Subgrupo conmutador

Subgrupo normal más pequeño por el cual el cociente es conmutativo

En matemáticas , más concretamente en álgebra abstracta , el subgrupo conmutador o subgrupo derivado de un grupo es el subgrupo generado por todos los conmutadores del grupo. ^{[1] [2]}

El subgrupo del conmutador es importante porque es el subgrupo normal más pequeño tal que el grupo cociente del grupo original por este subgrupo es abeliano . En otras palabras, es abeliano si y sólo si contiene el subgrupo conmutador de . De modo que, en cierto sentido, proporciona una medida de qué tan lejos está el grupo de ser abeliano; cuanto mayor es el subgrupo del conmutador, "menos abeliano" es el grupo. ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

Conmutadores

Para elementos y de un grupo G , el conmutador de y es . El conmutador es igual al elemento identidad e si y sólo si , es decir, si y sólo si y conmutan. En general, . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh}$ ${\displaystyle [g,h]}$ ${\displaystyle gh=hg}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle gh=hg[g,h]}$

Sin embargo, la notación es algo arbitraria y existe una definición variante no equivalente para el conmutador que tiene los inversos en el lado derecho de la ecuación: en cuyo caso, pero en su lugar . ${\displaystyle [g,h]=ghg^{-1}h^{-1}}$ ${\displaystyle gh\neq hg[g,h]}$ ${\displaystyle gh=[g,h]hg}$

Un elemento de G de la forma para algunos g y h se llama conmutador. El elemento identidad e = [ e , e ] es siempre un conmutador, y es el único conmutador si y sólo si G es abeliano. ${\displaystyle [g,h]}$

Aquí hay algunas identidades de conmutador simples pero útiles, válidas para cualquier elemento s , g , h de un grupo G :

• ${\displaystyle [g,h]^{-1}=[h,g],}$
• ${\displaystyle [g,h]^{s}=[g^{s},h^{s}],}$donde (o, respectivamente, ) es el conjugado de por ${\displaystyle g^{s}=s^{-1}gs}$ ${\displaystyle g^{s}=sgs^{-1}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle s,}$
• para cualquier homomorfismo , ${\displaystyle f:G\to H}$ ${\displaystyle f([g,h])=[f(g),f(h)].}$

La primera y segunda identidades implican que el conjunto de conmutadores en G es cerrado bajo inversión y conjugación. Si en la tercera identidad tomamos H = G , obtenemos que el conjunto de conmutadores es estable bajo cualquier endomorfismo de G. De hecho, esta es una generalización de la segunda identidad, ya que podemos tomar f como el automorfismo de conjugación de G , , para obtener la segunda identidad. ${\displaystyle x\mapsto x^{s}}$

Sin embargo, el producto de dos o más conmutadores no tiene por qué ser un conmutador. Un ejemplo genérico es [ a , b ][ c , d ] en el grupo libre en a , b , c , d . Se sabe que el orden mínimo de un grupo finito para el que existen dos conmutadores cuyo producto no es conmutador es 96; de hecho, existen dos grupos no isomorfos de orden 96 con esta propiedad. ^[3]

Definición

Esto motiva la definición del subgrupo de conmutadores (también llamado subgrupo derivado , y denotado o ) de G : es el subgrupo generado por todos los conmutadores. ${\displaystyle [G,G]}$ ${\displaystyle G'}$ ${\displaystyle G^{(1)}}$

De esta definición se deduce que cualquier elemento de tiene la forma ${\displaystyle [G,G]}$

${\displaystyle [g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}]}$

para algún número natural , donde g _i y h _i son elementos de G. Además, desde , el subgrupo del conmutador es normal en G . Para cualquier homomorfismo f : G → H , ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])^{s}=[g_{1}^{s},h_{1}^{s}]\cdots [g_{n}^{s},h_{n}^{s}]}$

${\displaystyle f([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])=[f(g_{1}),f(h_{1})]\cdots [f(g_{n}),f(h_{n})]}$,

de modo que . ${\displaystyle f([G,G])\subseteq [H,H]}$

Esto muestra que el subgrupo del conmutador puede verse como un funtor en la categoría de grupos , algunas de cuyas implicaciones se exploran a continuación. Además, tomando G = H muestra que el subgrupo del conmutador es estable bajo cada endomorfismo de G : es decir, [ G , G ] es un subgrupo completamente característico de G , una propiedad considerablemente más fuerte que la normalidad.

El subgrupo del conmutador también se puede definir como el conjunto de elementos g del grupo que tienen una expresión como producto g = g ₁ g ₂ ... g _k que se puede reordenar para dar la identidad.

Serie derivada

Esta construcción se puede iterar:

${\displaystyle G^{(0)}:=G}$

${\displaystyle G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]\quad n\in \mathbf {N} }$

Los grupos se denominan segundo subgrupo derivado , tercer subgrupo derivado , etc., y serie normal descendente. ${\displaystyle G^{(2)},G^{(3)},\ldots }$

${\displaystyle \cdots \triangleleft G^{(2)}\triangleleft G^{(1)}\triangleleft G^{(0)}=G}$

se llama serie derivada . Esta no debe confundirse con la serie central inferior , cuyos términos son . ${\displaystyle G_{n}:=[G_{n-1},G]}$

Para un grupo finito, la serie derivada termina en un grupo perfecto , que puede ser trivial o no. Para un grupo infinito, la serie derivada no necesita terminar en una etapa finita, y se puede continuar hasta infinitos números ordinales mediante recursividad transfinita , obteniendo así la serie derivada transfinita , que eventualmente termina en el núcleo perfecto del grupo.

