Serie de Hilbert-Poincaré

En matemáticas , y en particular en el campo del álgebra , una serie de Hilbert-Poincaré (también conocida con el nombre de serie de Hilbert ), que lleva el nombre de David Hilbert y Henri Poincaré , es una adaptación de la noción de dimensión al contexto de estructuras algebraicas graduadas . (donde la dimensión de toda la estructura es a menudo infinita). Es una serie de potencias formal en un indeterminado, digamos , donde el coeficiente de da la dimensión (o rango) de la subestructura de elementos homogéneos de grado . Está estrechamente relacionado con el polinomio de Hilbert en los casos en que este último existe; sin embargo, la serie de Hilbert-Poincaré describe el rango en todos los grados, mientras que el polinomio de Hilbert lo describe solo en todos menos en un número finito de grados y, por lo tanto, proporciona menos información. En particular, la serie de Hilbert-Poincaré no se puede deducir del polinomio de Hilbert incluso si este último existe. En buenos casos, la serie de Hilbert-Poincaré puede expresarse como una función racional de su argumento . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t}$

Definición

Sea K un campo y un espacio vectorial graduado sobre K , donde cada subespacio de vectores de grado i es de dimensión finita. Entonces la serie de Hilbert-Poincaré de V es la serie de potencias formales ${\displaystyle V=\textstyle \bigoplus _{i\in \mathbb {N} }V_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle V_{i}}$

${\displaystyle \sum _{i\in \mathbb {N} }\dim _{K}(V_{i})t^{i}.}$^[1]

Se puede dar una definición similar para un módulo R graduado sobre cualquier anillo conmutativo R en el que cada submódulo de elementos homogéneos de un grado fijo n está libre de rango finito; basta con sustituir la dimensión por el rango. A menudo, el espacio vectorial graduado o módulo del que se considera la serie de Hilbert-Poincaré tiene una estructura adicional, por ejemplo, la de un anillo, pero la serie de Hilbert-Poincaré es independiente de la estructura multiplicativa o de otro tipo. ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Ejemplo: dado que hay monomios de grado k en variables (por inducción, digamos), se puede deducir que la suma de la serie de Hilbert-Poincaré es la función racional . ^[2] ${\displaystyle {\binom {n+k}{n}}}$ ${\displaystyle X_{0},\dots ,X_{n}}$ ${\displaystyle K[X_{0},\dots ,X_{n}]}$ ${\displaystyle 1/(1-t)^{n+1}}$

Teorema de Hilbert-Serre

Supongamos que M es un módulo graduado generado finitamente con un anillo artiniano (por ejemplo, un campo) A . Entonces la serie de Poincaré de M es un polinomio con coeficientes enteros dividido por . ^[3] La prueba estándar hoy es una inducción sobre n . La prueba original de Hilbert hizo uso del teorema de sizigia de Hilbert (una resolución proyectiva de M ), que proporciona más información homológica. ${\displaystyle A[x_{1},\dots ,x_{n}],\deg x_{i}=d_{i}}$ ${\displaystyle \prod (1-t^{d_{i}})}$

Aquí hay una prueba por inducción sobre el número n de indeterminados. Si , entonces, dado que M tiene una longitud finita, si k es lo suficientemente grande. A continuación, supongamos que el teorema es verdadero y considere la secuencia exacta de módulos calificados (en grados exactos), con la notación , ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle M_{k}=0}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle N(l)_{k}=N_{k+l}}$

${\displaystyle 0\to K(-d_{n})\to M(-d_{n}){\overset {x_{n}}{\to }}M\to C\to 0}$.

Dado que la longitud es aditiva, las series de Poincaré también lo son. Por tanto, tenemos:

${\displaystyle P(M,t)=-P(K(-d_{n}),t)+P(M(-d_{n}),t)-P(C,t)}$.

Podemos escribir . Dado que K muere por , podemos considerarlo como un módulo graduado ; lo mismo ocurre con C. Por tanto, el teorema se deriva ahora de la hipótesis inductiva. ${\displaystyle P(M(-d_{n}),t)=t^{d_{n}}P(M,t)}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle A[x_{0},\dots ,x_{n-1}]}$

complejo de cadena

Un ejemplo de espacio vectorial graduado está asociado a un complejo de cadenas , o complejo de cocadenas C de espacios vectoriales; este último toma la forma

${\displaystyle 0\to C^{0}{\stackrel {d_{0}}{\longrightarrow }}C^{1}{\stackrel {d_{1}}{\longrightarrow }}C^{2}{\stackrel {d_{2}}{\longrightarrow }}\cdots {\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}C^{n}\longrightarrow 0.}$

La serie de Hilbert-Poincaré (aquí a menudo llamada polinomio de Poincaré) del espacio vectorial graduado para este complejo es ${\displaystyle \bigoplus _{i}C^{i}}$

${\displaystyle P_{C}(t)=\sum _{j=0}^{n}\dim(C^{j})t^{j}.}$

El polinomio de Hilbert-Poincaré de la cohomología , con espacios de cohomología H ^j  =  H ^j ( C ), es

${\displaystyle P_{H}(t)=\sum _{j=0}^{n}\dim(H^{j})t^{j}.}$

Una relación famosa entre los dos es que existe un polinomio con coeficientes no negativos, tal que ${\displaystyle Q(t)}$ ${\displaystyle P_{C}(t)-P_{H}(t)=(1+t)Q(t).}$

Referencias

1. Atiyah y Macdonald 1969, cap. 11.
2. Atiyah y Macdonald 1969, cap. 11, un ejemplo justo después de la Proposición 11.3.
3. Atiyah y Macdonald 1969, cap. 11, Teorema 11.1.

• Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, IG (1969). Introducción al Álgebra Conmutativa . Prensa de Westview. ISBN 978-0-201-40751-8.