Klein cuatro grupos

Grupo abeliano matemático

En matemáticas , el grupo de cuatro de Klein es un grupo abeliano con cuatro elementos, en el que cada elemento es autoinverso (componerlo consigo mismo produce la identidad) y en el que componer dos de los tres elementos no identitarios produce el tercero. . Puede describirse como el grupo de simetría de un rectángulo no cuadrado (con los tres elementos no identitarios siendo reflexión horizontal , reflexión vertical y rotación de 180 grados ), como el grupo de operaciones exclusivas u bit a bit en valores binarios de dos bits. , o más abstractamente como , el producto directo de dos copias del grupo cíclico de orden 2 por el Teorema Fundamental de Grupos Abelianos Generados Finitamente . Se llamó Vierergruppe ( alemán: [ˈfiːʁɐˌɡʁʊpə] ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}$ ^ⓘ ), que significa cuatro grupos) porFelix Kleinen 1884.^[1]También se le llamagrupo de Kleiny, a menudo, se simboliza con la letrao como. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K_{4}}$

El grupo de cuatro Klein, con cuatro elementos, es el grupo más pequeño que no es cíclico. Hasta el isomorfismo , sólo existe otro grupo de orden cuatro: el grupo cíclico de orden 4. Ambos grupos son abelianos.

Presentaciones

La tabla Cayley del grupo Klein viene dada por:

El grupo de cuatro Klein también se define por la presentación del grupo.

${\displaystyle V=\left\langle a,b\mid a^{2}=b^{2}=(ab)^{2}=e\right\rangle .}$

Todos los elementos no identitarios del grupo de Klein tienen orden 2, por lo que dos elementos cualesquiera no identitarios pueden servir como generadores en la presentación anterior. El grupo de cuatro Klein es el grupo no cíclico más pequeño . Es, sin embargo, un grupo abeliano e isomorfo al grupo diédrico de orden (cardinalidad) 4, simbolizado (o , usando la convención geométrica); Aparte del grupo de orden 2, es el único grupo diédrico que es abeliano. ${\displaystyle D_{4}}$ ${\displaystyle D_{2}}$

El grupo de cuatro Klein también es isomorfo a la suma directa , por lo que puede representarse como los pares {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} bajo el componente- Suma inteligente módulo 2 (o equivalentemente las cadenas de bits {00, 01, 10, 11} en XOR bit a bit ), siendo (0,0) el elemento de identidad del grupo. El grupo de cuatro de Klein es, por tanto, un ejemplo de un grupo 2 abeliano elemental , que también se denomina grupo booleano . El grupo de cuatro de Klein es, por tanto, también el grupo generado por la diferencia simétrica como operación binaria en los subconjuntos de un conjunto potencia de un conjunto con dos elementos, es decir, sobre un campo de conjuntos con cuatro elementos, como ; el conjunto vacío es el elemento de identidad del grupo en este caso. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \{\emptyset ,\{\alpha \},\{\beta \},\{\alpha ,\beta \}\}}$

Otra construcción numérica del grupo de cuatro de Klein es el conjunto {1, 3, 5, 7} , siendo la operación multiplicación módulo 8 . Aquí a es 3, b es 5 y c = ab es 3 × 5 = 15 ≡ 7 (mod 8) .

El grupo de cuatro Klein también tiene una representación como matrices reales de 2 × 2 y la operación es la multiplicación de matrices:

${\displaystyle e={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad a={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad }$

${\displaystyle b={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad c={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$

En un Cubo de Rubik , el patrón de “4 puntos” se puede realizar de tres formas, dependiendo del par de caras que queden en blanco; Estas tres posiciones junto con la posición resuelta forman un ejemplo del grupo de Klein, donde la posición resuelta sirve como identidad.

Geometría

V es el grupo de simetría de esta cruz: voltearla horizontalmente ( a ) o verticalmente ( b ) o ambas ( ab ) la deja sin cambios. Un cuarto de vuelta lo cambia.

En dos dimensiones, el grupo de cuatro de Klein es el grupo de simetría de un rombo y de rectángulos que no son cuadrados , siendo los cuatro elementos la identidad, la reflexión vertical, la reflexión horizontal y una rotación de 180°.