Abelianización

Dado un grupo , un grupo cociente es abeliano si y sólo si . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle [G,G]\subseteq N}$

El cociente es un grupo abeliano llamado abelianización de o hecho abeliano . ^[4] Generalmente se denota por o . ${\displaystyle G/[G,G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G^{\operatorname {ab} }}$ ${\displaystyle G_{\operatorname {ab} }}$

Hay una interpretación categórica útil del mapa . Es decir, es universal para homomorfismos de un grupo abeliano : para cualquier grupo abeliano y homomorfismo de grupos existe un homomorfismo único tal que . Como es habitual en los objetos definidos por propiedades de mapeo universales, esto muestra la unicidad de la abelianización hasta el isomorfismo canónico, mientras que la construcción explícita muestra existencia. ${\displaystyle \varphi :G\rightarrow G^{\operatorname {ab} }}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle f:G\to H}$ ${\displaystyle F:G^{\operatorname {ab} }\to H}$ ${\displaystyle f=F\circ \varphi }$ ${\displaystyle G^{\operatorname {ab} }}$ ${\displaystyle G\to G/[G,G]}$

El funtor de abelianización es el adjunto izquierdo del funtor de inclusión de la categoría de grupos abelianos a la categoría de grupos. La existencia del funtor de abelianización Grp → Ab hace que la categoría Ab sea una subcategoría reflectante de la categoría de grupos, definida como una subcategoría completa cuyo funtor de inclusión tiene un adjunto izquierdo.

Otra interpretación importante de es como , el primer grupo de homología con coeficientes integrales. ${\displaystyle G^{\operatorname {ab} }}$ ${\displaystyle H_{1}(G,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle G}$

clases de grupos

Un grupo es un grupo abeliano si y sólo si el grupo derivado es trivial: [ G , G ] = { e }. De manera equivalente, si y sólo si el grupo iguala su abelianización. Consulte más arriba la definición de abelianización de un grupo. ${\displaystyle G}$

Un grupo es un grupo perfecto si y sólo si el grupo derivado es igual al grupo mismo: [ G , G ] = G . De manera equivalente, si y sólo si la abelianización del grupo es trivial. Esto es "opuesto" a abeliano. ${\displaystyle G}$

Un grupo con algún n en N se llama grupo soluble ; esto es más débil que abeliano, que es el caso n = 1. ${\displaystyle G^{(n)}=\{e\}}$

Un grupo con para todo n en N se llama grupo no soluble . ${\displaystyle G^{(n)}\neq \{e\}}$

Un grupo con para algún número ordinal , posiblemente infinito, se llama grupo hipoabeliano ; esto es más débil que solucionable, que es el caso de que α sea finito (un número natural). ${\displaystyle G^{(\alpha )}=\{e\}}$

grupo perfecto

Siempre que un grupo tiene un subgrupo derivado igual a él mismo, se le llama grupo perfecto . Esto incluye grupos simples no abelianos y grupos lineales especiales para un campo fijo . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G^{(1)}=G}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(k)}$ ${\displaystyle k}$

Ejemplos

• El subgrupo conmutador de cualquier grupo abeliano es trivial .
• El subgrupo conmutador del grupo lineal general sobre un campo o un anillo de división k es igual al grupo lineal especial siempre que o k no sea el campo con dos elementos . ^[5] ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(k)}$ ${\displaystyle n\neq 2}$
• El subgrupo de conmutadores del grupo alterno A ₄ es el grupo de cuatro de Klein .
• El subgrupo conmutador del grupo simétrico S _n es el grupo alterno A _n .
• El subgrupo conmutador del grupo de cuaterniones Q = {1, −1, i , − i , j , − j , k , − k } es [ Q , Q ] = {1, −1}.

Mapa desde fuera

Dado que el subgrupo derivado es característico , cualquier automorfismo de G induce un automorfismo de la abelianización. Dado que la abelianización es abeliana, los automorfismos internos actúan de manera trivial, por lo que esto produce un mapa

${\displaystyle \operatorname {Out} (G)\to \operatorname {Aut} (G^{\mbox{ab}})}$

Ver también

• grupo solucionable
• grupo nilpotente
• La abelianización H / H ' de un subgrupo H  <  G de índice finito ( G : H ) es el objetivo de la transferencia de Artin  T ( G , H ).

Notas

1. Dummit y Foote (2004)
2. Lang (2002)
3. Suárez-Álvarez
4. Fraleigh (1976, pág.108)
5. Suprunenko, DA (1976), Grupos de matrices , Traducciones de monografías matemáticas, Sociedad Matemática Estadounidense, Teorema II.9.4

Referencias

• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004), Álgebra abstracta (3.ª ed.), John Wiley & Sons , ISBN 0-471-43334-9
• Fraleigh, John B. (1976), Un primer curso de álgebra abstracta (2ª ed.), Lectura: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , Springer , ISBN 0-387-95385-X
• Suárez-Álvarez, Mariano. "Subgrupos derivados y conmutadores".

enlaces externos

• "Subgrupo de conmutadores", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]