Grupo tetraédrico binario

El politopo complejo regular , 3{6}2 oo, representa el diagrama de Cayley para el grupo tetraédrico binario, con cada triángulo rojo y azul un subgrafo dirigido. ^[1]

En matemáticas , el grupo tetraédrico binario , denotado 2T o ⟨2,3,3⟩ , ^[2] es un determinado grupo nobeliano de orden 24. Es una extensión del grupo tetraédrico T o (2,3,3) de orden 12 por un grupo cíclico de orden 2, y es la preimagen del grupo tetraédrico bajo el homomorfismo de cobertura 2:1 Spin(3) → SO(3) del grupo ortogonal especial por el grupo de spin . De ello se deduce que el grupo tetraédrico binario es un subgrupo discreto de Spin(3) de orden 24. El grupo de reflexión complejo denominado 3(24)3 por GC Shephard o 3[3]3 ypor Coxeter , es isomorfo al grupo tetraédrico binario.

El grupo tetraédrico binario se describe más fácilmente de forma concreta como un subgrupo discreto de los cuaterniones unitarios , bajo el isomorfismo Spin(3) ≅ Sp(1) , donde Sp(1) es el grupo multiplicativo de cuaterniones unitarios. (Para obtener una descripción de este homomorfismo, consulte el artículo sobre cuaterniones y rotaciones espaciales ).

Elementos

Gráfico de Cayley de SL (2,3)

Explícitamente, el grupo tetraédrico binario se da como el grupo de unidades en el anillo de los números enteros de Hurwitz . Hay 24 unidades de este tipo dadas por

${\displaystyle \{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k,{\tfrac {1}{2}}(\pm 1\pm i\pm j\pm k)\}}$

con todas las combinaciones de signos posibles.

Las 24 unidades tienen valor absoluto 1 y por lo tanto se encuentran en el grupo de cuaterniones unitarios Sp(1). La carcasa convexa de estos 24 elementos en un espacio de 4 dimensiones forma un politopo regular convexo de 4 celdas llamado 24 celdas .

Propiedades

El grupo tetraédrico binario, denotado por 2T, encaja en la secuencia corta exacta

${\displaystyle 1\to \{\pm 1\}\to 2\mathrm {T} \to \mathrm {T} \to 1.}$

Esta secuencia no se divide , lo que significa que 2T no es un producto semidirecto de {±1} por T. De hecho, no existe ningún subgrupo de 2T isomorfo a T.

El grupo tetraédrico binario es el grupo que cubre el grupo tetraédrico. Pensando en el grupo tetraédrico como el grupo alterno de cuatro letras, T ≅ A ₄ , tenemos el grupo tetraédrico binario como grupo de cobertura, 2T ≅ . ${\displaystyle {\widehat {\mathrm {A} _{4}}}}$

El centro de 2T es el subgrupo {±1}. El grupo de automorfismo interno es isomorfo a A _{4 , y el} grupo de automorfismo completo es isomorfo a S ₄ . ^[3]

Multiplicación hacia la izquierda por − ω , un elemento de orden -6: observe las bolas y flechas grises, azules, moradas y naranjas que constituyen 4  órbitas (no se representan dos flechas). ω en sí es la bola que está más abajo: ω = (− ω )(−1) = (− ω ) ⁴

El grupo tetraédrico binario se puede escribir como un producto semidirecto.

${\displaystyle 2\mathrm {T} =\mathrm {Q} \rtimes \mathrm {C} _{3}}$

donde Q es el grupo cuaternión que consta de las 8 unidades de Lipschitz y C ₃ es el grupo cíclico de orden 3 generado por ω = −1/2(1 + yo + j + k ) . El grupo Z ₃ actúa sobre el subgrupo normal Q por conjugación . La conjugación por ω es el automorfismo de Q que rota cíclicamente i , j y k .

Se puede demostrar que el grupo tetraédrico binario es isomorfo al grupo lineal especial SL(2,3), el grupo de todas las matrices 2 × 2 sobre el campo finito F ₃ con determinante unitario, cubriendo este isomorfismo el isomorfismo del especial proyectivo grupo lineal PSL(2,3) con el grupo alterno A ₄ .

Presentación

El grupo 2T cuenta con una presentación impartida por

${\displaystyle \langle r,s,t\mid r^{2}=s^{3}=t^{3}=rst\rangle }$

o equivalente,

${\displaystyle \langle s,t\mid (st)^{2}=s^{3}=t^{3}\rangle .}$

Los generadores con estas relaciones están dados por

${\displaystyle r=i\qquad s={\tfrac {1}{2}}(1+i+j+k)\qquad t={\tfrac {1}{2}}(1+i+j-k),}$

con . ${\displaystyle r^{2}=s^{3}=t^{3}=-1}$

Subgrupos

El grupo tetraédrico binario , 2T=<3,3,2>, tiene 2 subgrupos primarios:
• Grupo cuaternión , Q=<2,2,2>, índice 3
• Grupo cíclico Z6=<3>, índice 4.

