Anillo de primera

Concepto de álgebra abstracta

En álgebra abstracta , un anillo distinto de cero R es un anillo primo si para dos elementos cualesquiera a y b de R , arb = 0 para todo r en R implica que a = 0 o b = 0. Esta definición puede considerarse como una generalización simultánea de dominios integrales y anillos simples .

Aunque este artículo analiza la definición anterior, el anillo primo también puede referirse al subanillo mínimo distinto de cero de un cuerpo , que es generado por su elemento identidad 1, y determinado por su característica . Para un cuerpo de característica 0, el anillo primo son los enteros , y para un cuerpo de característica p (siendo p un número primo ) el anillo primo es el cuerpo finito de orden p (cf. Cuerpo primo ). ^[1]

Definiciones equivalentes

Un anillo R es primo si y sólo si el ideal cero {0} es un ideal primo en el sentido no conmutativo .

Siendo este el caso, las condiciones equivalentes para los ideales primos dan como resultado las siguientes condiciones equivalentes para que R sea un anillo primo:

• Para dos ideales cualesquiera A y B de R , AB = {0} implica A = {0} o B = {0}.
• Para dos ideales rectos cualesquiera A y B de R , AB = {0} implica A = {0} o B = {0}.
• Para cualesquiera dos ideales izquierdos A y B de R , AB = {0} implica A = {0} o B = {0}.

Utilizando estas condiciones se puede comprobar que las siguientes son equivalentes a que R sea un anillo primo:

• Todos los ideales rectos distintos de cero son fieles como módulos R rectos .
• Todos los ideales izquierdos distintos de cero son fieles como módulos R izquierdos .

Ejemplos

• Cualquier dominio es un anillo primordial.
• Cualquier anillo simple es un anillo primo y, de forma más general: todo anillo primitivo izquierdo o derecho es un anillo primo.
• Cualquier anillo de matrices sobre un dominio integral es un anillo primo. En particular, el anillo de matrices enteras 2 × 2 es un anillo primo.

Propiedades

• Un anillo conmutativo es un anillo primo si y sólo si es un dominio integral .
• Un anillo distinto de cero es primo si y sólo si el monoide de sus ideales carece de divisores de cero .
• El anillo de matrices sobre un anillo primo es nuevamente un anillo primo.

Notas

1. Página 90 de Lang, Serge (1993), Álgebra (tercera edición), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl  0848.13001

Referencias

• Lam, Tsit-Yuen (2001), Un primer curso sobre anillos no conmutativos (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95325-0, Sr.  1838439