenerados deben tener una dimensión uniforme finita . Esto se ve fácilmente aplicando la caracterización utilizando el zócalo esencial generado finitamente. De manera algo asimétrica, los módulos generados finitamente no necesariamente tienen una dimensión uniforme finita. Por ejemplo, un producto directo infinito de anillos distintos de cero es un módulo finitamente generado (¡cíclico!) sobre sí mismo; sin embargo, contiene claramente una suma directa infinita de submódulos distintos de cero. Los módulos finitamente generados tampoco tienen necesariamente una dimensión couniforme finita : cualquier anillo R con unidad tal que R / J ( R ) no sea un anillo semisimple es un contraejemplo.

Módulos finitamente presentados, finitamente relacionados y coherentes.

Otra formulación es la siguiente: un módulo M generado finitamente es aquel para el cual existe un epimorfismo que asigna R ^k a M  :

f : R ^k → METRO .

Supongamos ahora que hay un epimorfismo,

φ  : F → METRO .

para un módulo M y módulo libre F .

• Si el núcleo de φ se genera de forma finita, entonces M se denomina módulo finitamente relacionado . Dado que M es isomorfo a F /ker( φ ), esto básicamente expresa que M se obtiene tomando un módulo libre e introduciendo un número finito de relaciones dentro de F (los generadores de ker( φ )).
• Si el núcleo de φ se genera de forma finita y F tiene rango finito (es decir, F = Rk ), entonces se dice que M es un módulo presentado de forma ^finita . Aquí, M se especifica utilizando un número finito de generadores (las imágenes de los k generadores de F = R ^k ) y un número finito de relaciones (los generadores de ker( φ )). Ver también: presentación gratuita . Los módulos presentados de forma finita se pueden caracterizar por una propiedad abstracta dentro de la categoría de módulos R : son precisamente los objetos compactos de esta categoría.
• Un módulo coherente M es un módulo generado finitamente cuyos submódulos generados finitamente se presentan de forma finita.

Sobre cualquier anillo R , los módulos coherentes se presentan de forma finita, y los módulos presentados de forma finita se generan de forma finita y se relacionan de forma finita. Para un anillo noetheriano R , finitamente generado, finitamente presentado y coherente son condiciones equivalentes en un módulo.

Se produce algún cruce para módulos proyectivos o planos. Un módulo proyectivo finitamente generado se presenta finitamente y un módulo plano finitamente relacionado es proyectivo.

También es cierto que las siguientes condiciones son equivalentes para un anillo R :

1. R es un anillo coherente a la derecha .
2. El módulo R _R es un módulo coherente.
3. Cada módulo R correcto presentado finitamente es coherente.

Aunque la coherencia parece una condición más engorrosa que la generada o presentada finitamente, es mejor que ellas ya que la categoría de módulos coherentes es una categoría abeliana , mientras que, en general, ni los módulos generados ni presentados finitamente forman una categoría abeliana.

Ver también

• elemento integral
• Lema de Artin-Rees
• Módulo generado contablemente
• álgebra finita

Referencias

1. Por ejemplo, Matsumura usa esta terminología.
2. Bourbaki 1998, capítulo 1, §3, núm. 6, Proposición 11.
3. Matsumura 1989, Teorema 2.4.
4. Atiyah y Macdonald 1969, ejercicio 6.1.
5. Kaplansky 1970, pag. 11, Teorema 17.
6. Springer 1977, Teorema 2.5.6.

Libros de texto

• Atiyah, MF; Macdonald, IG (1969), Introducción al álgebra conmutativa , Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ontario, págs. ix+128, MR  0242802
• Bourbaki, Nicolas (1998), Álgebra conmutativa. Capítulos 1-7 Traducidos del francés. Reimpresión de la traducción al inglés de 1989 , Elements of Mathematics, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-64239-0
• Kaplansky, Irving (1970), Anillos conmutativos , Boston, Mass.: Allyn and Bacon Inc., págs. x+180, MR  0254021
• Lam, TY (1999), Conferencias sobre módulos y anillos , Textos de Graduado en Matemáticas No. 189, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5
• Lang, Serge (1997), Álgebra (3.ª ed.), Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-55540-0
• Matsumura, Hideyuki (1989), Teoría de anillos conmutativos , Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas, vol. 8, traducido del japonés por M. Reid (2 ed.), Cambridge: Cambridge University Press, págs. xiv+320, ISBN 0-521-36764-6, SEÑOR  1011461
• Springer, Tonny A. (1977), Teoría invariante , Lecture Notes in Mathematics, vol. 585, Springer, doi :10.1007/BFb0095644, ISBN 978-3-540-08242-2.