Producto tensorial

Operación matemática sobre espacios vectoriales

En matemáticas , el producto tensorial de dos espacios vectoriales V y W (sobre el mismo cuerpo ) es un espacio vectorial al que está asociado un mapa bilineal que asigna un par a un elemento de denotado ⁠ ⁠ . ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle V\times W\rightarrow V\otimes W}$ ${\displaystyle (v,w),\ v\in V,w\in W}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle v\otimes w}$

Un elemento de la forma se denomina producto tensorial de v y w . Un elemento de es un tensor y el producto tensorial de dos vectores a veces se denomina tensor elemental o tensor descomponible . Los tensores elementales abarcan en el sentido de que cada elemento de es una suma de tensores elementales. Si se dan bases para V y W , una base de está formada por todos los productos tensoriales de un elemento base de V y un elemento base de W . ${\displaystyle v\otimes w}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle V\otimes W}$

El producto tensorial de dos espacios vectoriales captura las propiedades de todos los mapas bilineales en el sentido de que un mapa bilineal de otro espacio vectorial Z se factoriza únicamente a través de un mapa lineal (ver Propiedad universal ). ${\displaystyle V\times W}$ ${\displaystyle V\otimes W\to Z}$

Los productos tensoriales se utilizan en muchas áreas de aplicación, incluidas la física y la ingeniería. Por ejemplo, en la relatividad general , el campo gravitacional se describe a través del tensor métrico , que es un campo tensorial con un tensor en cada punto de la variedad espacio-temporal , y cada uno de ellos perteneciente al producto tensorial del espacio cotangente en el punto consigo mismo.

Definiciones y construcciones

El producto tensorial de dos espacios vectoriales es un espacio vectorial que se define hasta un isomorfismo . Existen varias formas equivalentes de definirlo. La mayoría consisten en definir explícitamente un espacio vectorial que se denomina producto tensorial y, generalmente, la prueba de equivalencia resulta casi inmediatamente de las propiedades básicas de los espacios vectoriales así definidos.

El producto tensorial también puede definirse mediante una propiedad universal ; véase § Propiedad universal, más adelante. Como ocurre con toda propiedad universal, todos los objetos que la satisfacen son isomorfos mediante un isomorfismo único que es compatible con la propiedad universal. Cuando se utiliza esta definición, las otras definiciones pueden considerarse como construcciones de objetos que satisfacen la propiedad universal y como pruebas de que existen objetos que satisfacen la propiedad universal, es decir, que existen productos tensoriales.

Desde bases

Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo F , con bases respectivas y ⁠ ⁠ . ${\displaystyle B_{V}}$ ${\displaystyle B_{W}}$

El producto tensorial de V y W es un espacio vectorial que tiene como base el conjunto de todos los elementos con y ⁠ ⁠ . Esta definición se puede formalizar de la siguiente manera (esta formalización rara vez se utiliza en la práctica, ya que la definición informal precedente suele ser suficiente): es el conjunto de las funciones del producto cartesiano por F que tienen un número finito de valores distintos de cero. Las operaciones puntuales forman un espacio vectorial. La función que mapea a 1 y los demás elementos de a 0 se denota ⁠ ⁠ . ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle v\otimes w}$ ${\displaystyle v\in B_{V}}$ ${\displaystyle w\in B_{W}}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle (v,w)}$ ${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$ ${\displaystyle v\otimes w}$

El conjunto es entonces directamente una base de ⁠ ⁠ , que se llama producto tensorial de las bases y ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \{v\otimes w\mid v\in B_{V},w\in B_{W}\}}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle B_{V}}$ ${\displaystyle B_{W}}$

Podemos definir de manera equivalente como el conjunto de formas bilineales en que son distintas de cero solo en un número finito de elementos de ⁠ ⁠ . Para ver esto, dado y una forma bilineal ⁠ ⁠ , podemos descomponer y en las bases y como: donde solo un número finito de 's y 's son distintas de cero, y encontrar por la bilinealidad de eso: ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle V\times W}$ ${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$ ${\displaystyle (x,y)\in V\times W}$ ${\displaystyle B:V\times W\to F}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle B_{V}}$ ${\displaystyle B_{W}}$ $${\displaystyle x=\sum _{v\in B_{V}}x_{v}\,v\quad {\text{and}}\quad y=\sum _{w\in B_{W}}y_{w}\,w,}$$ ${\displaystyle x_{v}}$ ${\displaystyle y_{w}}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle B(x,y)=\sum _{v\in B_{V}}\sum _{w\in B_{W}}x_{v}y_{w}\,B(v,w)}$$

