Anillo de endomorfismo

Álgebra de endomorfismos de un grupo abeliano

En matemáticas , los endomorfismos de un grupo abeliano X forman un anillo . Este anillo se llama anillo de endomorfismos de X , denotado por End( X ); el conjunto de todos los homomorfismos de X en sí mismo. La adición de endomorfismos surge naturalmente de manera puntual y la multiplicación a través de la composición de endomorfismos . Usando estas operaciones, el conjunto de endomorfismos de un grupo abeliano forma un anillo (unital), con la función cero como identidad aditiva y la función identidad como identidad multiplicativa . ^{[1] [2]} ${\textstyle 0:x\mapsto 0}$ ${\textstyle 1:x\mapsto x}$

Las funciones involucradas se limitan a lo que se define como homomorfismo en el contexto, que depende de la categoría del objeto en consideración. El anillo de endomorfismo, por lo tanto, codifica varias propiedades internas del objeto. Como el anillo de endomorfismo es a menudo un álgebra sobre algún anillo R, también puede llamarse álgebra de endomorfismo .

Un grupo abeliano es lo mismo que un módulo sobre el anillo de números enteros , que es el objeto inicial en la categoría de anillos . De manera similar, si R es cualquier anillo conmutativo , los endomorfismos de un R -módulo forman un álgebra sobre R por los mismos axiomas y derivación. En particular, si R es un cuerpo , sus módulos M son espacios vectoriales y el anillo de endomorfismos de cada uno es un álgebra sobre el cuerpo R .

Descripción

Sea ( A , +) un grupo abeliano y consideremos los homomorfismos de grupo de A en A . Luego, la adición de dos de estos homomorfismos puede definirse puntualmente para producir otro homomorfismo de grupo. Explícitamente, dados dos de estos homomorfismos f y g , la suma de f y g es el homomorfismo f + g  : x ↦ f ( x ) + g ( x ) . Bajo esta operación End( A ) es un grupo abeliano. Con la operación adicional de composición de homomorfismos, End( A ) es un anillo con identidad multiplicativa. Esta composición es explícitamente fg  : x ↦ f ( g ( x )) . La identidad multiplicativa es el homomorfismo identidad en A . Los inversos aditivos son los inversos puntuales.

Si el conjunto A no forma un grupo abeliano , entonces la construcción anterior no está necesariamente bien definida, ya que entonces la suma de dos homomorfismos no necesita ser un homomorfismo. ^[3] Sin embargo, el cierre del conjunto de endomorfismos bajo las operaciones anteriores es un ejemplo canónico de un casi-anillo que no es un anillo.

Propiedades

• Los anillos de endomorfismo siempre tienen identidades aditivas y multiplicativas , respectivamente el mapa cero y el mapa identidad .
• Los anillos de endomorfismo son asociativos , pero normalmente no conmutativos .
• Si un módulo es simple , entonces su anillo de endomorfismo es un anillo de división (esto a veces se llama lema de Schur ). ^[4]
• Un módulo es indescomponible si y sólo si su anillo de endomorfismo no contiene ningún elemento idempotente no trivial . ^[5] Si el módulo es un módulo inyectivo , entonces la indescomponibilidad es equivalente a que el anillo de endomorfismo sea un anillo local . ^[6]
• Para un módulo semisimple , el anillo de endomorfismo es un anillo regular de von Neumann .
• El anillo de endomorfismo de un módulo uniserial derecho distinto de cero tiene uno o dos ideales rectos máximos. Si el módulo es artiniano, noetheriano, proyectivo o inyectivo, entonces el anillo de endomorfismo tiene un único ideal máximo, de modo que es un anillo local.
• El anillo de endomorfismo de un módulo uniforme artiniano es un anillo local. ^[7]
• El anillo de endomorfismo de un módulo con longitud de composición finita es un anillo semiprimario .
• El anillo de endomorfismo de un módulo continuo o módulo discreto es un anillo limpio . ^[8]
• Si un módulo R es finitamente generado y proyectivo (es decir, un progenerador ), entonces el anillo de endomorfismo del módulo y R comparten todas las propiedades invariantes de Morita. Un resultado fundamental de la teoría de Morita es que todos los anillos equivalentes a R surgen como anillos de endomorfismo de progeneradores.

