En álgebra abstracta , un campo de división de un polinomio con coeficientes en un campo es la extensión de campo más pequeña de ese campo sobre la cual el polinomio se divide , es decir, se descompone en factores lineales .
Un campo dividido de un polinomio p ( X ) sobre un campo K es una extensión de campo L de K sobre la cual p se factoriza en factores lineales
donde y para cada uno tenemos con a i no necesariamente distintos y tales que las raíces a i generan L sobre K . La extensión L es entonces una extensión de grado mínimo sobre K en la que p se divide. Se puede demostrar que tales campos de división existen y son únicos hasta el isomorfismo . La cantidad de libertad en ese isomorfismo se conoce como grupo de Galois de p (si asumimos que es separable ).
Un campo de división de un conjunto de P de polinomios es el campo más pequeño sobre el cual se divide cada uno de los polinomios de P.
Una extensión L que es un campo de división para un conjunto de polinomios p ( X ) sobre K se llama extensión normal de K .
Dado un campo algebraicamente cerrado A que contiene K , existe un campo de división único L de p entre K y A , generado por las raíces de p . Si K es un subcampo de los números complejos , la existencia es inmediata. Por otro lado, la existencia de cierres algebraicos en general a menudo se demuestra "pasando al límite" del resultado del campo de división, lo que por lo tanto requiere una prueba independiente para evitar el razonamiento circular .
Dada una extensión separable K ′ de K , un cierre de Galois L de K ′ es un tipo de campo de división, y también una extensión de Galois de K que contiene K ′ que es mínima, en un sentido obvio. Tal cierre de Galois debería contener un campo de división para todos los polinomios p sobre K que son polinomios mínimos sobre K de elementos de K ′.
Encontrar raíces de polinomios ha sido un problema importante desde la época de los antiguos griegos. Sin embargo, algunos polinomios, como x 2 + 1 sobre R , los números reales , no tienen raíces. Al construir el campo de división para dicho polinomio, se pueden encontrar las raíces del polinomio en el nuevo campo.
Sea F un cuerpo y p ( X ) un polinomio en el anillo polinómico F [ X ] de grado n . El proceso general para construir K , el campo de división de p ( X ) sobre F , es construir una cadena de campos tal que K i sea una extensión de K i −1 que contenga una nueva raíz de p ( X ). Dado que p ( X ) tiene como máximo n raíces, la construcción requerirá como máximo n extensiones. Los pasos para construir K i se dan de la siguiente manera:
El factor irreducible f ( X ) utilizado en la construcción del cociente puede elegirse arbitrariamente. Aunque diferentes elecciones de factores pueden conducir a diferentes secuencias de subcampos, los campos de división resultantes serán isomórficos.
Dado que f ( X ) es irreducible, ( f ( X ) ) es un ideal máximo de K i [ X ] y K i [ X ] / ( f ( X )) es, de hecho, un campo, el campo residual de ese ideal máximo. Además, si dejamos que sea la proyección natural del anillo sobre su cociente entonces
entonces π ( X ) es raíz de f ( X ) y de p ( X ).
El grado de una sola extensión es igual al grado del factor irreducible f ( X ). El grado de la extensión [ K : F ] viene dado por y es como máximo n !.
Como se mencionó anteriormente, el anillo cociente K i +1 = K i [ X ]/( f ( X )) es un campo cuando f ( X ) es irreducible. Sus elementos son de la forma
donde los c j están en K i y α = π ( X ). (Si se considera K i +1 como un espacio vectorial sobre K i, entonces las potencias α j para 0 ≤ j ≤ n −1 forman una base ).
Los elementos de K i +1 pueden considerarse como polinomios en α de grado menor que n . La suma en K i +1 viene dada por las reglas para la suma de polinomios, y la multiplicación está dada por el módulo de multiplicación polinomial f ( X ). Es decir, para g ( α ) y h ( α ) en K i +1 su producto es g ( α ) h ( α ) = r (α) donde r ( X ) es el resto de g ( X ) h ( X ) cuando se divide por f ( X ) en K i [ X ].