Por lo tanto, vemos que el valor de para cualquier está determinado única y totalmente por los valores que toma en ⁠ ⁠ . Esto nos permite extender las funciones definidas en como antes a funciones bilineales , al permitir que: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (x,y)\in V\times W}$ ${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$ ${\displaystyle v\otimes w}$ ${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$ ${\displaystyle v\otimes w:V\times W\to F}$ $${\displaystyle (v\otimes w)(x,y):=\sum _{v'\in B_{V}}\sum _{w'\in B_{W}}x_{v'}y_{w'}\,(v\otimes w)(v',w')=x_{v}\,y_{w}.}$$

Entonces podemos expresar cualquier forma bilineal como una combinación lineal formal (potencialmente infinita) de las aplicaciones de acuerdo con: haciendo estas aplicaciones similares a una base de Schauder para el espacio vectorial de todas las formas bilineales en ⁠ ⁠ . Para que en cambio sea una base de Hamel adecuada , solo queda agregar el requisito de que sea distinto de cero en un solo número finito de elementos de ⁠ ⁠ , y considerar el subespacio de tales aplicaciones en su lugar. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle v\otimes w}$ $${\displaystyle B=\sum _{v\in B_{V}}\sum _{w\in B_{W}}B(v,w)(v\otimes w)}$$ ${\displaystyle {\text{Hom}}(V,W;F)}$ ${\displaystyle V\times W}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$

En cualquiera de las dos construcciones, el producto tensorial de dos vectores se define a partir de su descomposición en las bases. Más precisamente, tomando las descomposiciones de base de y como antes: ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle y\in W}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x\otimes y&={\biggl (}\sum _{v\in B_{V}}x_{v}\,v{\biggr )}\otimes {\biggl (}\sum _{w\in B_{W}}y_{w}\,w{\biggr )}\\[5mu]&=\sum _{v\in B_{V}}\sum _{w\in B_{W}}x_{v}y_{w}\,v\otimes w.\end{aligned}}}$$

Esta definición se deriva claramente de los coeficientes de en la expansión por bilinealidad de usando las bases y ⁠ ⁠ , como se hizo anteriormente. Entonces es sencillo verificar que con esta definición, la función es una función bilineal de a que satisface la propiedad universal que satisface cualquier construcción del producto tensorial (ver a continuación). ${\displaystyle B(v,w)}$ ${\displaystyle B(x,y)}$ ${\displaystyle B_{V}}$ ${\displaystyle B_{W}}$ ${\displaystyle {\otimes }:(x,y)\mapsto x\otimes y}$ ${\displaystyle V\times W}$ ${\displaystyle V\otimes W}$

Si se organiza en una matriz rectangular, el vector de coordenadas de es el producto externo de los vectores de coordenadas de y ⁠ ⁠ . Por lo tanto, el producto tensorial es una generalización del producto externo, es decir, una abstracción de este más allá de los vectores de coordenadas. ${\displaystyle x\otimes y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Una limitación de esta definición del producto tensorial es que, si se cambia de base, se define un producto tensorial diferente. Sin embargo, la descomposición sobre una base de los elementos de la otra base define un isomorfismo canónico entre los dos productos tensoriales de espacios vectoriales, lo que permite identificarlos. Además, contrariamente a las dos definiciones alternativas siguientes, esta definición no se puede extender a una definición del producto tensorial de módulos sobre un anillo .

Como espacio cociente

Una construcción del producto tensorial que sea independiente de la base se puede obtener de la siguiente manera.

Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un campo F.

Se considera primero un espacio vectorial L que tiene como base el producto cartesiano . Es decir, los elementos base de L son los pares con y ⁠ ⁠ . Para obtener dicho espacio vectorial, se lo puede definir como el espacio vectorial de las funciones que tienen un número finito de valores distintos de cero y que se identifican con la función que toma el valor 1 en y 0 en caso contrario. ${\displaystyle V\times W}$ ${\displaystyle (v,w)}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle w\in W}$ ${\displaystyle V\times W\to F}$ ${\displaystyle (v,w)}$ ${\displaystyle (v,w)}$

Sea R el subespacio lineal de L que está abarcado por las relaciones que debe satisfacer el producto tensorial. Más precisamente, R está abarcado por los elementos de una de las formas:

${\displaystyle {\begin{aligned}(v_{1}+v_{2},w)&-(v_{1},w)-(v_{2},w),\\(v,w_{1}+w_{2})&-(v,w_{1})-(v,w_{2}),\\(sv,w)&-s(v,w),\\(v,sw)&-s(v,w),\end{aligned}}}$

donde ⁠ ⁠ ${\displaystyle v,v_{1},v_{2}\in V}$ , y ⁠ ⁠ . ${\displaystyle w,w_{1},w_{2}\in W}$ ${\displaystyle s\in F}$

Entonces, el producto tensorial se define como el espacio cociente :

${\displaystyle V\otimes W=L/R,}$

y la imagen de en este cociente se denota ⁠ ⁠ . ${\displaystyle (v,w)}$ ${\displaystyle v\otimes w}$

Es fácil demostrar que el resultado de esta construcción satisface la propiedad universal que se considera a continuación. (Se puede utilizar una construcción muy similar para definir el producto tensorial de módulos ).

