Teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal

En matemáticas , en el campo del álgebra abstracta , el teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal es una generalización del teorema fundamental de grupos abelianos generados finitamente y establece aproximadamente que los módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal (PID) pueden descomponerse de forma única de la misma manera que los números enteros tienen una factorización prima . El resultado proporciona un marco simple para comprender varios resultados de forma canónica para matrices cuadradas sobre campos .

Declaración

Cuando un espacio vectorial sobre un campo F tiene un conjunto generador finito , entonces se puede extraer de él una base que consiste en un número finito n de vectores y, por lo tanto, el espacio es isomorfo a F ⁿ . La afirmación correspondiente con F generalizada a un dominio ideal principal R ya no es cierta, ya que podría no existir una base para un módulo generado finitamente sobre R. Sin embargo, tal módulo sigue siendo isomorfo a un cociente de algún módulo R ⁿ con n finito (para ver esto basta construir el morfismo que envía los elementos de la base canónica de R ⁿ a los generadores del módulo, y tomar el cociente por su núcleo .) Al cambiar la elección del conjunto generador, de hecho se puede describir el módulo como el cociente de algún R ⁿ por un submódulo particularmente simple , y este es el teorema de estructura.

El teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal suele aparecer en las dos formas siguientes.

Descomposición de factores invariantes

Para cada módulo M finitamente generado sobre un dominio ideal principal R , existe una secuencia decreciente única de ideales propios tal que M es isomorfo a la suma de módulos cíclicos : ${\displaystyle (d_{1})\supseteq (d_{2})\supseteq \cdots \supseteq (d_{n})}$

${\displaystyle M\cong \bigoplus _{i}R/(d_{i})=R/(d_{1})\oplus R/(d_{2})\oplus \cdots \oplus R/(d_{n}).}$

Los generadores de los ideales son únicos hasta la multiplicación por una unidad , y se denominan factores invariantes de M. Dado que los ideales deben ser propios, estos factores no deben ser invertibles (esto evita factores triviales en la suma), y la inclusión de los ideales significa que uno tiene divisibilidad . La parte libre es visible en la parte de la descomposición correspondiente a factores . Dichos factores, si los hay, ocurren al final de la secuencia. ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle d_{1}\,|\,d_{2}\,|\,\cdots \,|\,d_{n}}$ ${\displaystyle d_{i}=0}$

Si bien la suma directa está determinada únicamente por M , el isomorfismo que da la descomposición en sí no es único en general. Por ejemplo, si R es en realidad un campo, entonces todos los ideales que ocurren deben ser cero y se obtiene la descomposición de un espacio vectorial de dimensión finita en una suma directa de subespacios unidimensionales ; el número de tales factores es fijo, es decir, la dimensión del espacio, pero hay mucha libertad para elegir los subespacios mismos (si dim M > 1 ).

Los elementos distintos de cero, junto con el número de los cuales son cero, forman un conjunto completo de invariantes para el módulo. Explícitamente, esto significa que dos módulos cualesquiera que compartan el mismo conjunto de invariantes son necesariamente isomórficos. ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle d_{i}}$

Algunos prefieren escribir la parte libre de M por separado:

${\displaystyle R^{f}\oplus \bigoplus _{i}R/(d_{i})=R^{f}\oplus R/(d_{1})\oplus R/(d_{2})\oplus \cdots \oplus R/(d_{n-f})\;,}$

donde los visibles son distintos de cero y f es el número de en la secuencia original que son 0. ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle d_{i}}$

Descomposición primaria

Todo módulo M generado finitamente sobre un dominio ideal principal R es isomorfo a uno de la forma

${\displaystyle \bigoplus _{i}R/(q_{i})\;,}$

donde y el son ideales primarios . Son únicos (hasta la multiplicación por unidades). ${\displaystyle (q_{i})\neq R}$ ${\displaystyle (q_{i})}$ ${\displaystyle q_{i}}$

Los elementos se llaman divisores elementales de M. En un PID, los ideales primarios distintos de cero son potencias de números primos, y así . Cuando , el módulo indescomponible resultante es él mismo, y este está dentro de la parte de M que es un módulo libre. ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle (q_{i})=(p_{i}^{r_{i}})=(p_{i})^{r_{i}}}$ ${\displaystyle q_{i}=0}$ ${\displaystyle R}$

