Grupo cíclico binario

estructura algebraica

En matemáticas , el grupo cíclico binario del n -gon es el grupo cíclico de orden 2 n , pensado como una extensión del grupo cíclico por un grupo cíclico de orden 2. Coxeter escribe el grupo cíclico binario entre paréntesis angulares, ⟨ n ⟩, y el subgrupo del índice 2 como ( n ) o [ n ] ⁺ . ${\displaystyle C_{2n}}$ ${\displaystyle C_{n}}$

Es el grupo poliédrico binario correspondiente al grupo cíclico. ^[1]

En términos de grupos poliédricos binarios, el grupo cíclico binario es la preimagen del grupo cíclico de rotaciones ( ) bajo el homomorfismo de cobertura 2:1. ${\displaystyle C_{n}<\operatorname {SO} (3)}$

${\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\to \operatorname {SO} (3)\,}$

del grupo ortogonal especial por el grupo de espín .

Como subgrupo del grupo de espín, el grupo cíclico binario se puede describir concretamente como un subgrupo discreto de los cuaterniones unitarios , bajo el isomorfismo donde Sp(1) es el grupo multiplicativo de cuaterniones unitarios. (Para obtener una descripción de este homomorfismo, consulte el artículo sobre cuaterniones y rotaciones espaciales ). ${\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)}$

Presentación

El grupo cíclico binario se puede definir como el conjunto de ^las raíces de la unidad, es decir, el conjunto , donde ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle \left\{\omega _{n}^{k}\;|\;k\in \{0,1,2,...,2n-1\}\right\}}$

${\displaystyle \omega _{n}=e^{i\pi /n}=\cos {\frac {\pi }{n}}+i\sin {\frac {\pi }{n}},}$

usando la multiplicación como operación grupal.

Ver también

• grupo diédrico binario , ⟨2,2, n ⟩, orden 4 n
• grupo tetraédrico binario , ⟨2,3,3⟩, orden 24
• grupo octaédrico binario , ⟨2,3,4⟩, orden 48
• grupo icosaédrico binario , ⟨2,3,5⟩, orden 120

Referencias

1. Coxeter, HSM (1959), "Definiciones simétricas para los grupos poliédricos binarios", Proc. Simposios. Matemáticas puras, vol. 1, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense, págs. 64–87, MR  0116055.