casco inyectable

Noción en álgebra abstracta

En matemáticas , particularmente en álgebra , la cáscara inyectiva (o envoltura inyectiva ) de un módulo es a la vez el módulo inyectivo más pequeño que lo contiene y la extensión esencial más grande del mismo. Las cáscaras inyectables se describieron por primera vez en (Eckmann y Schopf 1953).

Definición

Un módulo E se llama casco inyectivo de un módulo M , si E es una extensión esencial de M y E es inyectivo . Aquí, el anillo base es un anillo con unidad, aunque posiblemente no conmutativo.

Ejemplos

• Un módulo inyectivo es su propio casco inyectivo.
• La cáscara inyectiva de un dominio integral (como un módulo sobre sí mismo) es su campo de fracciones (Lam 1999, ejemplo 3.35).
• La carcasa inyectiva de un grupo p cíclico (como módulo Z ) es un grupo Prüfer (Lam 1999, ejemplo 3.36).
• El casco inyectivo de un grupo abeliano libre de torsión es el producto tensorial ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }A}$
• El casco inyectivo de R /rad( R ) es Hom _k ( R , k ), donde R es un k - álgebra de dimensión finita con el radical de Jacobson rad( R ) (Lam 1999, ejemplo 3.41).
• Un módulo simple es necesariamente el zócalo de su casco inyectable.
• El casco inyectivo del campo residual de un anillo de valoración discreto donde es . ^[1] ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}},k)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=x\cdot R}$ ${\displaystyle R_{x}/R}$
• En particular, el casco inyectivo de in es el módulo . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (\mathbb {C} [[t]],(t),\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ((t))/\mathbb {C} [[t]]}$

Propiedades

• La carcasa inyectiva de M es única hasta los isomorfismos que son la identidad en M , sin embargo, el isomorfismo no es necesariamente único. Esto se debe a que la propiedad de extensión del mapa del casco inyectivo no es una propiedad universal completa . Debido a esta singularidad, el casco puede denotarse como E ( M ).
• El casco inyectivo E ( M ) es una extensión esencial máxima de M en el sentido de que si M ⊆ E ( M ) ⊊ B para un módulo B , entonces M no es un submódulo esencial de B .
• El casco inyectivo E ( M ) es un módulo inyectivo mínimo que contiene M en el sentido de que si M ⊆ B para un módulo inyectivo B , entonces E ( M ) es (isomorfo a) un submódulo de B .
• Si N es un submódulo esencial de M , entonces E ( N ) = E ( M ).
• Cada módulo M tiene un casco inyectivo. Fleischer (1968) ofrece una construcción del casco inyectivo en términos de homomorfismos Hom ( I , M ), donde I pasa por los ideales de R.
• La noción dual de cubierta proyectiva no siempre existe para un módulo, sin embargo existe una cubierta plana para cada módulo.

Estructura de anillo

En algunos casos, para R un subanillo de un anillo autoinyectivo S , el casco inyectivo de R también tendrá una estructura de anillo. ^[2] Por ejemplo, tomando S como un anillo de matriz completo sobre un campo, y tomando R como cualquier anillo que contenga cada matriz que sea cero en todas las columnas excepto en la última, el casco inyectivo del módulo R derecho R es S . Por ejemplo, se puede tomar R como el anillo de todas las matrices triangulares superiores. Sin embargo, no siempre se da el caso de que la carcasa inyectiva de un anillo tenga una estructura de anillo, como muestra un ejemplo en (Osofsky 1964).

Una gran clase de anillos que tienen estructuras anulares en sus cascos inyectivos son los anillos no singulares . ^[3] En particular, para un dominio integral , la cáscara inyectiva del anillo (considerada como un módulo sobre sí misma) es el campo de fracciones . Las cáscaras inyectivas de anillos no singulares proporcionan un análogo del anillo de cocientes para anillos no conmutativos, donde la ausencia de la condición Mineral puede impedir la formación del anillo clásico de cocientes . Este tipo de "anillo de cocientes" (como se denominan estos "campos de fracciones" más generales) fue iniciado en (Utumi 1956), y la conexión con las cáscaras inyectivas se reconoció en (Lambek 1963).

Dimensión uniforme y módulos inyectivos.

Un módulo R M tiene dimensión uniforme finita (= rango finito ) n si y solo si el casco inyectivo de M es una suma directa finita de n submódulos indescomponibles .

Generalización

De manera más general, sea C una categoría abeliana . Un objeto E es una cáscara inyectiva de un objeto M si M → E es una extensión esencial y E es un objeto inyectivo .

Si C es localmente pequeño , satisface el axioma AB5 de Grothendieck y tiene suficientes inyectivos , entonces cada objeto en C tiene un casco inyectivo (estas tres condiciones se satisfacen mediante la categoría de módulos sobre un anillo). ^[4] Cada objeto en una categoría de Grothendieck tiene una cáscara inyectiva.

Ver también

• Cubierta plana , el concepto dual de cascos inyectables.
• Casco racional : Este es el análogo del casco inyectivo cuando se considera una extensión racional máxima .

Notas

1. Walther, Uli. "Módulos inyectivos" (PDF) . pag. 11.
2. Lam 1999, pag. 78–80.
3. Lam 1999, pag. 366.
4. Sección III.2 de (Mitchell 1965)

Referencias

• Eckmann, B.; Schopf, A. (1953), "Über injektive Moduln", Archiv der Mathematik , 4 (2): 75–78, doi :10.1007/BF01899665, ISSN  0003-9268, SEÑOR  0055978
• Fleischer, Isidore (1968), "Una nueva construcción del casco inyectivo", Canadian Mathematical Bulletin , 11 : 19–21, doi : 10.4153/CMB-1968-002-3 , MR  0229680
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Conferencias sobre módulos y anillos , Textos de Graduado en Matemáticas No. 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, señor  1653294
• Lambek, Joachim (1963), "Sobre el anillo de cocientes de Utumi", Canadian Journal of Mathematics , 15 : 363–370, doi : 10.4153/CJM-1963-041-4 , ISSN  0008-414X, MR  0147509
• Matlis, Eben (1958), "Módulos inyectivos sobre anillos noetherianos", Pacific Journal of Mathematics , 8 : 511–528, doi : 10.2140/pjm.1958.8.511 , ISSN  0030-8730, MR  0099360
• Matsumura, H. Teoría del anillo conmutativo , Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas volumen 8.
• Mitchell, Barry (1965). Teoría de las categorías . Matemática pura y aplicada. vol. 17. Prensa académica. ISBN 978-0-124-99250-4. SEÑOR  0202787.
• Osofsky, BL (1964), "Sobre las propiedades de los anillos de los cascos inyectivos", Canadian Mathematical Bulletin , 7 : 405–413, doi : 10.4153/CMB-1964-039-3 , ISSN  0008-4395, MR  0166227
• Utumi, Yuzo (1956), "Sobre anillos de cociente", Osaka Journal of Mathematics , 8 : 1–18, ISSN  0030-6126, MR  0078966

enlaces externos

• casco inyectivo (artículo de PlanetMath)
• Página de PlanetMath sobre módulos de rango finito