Extensión esencial

En matemáticas , específicamente en teoría de módulos , dado un anillo R y un módulo R M con un submódulo N , se dice que el módulo M es una extensión esencial de N (o se dice que N es un submódulo esencial o un submódulo grande de M ) . si para cada submódulo H de M ,

${\displaystyle H\cap N=\{0\}\,}$implica que ${\displaystyle H=\{0\}\,}$

Como caso especial, un ideal izquierdo esencial de R es un ideal izquierdo que es esencial como submódulo del módulo izquierdo _R R. El ideal de la izquierda tiene una intersección distinta de cero con cualquier ideal de la izquierda de R distinto de cero . De manera análoga, un ideal derecho esencial es exactamente un submódulo esencial del módulo R derecho R _R .

Las notaciones habituales para extensiones esenciales incluyen las dos expresiones siguientes:

${\displaystyle N\subseteq _{e}M\,}$(Lam 1999) y (Anderson y Fuller 1992) ${\displaystyle N\trianglelefteq M}$

La noción dual de submódulo esencial es la de submódulo superfluo (o submódulo pequeño ). Un submódulo N es superfluo si para cualquier otro submódulo H ,

${\displaystyle N+H=M\,}$implica que . ${\displaystyle H=M\,}$

Las notaciones habituales para submódulos superfluos incluyen:

${\displaystyle N\subseteq _{s}M\,}$(Lam 1999) y (Anderson y Fuller 1992) ${\displaystyle N\ll M}$

Propiedades

Estas son algunas de las propiedades elementales de las extensiones esenciales, dadas en la notación presentada anteriormente. Sea M un módulo y K , N y H sean submódulos de M con K N ${\displaystyle \subseteq }$

• Claramente M es un submódulo esencial de M , y el submódulo cero de un módulo distinto de cero nunca es esencial.
• ${\displaystyle K\subseteq _{e}M}$si y sólo si y ${\displaystyle K\subseteq _{e}N}$ ${\displaystyle N\subseteq _{e}M}$
• ${\displaystyle K\cap H\subseteq _{e}M}$si y sólo si y ${\displaystyle K\subseteq _{e}M}$ ${\displaystyle H\subseteq _{e}M}$

Usando el Lema de Zorn es posible demostrar otro hecho útil: Para cualquier submódulo N de M , existe un submódulo C tal que

${\displaystyle N\oplus C\subseteq _{e}M}$.

Además, un módulo sin una extensión esencial adecuada (es decir, si el módulo es esencial en otro módulo, entonces es igual a ese módulo) es un módulo inyectivo . Entonces es posible demostrar que cada módulo M tiene una extensión esencial máxima E ( M ), llamada casco inyectivo de M . La carcasa inyectiva es necesariamente un módulo inyectivo y es única hasta el isomorfismo. La carcasa inyectiva también es mínima en el sentido de que cualquier otro módulo inyectivo que contenga M contiene una copia de E ( M ).

Muchas propiedades se dualizan en submódulos superfluos, pero no todas. De nuevo, sea M un módulo y K , N y H sean submódulos de M con K N. ${\displaystyle \subseteq }$

• El submódulo cero siempre es superfluo y un módulo M distinto de cero nunca es superfluo en sí mismo.
• ${\displaystyle N\subseteq _{s}M}$si y sólo si y ${\displaystyle K\subseteq _{s}M}$ ${\displaystyle N/K\subseteq _{s}M/K}$
• ${\displaystyle K+H\subseteq _{s}M}$si y sólo si y . ${\displaystyle K\subseteq _{s}M}$ ${\displaystyle H\subseteq _{s}M}$

Dado que cada módulo puede mapearse mediante un monomorfismo cuya imagen es esencial en un módulo inyectivo (su casco inyectivo), uno podría preguntarse si la afirmación dual es verdadera, es decir, para cada módulo M , ¿existe un módulo proyectivo P y un epimorfismo de P ? en M cuyo núcleo es superfluo? (Esta P se llama cobertura proyectiva ). La respuesta es " No " en general, y la clase especial de anillos cuyos módulos derechos tienen cubiertas proyectivas es la clase de anillos perfectos derechos .

Una forma del lema de Nakayama es que J( R ) M es un submódulo superfluo de M cuando M es un módulo generado finitamente sobre R.

Generalización

Esta definición se puede generalizar a una categoría abeliana arbitraria C. Una extensión esencial es un monomorfismo u  : M → E tal que para cada subobjeto distinto de cero s  : N → E , el producto de fibra N × _E M ≠ 0.

En una categoría general, un morfismo f  : X → Y es esencial si cualquier morfismo g  : Y → Z es un monomorfismo si y sólo si g ° f es un monomorfismo (Porst 1981, Introducción). Tomar g como el morfismo de identidad de Y muestra que un morfismo esencial f debe ser un monomorfismo.

Si X tiene un casco inyectivo Y , entonces Y es la extensión esencial más grande de X (Porst 1981, Introducción ( v )). Pero la mayor extensión esencial puede no ser un casco inyectable. De hecho, en la categoría de espacios T ₁ y mapas continuos, cada objeto tiene una extensión esencial máxima única, pero ningún espacio con más de un elemento tiene una envoltura inyectiva (Hoffmann 1981).

Ver también

• Los submódulos densos son un tipo especial de submódulo esencial.

Referencias

• Anderson, FW; Fuller, KR (1992), Anillos y categorías de módulos , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 13 (2ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-97845-3
• David Eisenbud , Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica ISBN 0-387-94269-6 
• Hoffmann, Rudolf-E. (1981), "Extensiones esenciales de los espacios T ₁ ", Canadian Mathematical Bulletin , 24 (2): 237–240, doi : 10.4153/CMB-1981-037-1
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Conferencias sobre módulos y anillos , Textos de Graduado en Matemáticas No. 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, señor  1653294
• Mitchell, Barry (1965). Teoría de las categorías . Matemática pura y aplicada. vol. 17. Prensa académica. ISBN 978-0-124-99250-4. SEÑOR  0202787.Sección III.2
• Puerto, Hans-E. (1981), "Caracterización de envolturas inyectivas", Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques , 22 (4): 399–406