Propiedad universal

Propiedad universal del producto tensorial: si h es bilineal, existe una única función lineal~yoque hace que el diagrama sea conmutativo (es decir, h =~yo∘ φ ).

En esta sección se describe la propiedad universal que satisface el producto tensorial. Como ocurre con toda propiedad universal, dos objetos que satisfacen la propiedad están relacionados por un único isomorfismo . De ello se deduce que esta es una forma (no constructiva) de definir el producto tensorial de dos espacios vectoriales. En este contexto, las construcciones anteriores de productos tensoriales pueden considerarse como pruebas de la existencia del producto tensorial así definido.

Una consecuencia de este enfoque es que cada propiedad del producto tensorial puede deducirse de la propiedad universal y que, en la práctica, uno puede olvidar el método que se ha utilizado para demostrar su existencia.

La "definición de propiedad universal" del producto tensorial de dos espacios vectoriales es la siguiente (recuerde que una función bilineal es una función que es lineal por separado en cada uno de sus argumentos):

El producto tensorial de dos espacios vectoriales V y W es un espacio vectorial denotado como ⁠ ⁠ ${\displaystyle V\otimes W}$ , junto con una función bilineal de a ⁠ ⁠ , tal que, para cada función bilineal ⁠ ⁠ , existe una única función lineal ⁠ ⁠ , tal que (es decir, para cada y ⁠ ⁠ ). ${\displaystyle {\otimes }:(v,w)\mapsto v\otimes w}$ ${\displaystyle V\times W}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle h:V\times W\to Z}$ ${\displaystyle {\tilde {h}}:V\otimes W\to Z}$ ${\displaystyle h={\tilde {h}}\circ {\otimes }}$ ${\displaystyle h(v,w)={\tilde {h}}(v\otimes w)}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle w\in W}$

Linealmente disjunto

Al igual que la propiedad universal anterior, la siguiente caracterización también se puede utilizar para determinar si un espacio vectorial dado y un mapa bilineal dado forman o no un producto tensorial. ^[1]

Teorema  —  Sean ⁠ ⁠ ${\displaystyle X,Y}$ , y espacios vectoriales complejos y sea una función bilineal. Entonces es un producto tensorial de y si y solo si ^[1] la imagen de abarca todos los de (es decir, ⁠ ⁠ ), y también y son -linealmente disjuntos , lo que por definición significa que para todos los enteros positivos y todos los elementos y tales que ⁠ ⁠ , ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle T:X\times Y\to Z}$ ${\displaystyle (Z,T)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \operatorname {span} \;T(X\times Y)=Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in X}$ ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}\in Y}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}T\left(x_{i},y_{i}\right)=0}$

1. Si todos son linealmente independientes , entonces todos son ⁠ ⁠ , y ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle 0}$
2. Si todos son linealmente independientes entonces todos son ⁠ ⁠ . ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle 0}$

De manera equivalente, y son -linealmente disjuntos si y solo si para todas las secuencias linealmente independientes en y todas las secuencias linealmente independientes en ⁠ ⁠ , los vectores son linealmente independientes. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left\{T\left(x_{i},y_{j}\right):1\leq i\leq m,1\leq j\leq n\right\}}$

Por ejemplo, se sigue inmediatamente que si y son números enteros positivos entonces y el mapa bilineal definido por enviar para formar un producto tensorial de y ⁠ ⁠ . ^[2] A menudo, este mapa se denotará por de modo que denota el valor de este mapa bilineal en ⁠ ⁠ . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Z:=\mathbb {C} ^{mn}}$ ${\displaystyle T:\mathbb {C} ^{m}\times \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{mn}}$ ${\displaystyle (x,y)=\left(\left(x_{1},\ldots ,x_{m}\right),\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)\right)}$ ${\displaystyle \left(x_{i}y_{j}\right)_{\stackrel {i=1,\ldots ,m}{j=1,\ldots ,n}}}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {C} ^{m}}$ ${\displaystyle Y:=\mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \,\otimes \,}$ ${\displaystyle x\otimes y\;:=\;T(x,y)}$ ${\displaystyle (x,y)\in X\times Y}$