Los sumandos son indescomponibles , por lo que la descomposición primaria es una descomposición en módulos indescomponibles y, por lo tanto, cada módulo generado de forma finita sobre un PID es un módulo completamente descomponible . Dado que los PID son anillos noetherianos , esto puede verse como una manifestación del teorema de Lasker-Noether . ${\displaystyle R/(q_{i})}$

Como antes, es posible escribir la parte libre (donde ) por separado y expresar M como ${\displaystyle q_{i}=0}$

${\displaystyle R^{f}\oplus (\bigoplus _{i}R/(q_{i}))\;,}$

donde los visibles son distintos de cero. ${\displaystyle q_{i}}$

Pruebas

Una prueba procede de la siguiente manera:

• Cada módulo generado de forma finita sobre un PID también se presenta de forma finita porque un PID es noetheriano, una condición aún más fuerte que la coherencia .
• Tome una presentación, que es un mapa (relaciones con los generadores), y póngala en forma normal de Smith . ${\displaystyle R^{r}\to R^{g}}$

Esto produce la descomposición factorial invariante, y las entradas diagonales de la forma normal de Smith son los factores invariantes.

Otro esquema de una prueba:

• Denotemos por tM el submódulo de torsión de M . Entonces M / tM es un módulo libre de torsión generado finitamente , y dicho módulo sobre un PID conmutativo es un módulo libre de rango finito , por lo que es isomorfo para un entero positivo n . Este módulo libre se puede incrustar como un submódulo F de M , de modo que la incrustación divida (es un inverso derecho de) el mapa de proyección; basta con elevar cada uno de los generadores de F a M . Como consecuencia . ${\displaystyle R^{n}}$ ${\displaystyle M=tM\oplus F}$
• Para un elemento primo p en R podemos hablar de . Este es un submódulo de tM , y resulta que cada N _p es una suma directa de módulos cíclicos, y que tM es una suma directa de N _p para un número finito de primos distintos p . ${\displaystyle N_{p}=\{m\in tM\mid \exists i,mp^{i}=0\}}$
• Juntando los dos pasos anteriores, M se descompone en módulos cíclicos de los tipos indicados.

Corolarios

Esto incluye la clasificación de espacios vectoriales de dimensión finita como un caso especial, donde . Dado que los campos no tienen ideales no triviales, todo espacio vectorial finitamente generado es libre. ${\displaystyle R=K}$

Tomando se obtiene el teorema fundamental de los grupos abelianos generados finitamente . ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$

Sea T un operador lineal en un espacio vectorial de dimensión finita V sobre K. Tomando , el álgebra de polinomios con coeficientes en K evaluados en T , produce información estructural sobre T . V puede verse como un módulo generado de forma finita sobre . El último factor invariante es el polinomio mínimo , y el producto de factores invariantes es el polinomio característico . Combinado con una forma matricial estándar para , esto produce varias formas canónicas : ${\displaystyle R=K[T]}$ ${\displaystyle K[T]}$ ${\displaystyle K[T]/p(T)}$

• factores invariantes + matriz complementaria produce la forma normal de Frobenius (también conocida como forma canónica racional )
• La descomposición primaria + matriz complementaria produce la forma canónica racional primaria.
• La descomposición primaria + bloques de Jordan produce la forma canónica de Jordan (esta última solo es válida en un campo algebraicamente cerrado )

Unicidad

Si bien los invariantes (rango, factores invariantes y divisores elementales) son únicos, el isomorfismo entre M y su forma canónica no es único y ni siquiera conserva la descomposición por suma directa . Esto se debe a que existen automorfismos no triviales de estos módulos que no conservan los sumandos.

Sin embargo, uno tiene un submódulo de torsión canónico T y submódulos canónicos similares correspondientes a cada factor invariante (distinto), que producen una secuencia canónica:

${\displaystyle 0<\cdots <T<M.}$

Comparar series de composición en el teorema de Jordan-Hölder .

Por ejemplo, si y es una base, entonces es otra base y el cambio de matriz de base no conserva el sumando . Sin embargo, conserva el sumando, ya que este es el submódulo de torsión (aquí, de manera equivalente, los 2 elementos de torsión). ${\displaystyle M\approx \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /2}$ ${\displaystyle (1,{\bar {0}}),(0,{\bar {1}})}$ ${\displaystyle (1,{\bar {1}}),(0,{\bar {1}})}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /2}$

Generalizaciones

Grupos

El teorema de Jordan-Hölder es un resultado más general para grupos finitos (o módulos sobre un anillo arbitrario). En esta generalidad se obtiene una serie de composición , más que una suma directa .

