En el campo matemático de la teoría de la representación, una representación real suele ser una representación en un espacio vectorial real U , pero también puede significar una representación en un espacio vectorial complejo V con una estructura real invariante , es decir, un mapa equivariante antilineal .
que satisface
Los dos puntos de vista son equivalentes porque si U es un espacio vectorial real sobre el que actúa un grupo G (digamos), entonces V = U ⊗ C es una representación en un espacio vectorial complejo con un mapa equivariante antilineal dado por conjugación compleja . Por el contrario, si V es una representación tan compleja, entonces U puede recuperarse como el conjunto de puntos fijos de j (el espacio propio con valor propio 1).
En física , donde las representaciones a menudo se ven concretamente en términos de matrices, una representación real es aquella en la que las entradas de las matrices que representan los elementos del grupo son números reales. Estas matrices pueden actuar sobre vectores de columna reales o complejos.
Una representación real en un espacio vectorial complejo es isomorfa a su representación conjugada compleja , pero lo contrario no es cierto: una representación que es isomorfa a su conjugada compleja pero que no es real se llama representación pseudoreal . Una representación pseudoreal irreducible V es necesariamente una representación cuaterniónica : admite una estructura cuaterniónica invariante , es decir, una aplicación equivariante antilineal.
que satisface
Una suma directa de representaciones reales y cuaterniónicas no es real ni cuaterniónica en general.
Una representación en un espacio vectorial complejo también puede ser isomorfa a la representación dual de su conjugado complejo. Esto sucede precisamente cuando la representación admite una forma sesquilineal invariante no degenerada , por ejemplo una forma hermitiana . A veces se dice que tales representaciones son complejas o (pseudo)hermitianas.
Un criterio (para grupos compactos G ) para la realidad de representaciones irreductibles en términos de la teoría del carácter se basa en el indicador de Frobenius-Schur definido por
donde χ es el carácter de la representación y μ es la medida de Haar con μ( G ) = 1. Para un grupo finito, esto viene dado por
El indicador puede tomar los valores 1, 0 o −1. Si el indicador es 1, entonces la representación es real. Si el indicador es cero, la representación es compleja (hermitiana), [1] y si el indicador es −1, la representación es cuaterniónica.
Todas las representaciones de los grupos simétricos son reales (y de hecho racionales), ya que podemos construir un conjunto completo de representaciones irreducibles utilizando cuadros de Young .
Todas las representaciones de los grupos de rotación en espacios de dimensiones impares son reales, ya que todas aparecen como subrepresentaciones de productos tensoriales de copias de la representación fundamental, que es real.
Otros ejemplos de representaciones reales son las representaciones de espinores de los grupos de espines en dimensiones 8 k −1, 8 k y 8 k +1 para k = 1, 2, 3... Esta periodicidad módulo 8 se conoce en matemáticas no sólo en la teoría de las álgebras de Clifford , pero también en topología algebraica , en teoría KO ; ver representación de espín y periodicidad de Bott .