Como otro ejemplo, supongamos que es el espacio vectorial de todas las funciones de valor complejo en un conjunto con adición y multiplicación escalar definidas puntualmente (lo que significa que es la función y es la función ⁠ ⁠ ). Sean y cualesquiera conjuntos y para cualquier y ⁠ ⁠ , sea la función definida por ⁠ ⁠ . Si y son subespacios vectoriales, entonces el subespacio vectorial de junto con la función bilineal: forman un producto tensorial de y ⁠ ⁠ . ^[2] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f+g}$ ${\displaystyle s\mapsto f(s)+g(s)}$ ${\displaystyle cf}$ ${\displaystyle s\mapsto cf(s)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f\in \mathbb {C} ^{S}}$ ${\displaystyle g\in \mathbb {C} ^{T}}$ ${\displaystyle f\otimes g\in \mathbb {C} ^{S\times T}}$ ${\displaystyle (s,t)\mapsto f(s)g(t)}$ ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {C} ^{S}}$ ${\displaystyle Y\subseteq \mathbb {C} ^{T}}$ ${\displaystyle Z:=\operatorname {span} \left\{f\otimes g:f\in X,g\in Y\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{S\times T}}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\;&&X\times Y&&\;\to \;&Z\\[0.3ex]&&(f,g)&&\;\mapsto \;&f\otimes g\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Propiedades

Dimensión

Si V y W son espacios vectoriales de dimensión finita , entonces es de dimensión finita, y su dimensión es el producto de las dimensiones de V y W. ${\displaystyle V\otimes W}$

Esto resulta del hecho de que una base de se forma tomando todos los productos tensoriales de un elemento base de V y un elemento base de W. ${\displaystyle V\otimes W}$

Asociatividad

El producto tensorial es asociativo en el sentido de que, dados tres espacios vectoriales , existe ${\displaystyle U,V,W}$ un isomorfismo canónico:

${\displaystyle (U\otimes V)\otimes W\cong U\otimes (V\otimes W),}$

que corresponde a ⁠ ⁠ . ${\displaystyle (u\otimes v)\otimes w}$ ${\displaystyle u\otimes (v\otimes w)}$

Esto permite omitir paréntesis en el producto tensorial de más de dos espacios vectoriales o vectores.

La conmutatividad como operación en el espacio vectorial

El producto tensorial de dos espacios vectoriales y es conmutativo en el sentido de que existe un isomorfismo canónico: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle V\otimes W\cong W\otimes V,}$

que corresponde a ⁠ ⁠ . ${\displaystyle v\otimes w}$ ${\displaystyle w\otimes v}$

Por otra parte, incluso cuando ⁠ ⁠ ${\displaystyle V=W}$ , el producto tensorial de vectores no es conmutativo; es decir, ⁠ ⁠ ${\displaystyle v\otimes w\neq w\otimes v}$ , en general.

La función de a sí misma induce un automorfismo lineal que se denomina ${\displaystyle x\otimes y\mapsto y\otimes x}$ ${\displaystyle V\otimes V}$Mapa de trenzado . De manera más general y como es habitual (véaseálgebra tensorial),denotemos el producto tensorial dencopias del espacio vectorialV.Para cadapermutaciónsde los primerosnenteros positivos, el mapa: ${\displaystyle V^{\otimes n}}$

${\displaystyle x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{n}\mapsto x_{s(1)}\otimes \cdots \otimes x_{s(n)}}$

induce un automorfismo lineal de ⁠ ⁠ ${\displaystyle V^{\otimes n}\to V^{\otimes n}}$ , que se llama mapa de trenzado.

Producto tensorial de aplicaciones lineales

Dado un mapa lineal ⁠ ⁠ ${\displaystyle f:U\to V}$ , y un espacio vectorial W , el producto tensorial:

${\displaystyle f\otimes W:U\otimes W\to V\otimes W}$

es el único mapa lineal tal que:

${\displaystyle (f\otimes W)(u\otimes w)=f(u)\otimes w.}$

El producto tensorial se define de manera similar. ${\displaystyle W\otimes f}$

Dados dos mapas lineales y ⁠ ⁠ , su producto tensorial: ${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle g:W\to Z}$

${\displaystyle f\otimes g:U\otimes W\to V\otimes Z}$

es el único mapa lineal que satisface:

${\displaystyle (f\otimes g)(u\otimes w)=f(u)\otimes g(w).}$

Uno tiene:

${\displaystyle f\otimes g=(f\otimes Z)\circ (U\otimes g)=(V\otimes g)\circ (f\otimes W).}$

En términos de la teoría de categorías , esto significa que el producto tensorial es un bifunctor de la categoría de espacios vectoriales a sí mismo. ^[3]

Si f y g son ambas inyectivas o sobreyectivas , entonces lo mismo es cierto para todas las aplicaciones lineales definidas anteriormente. En particular, el producto tensorial con un espacio vectorial es un funtor exacto ; esto significa que cada secuencia exacta se mapea a una secuencia exacta ( los productos tensoriales de módulos no transforman las inyecciones en inyecciones, pero son funtores exactos correctos ).