Ejemplos

• En la categoría de R - módulos , el anillo de endomorfismos de un R -módulo M solo utilizará los homomorfismos de módulo R , que son típicamente un subconjunto propio de los homomorfismos de grupo abeliano. ^[9] Cuando M es un módulo proyectivo generado finitamente , el anillo de endomorfismos es central para la equivalencia de Morita de las categorías de módulos.
• Para cualquier grupo abeliano , , ya que cualquier matriz en lleva una estructura de homomorfismo natural de la siguiente manera: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(\operatorname {End} (A))\cong \operatorname {End} (A^{n})}$ ${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(\operatorname {End} (A))}$ ${\displaystyle A^{n}}$

  ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\varphi _{11}&\cdots &\varphi _{1n}\\\vdots &&\vdots \\\varphi _{n1}&\cdots &\varphi _{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum _{i=1}^{n}\varphi _{1i}(a_{i})\\\vdots \\\sum _{i=1}^{n}\varphi _{ni}(a_{i})\end{pmatrix}}.}$

Se puede utilizar este isomorfismo para construir muchos anillos de endomorfismo no conmutativos. Por ejemplo: , ya que . ${\displaystyle \operatorname {End} (\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} )\cong \mathrm {M} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$

Además, cuando es un cuerpo, hay un isomorfismo canónico , por lo que , es decir, el anillo de endomorfismo de un espacio vectorial se identifica con el anillo de matrices n -por- n con entradas en . ^[10] De manera más general, el álgebra de endomorfismo del módulo libre es naturalmente -por- matrices con entradas en el anillo . ${\displaystyle R=K}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (K)\cong K}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (K^{n})\cong \mathrm {M} _{n}(K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle M=R^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R}$

• Como ejemplo particular del último punto, para cualquier anillo R con unidad, Fin( R _R ) = R , donde los elementos de R actúan sobre R por multiplicación izquierda .
• En general, los anillos de endomorfismo se pueden definir para los objetos de cualquier categoría preaditiva .

Notas

1. Fraleigh 1976, pág. 211
2. Passman 1991, págs. 4-5
3. Dummit y Foote, pág. 347
4. Jacobson 2009, pág. 118
5. Jacobson 2009, pág. 111, Proposición 3.1
6. Wisbauer 1991, pág. 163
7. Wisbauer 1991, pág. 263
8. Camillo y otros, 2006
9. Los grupos abelianos también pueden verse como módulos sobre el anillo de números enteros.
10. Drozd y Kirichenko 1994, págs. 23-31

Referencias

• Camillo, VP; Khurana, D.; Lam, TY; Nicholson, WK; Zhou, Y. (2006), "Los módulos continuos son limpios", J. Algebra , 304 (1): 94–111, doi :10.1016/j.jalgebra.2006.06.032, ISSN  0021-8693, MR  2255822
• Drozd, Yu. A.; Kirichenko, VV (1994), Álgebras de dimensiones finitas , Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-53380-X
• Dummit, David; Foote, Richard, Álgebra
• Fraleigh, John B. (1976), Un primer curso de álgebra abstracta (2.ª ed.), Lectura: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
• "Anillo de endomorfismo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Jacobson, Nathan (2009), Álgebra básica , vol. 2 (2.ª ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7
• Passman, Donald S. (1991), Un curso de teoría de anillos, Pacific Grove: Wadsworth & Brooks/Cole, ISBN 0-534-13776-8
• Wisbauer, Robert (1991), Fundamentos de la teoría de módulos y anillos, Álgebra, lógica y aplicaciones, vol. 3 (revisado y traducido de la edición alemana de 1988), Filadelfia, PA: Gordon and Breach Science Publishers, pp. xii+606, ISBN 2-88124-805-5, Sr.  1144522Un manual para el estudio y la investigación