Centro (teoría de grupos)

En álgebra abstracta , el centro de un grupo $G$ es el conjunto de elementos que conmutan con cada elemento de $G.$ Se denota $Z(G)$ , del alemán Zentrum, que significa centro . En la notación de constructor de conjuntos ,

Z(G) = {z \in G | \forall g \in G, zg = gz}

El centro es un subgrupo normal , $Z(G) ⊲ G$ , y también un subgrupo característico , pero no es necesariamente completamente característico . El grupo cociente , $G / Z(G)$ , es isomorfo al grupo de automorfismo interno , $Inn(G)$ .

Un grupo $G$ es abeliano si y solo si $Z(G) = G$ . En el otro extremo, se dice que un grupo no tiene centro si $Z(G)$ es trivial ; es decir, consta solo del elemento identidad .

Los elementos del centro son elementos centrales .

Como subgrupo

El centro de G es siempre un subgrupo de $G$ . En particular:

$Z(G)$ contiene el elemento identidad de $G$ , porque conmuta con cada elemento de $g$ , por definición: $eg = g = ge$ , donde $e$ es la identidad;
Si $x$ e y $están$ en $Z(G)$ , entonces también lo está $xy$ , por asociatividad: $(xy) g = x (yg) = x (gy) = (xg) y = (gx) y = g (xy)$ para cada $g \in G$ ; es decir, $Z(G)$ es cerrado;
Si $x$ está en $Z(G)$ , entonces también lo está $x -1$ ya que, para todo $g$ en $G$ , $x -1$ conmuta con $g$ : $(gx = xg) \Rightarrow (x -1 gxx -1 = x -1 xgx -1) \Rightarrow (x -1 g = gx -1)$ .

Además, el centro de $G$ es siempre un subgrupo abeliano y normal de $G$ . Dado que todos los elementos de $Z($ $G$ $)$ conmutan, es cerrado bajo conjugación .

Un homomorfismo de grupo $f : G \to H$ podría no restringirse a un homomorfismo entre sus centros. Los elementos de imagen $f (g)$ conmutan con la imagen $f (G)$ , pero no necesitan conmutar con todo $H$ a menos que $f$ sea sobreyectiva. Por lo tanto, la función de centro no es un funtor entre las categorías Grp y Ab, ya que no induce una función de flechas. $G\to Z(G)$

Clases de conjugación y centralizadores

Por definición, un elemento es central siempre que su clase de conjugación contenga sólo el elemento mismo; es decir, $Cl(g) = {g}$ .

El centro es la intersección de todos los centralizadores de elementos de $G$ :

$Z(G)=\bigcap _{g\in G}Z_{G}(g).$

Como los centralizadores son subgrupos, esto demuestra nuevamente que el centro es un subgrupo.

Conjugación

Considérese la función $f : G \to Aut(G)$ , desde $G$ hasta el grupo de automorfismos de $G$ definido por $f (g) = ϕ g$ , donde $ϕ g$ es el automorfismo de $G$ definido por

f (g)(h) = ϕ g (h) = ghg ​​-1

La función $f$ es un homomorfismo de grupo , y su núcleo es precisamente el centro de $G$ , y su imagen se llama grupo de automorfismo interno de $G$ , denotado $Inn(G)$ . Por el primer teorema de isomorfismo obtenemos:

G /Z(G) ≃ Inn(G)

El co-núcleo de este mapa es el grupo $Out(G)$ de automorfismos externos , y estos forman la secuencia exacta