El grupo de cuaterniones que consta de las 8 unidades de Lipschitz forma un subgrupo normal de 2T de índice 3. Este grupo y el centro {±1} son los únicos subgrupos normales no triviales.

Todos los demás subgrupos de 2T son grupos cíclicos generados por los distintos elementos, con órdenes 3, 4 y 6. ^[4]

Dimensiones superiores

Así como el grupo tetraédrico se generaliza al grupo de simetría rotacional del n - simplex (como un subgrupo de SO( n )), existe un grupo binario superior correspondiente que es una cubierta doble, proveniente de la cubierta Spin( n ). → Entonces ( norte ).

El grupo de simetría rotacional del n -simplex puede considerarse como el grupo alterno en n  + 1 puntos, An _{+1 , y el grupo binario correspondiente es un} grupo de cobertura doble . Para todas las dimensiones superiores excepto A ₆ y A ₇ (correspondientes a los símplex de 5 y 6 dimensiones), este grupo binario es el grupo de cobertura (cobertura máxima) y es superperfecto , pero para las dimensiones 5 y 6 hay una excepción adicional. Cubierta triple y los grupos binarios no son superperfectos.

Uso en física teórica

El grupo tetraédrico binario fue utilizado en el contexto de la teoría de Yang-Mills en 1956 por Chen Ning Yang y otros. ^[5] Paul Frampton y Thomas Kephart lo utilizaron por primera vez en la construcción de modelos de física del sabor en 1994. ^[6] En 2012 se demostró ^[7] que una relación entre dos ángulos de mezcla de neutrinos, derivada ^[8] mediante el uso de este tetraédrico binario simetría de sabor, de acuerdo con el experimento.

Ver también

• Grupo poliédrico binario
• Grupo cíclico binario , ⟨ n ⟩, orden 2 n
• Grupo diédrico binario , ⟨2,2, n ⟩, ^[2] orden 4 n
• Grupo octaédrico binario , 2O = ⟨2,3,4⟩, ^[2] orden 48
• Grupo icosaédrico binario , 2I = ⟨2,3,5⟩, ^[2] orden 120

Notas

1. Coxeter , Politopos regulares complejos , p. 109, figura 11.5E
2. Coxeter&Moser: Generadores y relaciones para grupos discretos: <l,m,n>: R ^l = S ^m = T ⁿ = RST
3. "Grupo lineal especial: SL (2,3)". accesorios de grupo .
4. SL ₂ ( F ₃ ) en nombres de grupo
5. Caso, EM; Robert Karplus; CN Yang (1956). "Partículas extrañas y la conservación del giro isotópico". Revisión física . 101 (2): 874–876. Código bibliográfico : 1956PhRv..101..874C. doi : 10.1103/PhysRev.101.874. S2CID  122544023.
6. Frampton, Paul H.; Thomas W. Kephart (1995). "Grupos de sabores finitos nobelianos simples y masas de fermiones". Revista Internacional de Física Moderna . A10 (32): 4689–4704. arXiv : hep-ph/9409330 . Código bibliográfico : 1995IJMPA..10.4689F. doi :10.1142/s0217751x95002187. S2CID  7620375.
7. Eby, David A.; Paul H. Frampton (2012). "Theta (13) distinto de cero señala una mezcla de neutrinos atmosféricos no máxima". Revisión física . D86 (11): 117–304. arXiv : 1112.2675 . Código bibliográfico : 2012PhRvD..86k7304E. doi : 10.1103/physrevd.86.117304. S2CID  118408743.
8. Eby, David A.; Paul H. Frampton; Shinya Matsuzaki (2009). "Predicciones para ángulos de mezcla de neutrinos en un modelo T ′". Letras de Física . B671 (3): 386–390. arXiv : 0801.4899 . Código Bib : 2009PhLB..671..386E. doi :10.1016/j.physletb.2008.11.074. S2CID  119272452.

Referencias

• Conway, John H .; Smith, Derek A. (2003). Sobre Cuaterniones y Octoniones . Natick, Massachusetts: AK Peters, Ltd. ISBN 1-56881-134-9.
• Coxeter, HSM y Moser, WOJ (1980). Generadores y Relaciones para Grupos Discretos, 4ª edición . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.6.5 Los grupos poliédricos binarios, p. 68