El resto r ( X ) se puede calcular mediante división larga polinomial ; sin embargo, también existe una regla de reducción sencilla que se puede utilizar para calcular r ( α ) = g ( α ) h ( α ) directamente. primero deja
El polinomio está sobre un campo por lo que se puede tomar f ( X ) como mónico sin pérdida de generalidad . Ahora α es una raíz de f ( X ), entonces
Si el producto g ( α ) h ( α ) tiene un término α m con m ≥ n se puede reducir de la siguiente manera:
Como ejemplo de la regla de reducción, tomemos K i = Q [ X ], el anillo de polinomios con coeficientes racionales , y tomemos f ( X ) = X 7 − 2. Sean y h ( α ) = α 3 +1 dos elementos de Q [ X ]/( X 7 − 2). La regla de reducción dada por f ( X ) es α 7 = 2 entonces
Considere el anillo polinómico R [ x ] y el polinomio irreducible x 2 + 1. El anillo cociente R [ x ] / ( x 2 + 1) viene dado por la congruencia x 2 ≡ −1. Como resultado, los elementos (o clases de equivalencia ) de R [ x ] / ( x 2 + 1 ) son de la forma a + bx donde a y b pertenecen a R . Para ver esto, observe que dado que x 2 ≡ −1 se deduce que x 3 ≡ − x , x 4 ≡ 1 , x 5 ≡ x , etc.; y así, por ejemplo p + qx + rx 2 + sx 3 ≡ p + qx + r (−1) + s (− x ) = ( p − r ) + ( q − s ) x .
Las operaciones de suma y multiplicación se dan usando primero la suma y multiplicación de polinomios ordinarios, pero luego reduciendo el módulo x 2 + 1 , es decir, usando el hecho de que x 2 ≡ −1 , x 3 ≡ − x , x 4 ≡ 1 , x 5 ≡ x , etc. Así:
Si identificamos a + bx con ( a , b ) entonces vemos que la suma y la multiplicación están dadas por
Afirmamos que, como campo, el anillo cociente R [ x ] / ( x 2 + 1 ) es isomorfo a los números complejos , C . Un número complejo general tiene la forma a + bi , donde a y b son números reales e i 2 = −1. La suma y la multiplicación están dadas por
Si identificamos a + bi con ( a , b ) entonces vemos que la suma y la multiplicación están dadas por
Los cálculos anteriores muestran que la suma y la multiplicación se comportan de la misma manera en R [ x ] / ( x 2 + 1) y C . De hecho, vemos que la aplicación entre R [ x ] / ( x 2 + 1) y C dada por a + bx → a + bi es un homomorfismo con respecto a la suma y la multiplicación. También es obvio que el morfismo a + bx → a + bi es tanto inyectivo como sobreyectivo ; lo que significa que a + bx → a + bi es un homomorfismo biyectivo , es decir, un isomorfismo . De ello se deduce que, como se afirma: R [ x ] / ( x 2 + 1 ) ≅ C .
En 1847, Cauchy utilizó este método para definir los números complejos. [1]
Sea K el campo de números racionales Q y p ( x ) = x 3 − 2 . Cada raíz de p es igual a 3 √ 2 veces una raíz cúbica de la unidad . Por lo tanto, si denotamos las raíces cúbicas de la unidad por
cualquier campo que contenga dos raíces distintas de p contendrá el cociente entre dos raíces cúbicas distintas de la unidad. Tal cociente es una raíz cúbica primitiva de la unidad: ya sea o . De ello se deduce que un campo de división L de p contendrá ω 2 , así como la raíz cúbica real de 2; por el contrario , cualquier extensión de Q que contenga estos elementos contiene todas las raíces de p . De este modo
Tenga en cuenta que al aplicar el proceso de construcción descrito en la sección anterior a este ejemplo, se comienza y se construye el campo . Este campo no es el campo de división, pero contiene una (cualquier) raíz. Sin embargo, el polinomio no es irreducible y de hecho:
Tenga en cuenta que no es un indeterminado y, de hecho, es un elemento de . Ahora, continuando con el proceso, obtenemos , que de hecho es el campo de división y está atravesado por la base . Note que si comparamos esto con lo de arriba podemos identificar y .