1 ⟶ Z(G) ⟶ G ⟶ Aut(G) ⟶ Salida(G) ⟶ 1

Ejemplos

El centro de un grupo abeliano , $G$ , es todo $G.$
El centro del grupo de Heisenberg , $H$ , es el conjunto de matrices de la forma: ${\begin{pmatrix}1&0&z\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
El centro de un grupo simple no abeliano es trivial.
El centro del grupo diedro , $D n$ , es trivial para $n impar \geq 3$ . Para $n par \geq 4$ , el centro consiste en el elemento identidad junto con la rotación de 180° del polígono .
El centro del grupo de cuaterniones , $Q 8 = {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k}$ , es ${1, -1}$ .
El centro del grupo simétrico , $S n$ , es trivial para $n \geq 3$ .
El centro del grupo alterno , $A n$ , es trivial para $n \geq 4$ .
El centro del grupo lineal general sobre un cuerpo $F$ , $GL n (F)$ , es la colección de matrices escalares , ${ sI n ∣ s ∈ F \ {0} }$ .
El centro del grupo ortogonal , $O n (F)$ es ${I n, -I n}$ .
El centro del grupo ortogonal especial , $SO(n)$ es todo el grupo cuando $n = 2$ , y de lo contrario ${I n, -I n}$ cuando n es par, y trivial cuando n es impar.
El centro del grupo unitario , es . $U(n)$ $\left\{e^{i\theta }\cdot I_{n}\mid \theta \in [0,2\pi )\right\}$
El centro del grupo unitario especial , es . $\operatorname {SU} (n)$ ${\textstyle \left\lbrace e^{i\theta }\cdot I_{n}\mid \theta ={\frac {2k\pi }{n}},k=0,1,\dots ,n-1\right\rbrace }$
El centro del grupo multiplicativo de cuaterniones distintos de cero es el grupo multiplicativo de números reales distintos de cero .
Utilizando la ecuación de clase , se puede demostrar que el centro de cualquier p-grupo finito no trivial no es trivial.
Si el grupo cociente $G /Z(G)$ es cíclico , $G$ es abeliano (y por lo tanto $G = Z(G)$ , por lo que $G /Z(G)$ es trivial).
El centro del grupo del cubo de Rubik está formado por dos elementos: la identidad (es decir, el estado resuelto) y el superflip . El centro del grupo del cubo de bolsillo es trivial.
El centro del grupo Megaminx tiene orden 2, y el centro del grupo Kilominx es trivial.

Centros superiores

Al cocientear por el centro de un grupo se obtiene una secuencia de grupos llamada serie central superior :

(G 0 = G) ⟶ (G 1 = G 0 /Z(G 0)) ⟶ (G 2 = G 1 /Z(G 1)) ⟶ \dots

El núcleo de la función $G \to G i$ es el $i$ ésimo centro ^[1] de $G$ ( segundo centro , tercer centro , etc.), denotado $Z i (G)$ . ^[2] Concretamente, el ( $i +1$ )-ésimo centro comprende los elementos que conmutan con todos los elementos hasta un elemento del $i$ ésimo centro. Siguiendo esta definición, se puede definir el 0º centro de un grupo como el subgrupo identidad. Esto se puede continuar hasta los ordinales transfinitos por inducción transfinita ; la unión de todos los centros superiores se llama hipercentro . ^{[nota 1]}

La cadena ascendente de subgrupos

1 \leq Z(G) \leq Z 2 (G) \leq \dots

se estabiliza en i (equivalentemente, $Z i (G) = Z i+1 (G)$ ) si y sólo si $G i$ no tiene centro.

Ejemplos

Para un grupo sin centro, todos los centros superiores son cero, lo que es el caso $Z 0 (G) = Z 1 (G)$ de estabilización.
Por el lema de Grün , el cociente de un grupo perfecto por su centro no tiene centro, por lo tanto todos los centros superiores son iguales al centro. Este es un caso de estabilización en $Z 1 (G) = Z 2 (G)$ .

Véase también

Notas

^ Esta unión incluirá términos transfinitos si el UCS no se estabiliza en una etapa finita.

Referencias

Fraleigh, John B. (2014). Un primer curso de álgebra abstracta (7.ª ed.). Pearson. ISBN 978-1-292-02496-7.

Enlaces externos

"Centro de un grupo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

^ Ellis, Graham (1 de febrero de 1998). "Sobre grupos con un cociente central superior nilpotente finito". Archiv der Mathematik . 70 (2): 89–96. doi :10.1007/s000130050169. ISSN 1420-8938.
^ Ellis, Graham (1 de febrero de 1998). "Sobre grupos con un cociente central superior nilpotente finito". Archiv der Mathematik . 70 (2): 89–96. doi :10.1007/s000130050169. ISSN 1420-8938.