El teorema de Krull-Schmidt y los resultados relacionados dan condiciones bajo las cuales un módulo tiene algo así como una descomposición primaria, una descomposición como una suma directa de módulos indescomponibles en la que los sumandos son únicos hasta el orden.

Descomposición primaria

La descomposición primaria se generaliza a módulos generados finitamente sobre anillos noetherianos conmutativos , y este resultado se denomina teorema de Lasker-Noether .

Módulos indecomponibles

Por el contrario, la descomposición única en submódulos indescomponibles no se generaliza tanto y el fallo se mide por el grupo de clases ideal , que desaparece para los PID.

Para anillos que no son dominios ideales principales, la descomposición única ni siquiera necesita ser válida para módulos sobre un anillo generado por dos elementos. Para el anillo R  =  Z [√−5], tanto el módulo R como su submódulo M generado por 2 y 1 + √−5 son indescomponibles. Si bien R no es isomorfo a M , R  ⊕  R es isomorfo a M  ⊕  M ; así , las imágenes de los M sumandos dan submódulos indescomponibles L ₁ ,  L ₂  <  R  ⊕  R que dan una descomposición diferente de R  ⊕  R. El fracaso de factorizar de forma única R  ⊕  R en una suma directa de módulos indescomponibles está directamente relacionado (a través del grupo de clases ideal) con el fracaso de la factorización única de elementos de R en elementos irreducibles de R.

Sin embargo, en un dominio de Dedekind, el grupo de clases ideal es la única obstrucción, y el teorema de la estructura se generaliza a módulos generados de forma finita en un dominio de Dedekind con modificaciones menores. Todavía hay una parte de torsión única, con un complemento libre de torsión (único hasta el isomorfismo), pero un módulo libre de torsión sobre un dominio de Dedekind ya no es necesariamente libre. Los módulos libres de torsión sobre un dominio de Dedekind están determinados (hasta el isomorfismo) por el rango y la clase de Steinitz (que toma valor en el grupo de clases ideal), y la descomposición en una suma directa de copias de R (módulos libres de rango uno) se reemplaza por una suma directa en módulos proyectivos de rango uno : los sumandos individuales no están determinados de forma única, pero la clase Steinitz (de la suma) sí.

Módulos no generados de forma finita

De manera similar, para los módulos que no se generan de forma finita, no se puede esperar una descomposición tan buena: incluso el número de factores puede variar. Hay Z -submódulos de Q ⁴ que son simultáneamente sumas directas de dos módulos indescomponibles y sumas directas de tres módulos indescomponibles, lo que muestra que el análogo de la descomposición primaria no puede ser válido para módulos generados infinitamente, incluso sobre los números enteros , Z.

Otro problema que surge con los módulos generados de forma no finita es que hay módulos sin torsión que no son libres. Por ejemplo, considere el anillo Z de números enteros. Entonces Q es un módulo Z libre de torsión que no está libre. Otro ejemplo clásico de un módulo de este tipo es el grupo Baer-Specker , el grupo de todas las secuencias de números enteros bajo suma terminológica. En general, la cuestión de qué grupos abelianos libres de torsión generados infinitamente son libres depende de qué cardinales grandes existan. Una consecuencia es que cualquier teorema de estructura para módulos generados infinitamente depende de una elección de axiomas de la teoría de conjuntos y puede no ser válido si se elige una elección diferente.

Referencias

• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004), Álgebra abstracta (3.ª ed.), Nueva York: Wiley, ISBN 978-0-471-43334-7, señor  2286236
• Hungerford, Thomas W. (1980), Álgebra , Nueva York: Springer, págs. 218–226, Sección IV.6: Módulos sobre un dominio ideal principal, ISBN 978-0-387-90518-1
• Jacobson, Nathan (1985), Álgebra básica. I (2 ed.), Nueva York: WH Freeman and Company, págs. xviii+499, ISBN 0-7167-1480-9, señor  0780184
• Lam, TY (1999), Conferencias sobre módulos y anillos , Textos de Graduado en Matemáticas No. 189, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5