Soporte de un módulo

En álgebra conmutativa , el soporte de un módulo M sobre un anillo conmutativo R es el conjunto de todos los ideales primos de R tales que (es decir, la localización de M en no es igual a cero). ^[1] Se denota por . El soporte es, por definición, un subconjunto del espectro de R . ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}\neq 0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} M}$

Propiedades

• ${\displaystyle M=0}$ si y sólo si su soporte está vacío .
• Sea una secuencia corta y exacta de R -módulos. Entonces ${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$

  ${\displaystyle \operatorname {Supp} M=\operatorname {Supp} M'\cup \operatorname {Supp} M''.}$

Tenga en cuenta que esta unión no puede ser una unión disjunta .

• Si es una suma de submódulos , entonces ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{\lambda }}$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} M=\bigcup _{\lambda }\operatorname {Supp} M_{\lambda }.}$
• Si es un módulo R finitamente generado , entonces es el conjunto de todos los ideales primos que contienen el aniquilador de M . En particular, es cerrado en la topología de Zariski en Spec  R . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} M}$
• Si son R -módulos finitamente generados , entonces ${\displaystyle M,N}$

  ${\displaystyle \operatorname {Supp} (M\otimes _{R}N)=\operatorname {Supp} M\cap \operatorname {Supp} N.}$

• Si es un módulo R finitamente generado e I es un ideal de R , entonces es el conjunto de todos los ideales primos que contienen a Este es . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} (M/IM)}$ ${\displaystyle I+\operatorname {Ann} M.}$ ${\displaystyle V(I)\cap \operatorname {Supp} M}$

Soporte de un haz cuasicoherente

Si F es un haz cuasicoherente sobre un esquema X , el soporte de F es el conjunto de todos los puntos x en X tales que el tallo F _x es distinto de cero. Esta definición es similar a la definición del soporte de una función sobre un espacio X , y esta es la motivación para usar la palabra "soporte". La mayoría de las propiedades del soporte se generalizan de módulos a haces cuasicoherentes palabra por palabra. Por ejemplo, el soporte de un haz coherente (o más generalmente, un haz de tipo finito) es un subespacio cerrado de X . ^[2]

Si M es un módulo sobre un anillo R , entonces el soporte de M como módulo coincide con el soporte del haz cuasicoherente asociado sobre el esquema afín Spec  R . Además, si es una cubierta afín de un esquema X , entonces el soporte de un haz cuasicoherente F es igual a la unión de soportes de los módulos asociados M _α sobre cada R _α . ^[3] ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle \{U_{\alpha }=\operatorname {Spec} (R_{\alpha })\}}$

Ejemplos

Como se señaló anteriormente, un ideal primo está en el soporte si y solo si contiene el aniquilador de . ^[4] Por ejemplo, sobre , el aniquilador del módulo ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y,z,w]}$

${\displaystyle M=R/I={\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})}}}$

es el ideal . Esto implica que , el lugar geométrico de desaparición del polinomio f . Observando la secuencia exacta corta ${\displaystyle I=(f)=(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})}$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} M\cong \operatorname {Spec} (R/I)}$

${\displaystyle 0\to I\to R\to R/I\to 0}$

Podríamos conjeturar erróneamente que el soporte de I = ( f ) es Spec( R _{( f )} ), que es el complemento del lugar geométrico nulo del polinomio f . De hecho, dado que R es un dominio integral , el ideal I = ( f ) = Rf es isomorfo a R como módulo, por lo que su soporte es todo el espacio: Supp( I ) = Spec( R ).

El soporte de un módulo finito sobre un anillo noetheriano siempre está cerrado bajo especialización. ^{[ cita requerida ]}

Ahora bien, si tomamos dos polinomios en un dominio integral que forman un ideal de intersección completo , la propiedad tensorial nos muestra que ${\displaystyle f_{1},f_{2}\in R}$ ${\displaystyle (f_{1},f_{2})}$

${\displaystyle \operatorname {Supp} \left(R/(f_{1})\otimes _{R}R/(f_{2})\right)=\,\operatorname {Supp} \left(R/(f_{1})\right)\cap \,\operatorname {Supp} \left(R/(f_{2})\right)\cong \,\operatorname {Spec} (R/(f_{1},f_{2})).}$

Véase también

• Aniquilador (teoría del anillo)
• Prima asociada
• Soporte (matemáticas)

Referencias

1. Éléments de géométrie algébrique 0 _I , 1.7.1.
2. Los autores del Proyecto Stacks (2017). Proyecto Stacks, Tag 01B4.
3. Los autores del proyecto Stacks (2017). Proyecto Stacks, Tag 01AS.
4. Eisenbud, David . Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica . Corolario 2.7. pág. 67.{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: ubicación ( enlace )

• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi :10.1007/bf02684778. SEÑOR  0217083.
• Atiyah, MF y IG Macdonald , Introducción al álgebra conmutativa , Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9 MR 242802