En tres dimensiones, hay tres grupos de simetría diferentes que son algebraicamente los cuatro grupos de Klein:

• uno con tres ejes de rotación perpendiculares de 2 pliegues: el grupo diédrico ${\displaystyle D_{2}}$
• uno con un eje de rotación doble y un plano de reflexión perpendicular: ${\displaystyle C_{2\mathrm {h} }=D_{1\mathrm {d} }}$
• uno con un eje de rotación doble en un plano de reflexión (y por tanto también en un plano de reflexión perpendicular): . ${\displaystyle C_{2\mathrm {v} }=D_{1\mathrm {h} }}$

Representación de permutación

La identidad y las dobles transposiciones de cuatro objetos forman V .

Otras permutaciones de cuatro objetos también pueden formar V.

Los tres elementos de orden dos en el grupo de cuatro de Klein son intercambiables: el grupo de automorfismo de V es, por tanto, el grupo de permutaciones de estos tres elementos, es decir, el grupo simétrico . ${\displaystyle S_{3}}$

Las permutaciones de sus propios elementos del grupo de cuatro Klein pueden considerarse de manera abstracta como su representación de permutación en cuatro puntos:

${\displaystyle V={}}${(), (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3)}

En esta representación, hay un subgrupo normal del grupo alterno (y también del grupo simétrico ) de cuatro letras. De hecho, es el núcleo de un homomorfismo de grupo sobreyectivo de a . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A_{4}}$ ${\displaystyle S_{4}}$ ${\displaystyle S_{4}}$ ${\displaystyle S_{3}}$

Otras representaciones dentro de S ₄ son:

{ (), (1,2), (3,4), (1,2)(3,4) }

{ (), (1,3), (2,4), (1,3)(2,4) }

{ (), (1,4), (2,3), (1,4)(2,3) }

No son subgrupos normales de S ₄ .

Álgebra

Según la teoría de Galois , la existencia del grupo de cuatro de Klein (y en particular, la representación por permutación del mismo) explica la existencia de la fórmula para calcular las raíces de las ecuaciones de cuarto grado en términos de radicales , tal como lo estableció Lodovico Ferrari : el mapa Corresponde a la cúbica resolutiva , en términos de resolutivos de Lagrange . ${\displaystyle S_{4}\to S_{3}}$

En la construcción de anillos finitos , ocho de los once anillos con cuatro elementos tienen el grupo de cuatro de Klein como subestructura aditiva.

Si denota el grupo multiplicativo de reales distintos de cero y el grupo multiplicativo de reales positivos , entonces es el grupo de unidades del anillo , y es un subgrupo de (de hecho es el componente de la identidad de ). El grupo cociente es isomorfo al grupo de cuatro de Klein. De manera similar, el grupo de unidades del anillo de números complejos divididos , cuando se divide por su componente de identidad, también da como resultado el grupo de cuatro de Klein. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {R} ^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\times \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {R} ^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {R} ^{\times }}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {R} ^{\times })/(\mathbb {R} ^{+}\times \mathbb {R} ^{+})}$

Teoría de grafos

Entre los gráficos conectados simples , el más simple (en el sentido de tener la menor cantidad de entidades) que admite el grupo de cuatro de Klein como su grupo de automorfismos es el gráfico de diamantes que se muestra a continuación. También es el grupo de automorfismos de algunos otros gráficos que son más simples en el sentido de tener menos entidades. Estos incluyen el gráfico con cuatro vértices y una arista, que permanece simple pero pierde conectividad, y el gráfico con dos vértices conectados entre sí por dos aristas, que permanece conectado pero pierde simplicidad.

Música

En composición musical , el grupo de cuatro es el grupo básico de permutaciones en la técnica dodecafónica . En ese caso, la tabla Cayley se escribe ^[2]

Ver también

• grupo cuaternión
• Lista de grupos pequeños

Referencias

1. Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade (Conferencias sobre el icosaedro y la solución de ecuaciones de quinto grado)
2. Babbit, Milton . (1960) "Invariantes de doce tonos como determinantes de la composición", Musical Quarterly 46(2):253 Número especial: Problemas de la música moderna: El seminario de Princeton sobre estudios musicales avanzados (abril): 246–59, Oxford University Press

Otras lecturas

• MA Armstrong (1988) Grupos y simetría , Springer Verlag , página 53.
• WE Barnes (1963) Introducción al álgebra abstracta , DC Heath & Co., página 20.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Vierergruppe". MundoMatemático .