Al elegir las bases de todos los espacios vectoriales involucrados, las aplicaciones lineales f y g se pueden representar mediante matrices . Luego, dependiendo de cómo se vectorice el tensor, la matriz que describe el producto tensorial es el producto de Kronecker de las dos matrices. Por ejemplo, si V , X , W e Y anteriores son todas bidimensionales y se han fijado las bases para todas ellas, y f y g están dadas por las matrices: respectivamente, entonces el producto tensorial de estas dos matrices es: ${\displaystyle v\otimes w}$ ${\displaystyle f\otimes g}$ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\\\end{bmatrix}},\qquad B={\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}&a_{1,2}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}\\[3pt]a_{2,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}&a_{2,2}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1,1}b_{1,1}&a_{1,1}b_{1,2}&a_{1,2}b_{1,1}&a_{1,2}b_{1,2}\\a_{1,1}b_{2,1}&a_{1,1}b_{2,2}&a_{1,2}b_{2,1}&a_{1,2}b_{2,2}\\a_{2,1}b_{1,1}&a_{2,1}b_{1,2}&a_{2,2}b_{1,1}&a_{2,2}b_{1,2}\\a_{2,1}b_{2,1}&a_{2,1}b_{2,2}&a_{2,2}b_{2,1}&a_{2,2}b_{2,2}\\\end{bmatrix}}.}$$

El rango resultante es como máximo 4, y por lo tanto la dimensión resultante es 4. El rango aquí denota el rango del tensor , es decir, el número de índices necesarios (mientras que el rango de la matriz cuenta el número de grados de libertad en la matriz resultante ) ${\displaystyle \operatorname {Tr} A\otimes B=\operatorname {Tr} A\times \operatorname {Tr} B}$ .

Un producto diádico es el caso especial del producto tensorial entre dos vectores de la misma dimensión.

Tensores generales

Para los números enteros no negativos r y s, un tensor de tipo en un espacio vectorial V es un elemento de: Aquí está el espacio vectorial dual (que consta de todas las aplicaciones lineales f desde V al campo fundamental K ). ${\displaystyle (r,s)}$ $${\displaystyle T_{s}^{r}(V)=\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{r}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{s}=V^{\otimes r}\otimes \left(V^{*}\right)^{\otimes s}.}$$ ${\displaystyle V^{*}}$

Existe un mapa de producto, llamado producto (tensor) de tensores : ^[4] $${\displaystyle T_{s}^{r}(V)\otimes _{K}T_{s'}^{r'}(V)\to T_{s+s'}^{r+r'}(V).}$$

Se define agrupando todos los "factores" V presentes: escribiendo para un elemento de V y para un elemento del espacio dual: ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ $${\displaystyle (v_{1}\otimes f_{1})\otimes (v'_{1})=v_{1}\otimes v'_{1}\otimes f_{1}.}$$

Si V es de dimensión finita, entonces elegir una base de V y la base dual correspondiente de induce naturalmente una base de (esta base se describe en el artículo sobre productos de Kronecker ). En términos de estas bases, se pueden calcular los componentes de un producto (tensorial) de dos (o más) tensores . Por ejemplo, si F y G son dos tensores covariantes de órdenes m y n respectivamente (es decir y ⁠ ⁠ ), entonces los componentes de su producto tensorial están dados por: ^[5] ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle T_{s}^{r}(V)}$ ${\displaystyle F\in T_{m}^{0}}$ ${\displaystyle G\in T_{n}^{0}}$ $${\displaystyle (F\otimes G)_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m+n}}=F_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}G_{i_{m+1}i_{m+2}i_{m+3}\cdots i_{m+n}}.}$$

Así, las componentes del producto tensorial de dos tensores son el producto ordinario de las componentes de cada tensor. Otro ejemplo: sea U un tensor de tipo (1, 1) con componentes ⁠ ⁠ ${\displaystyle U_{\beta }^{\alpha }}$ , y sea V un tensor de tipo con componentes ⁠ ⁠ . Entonces: y: ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle V^{\gamma }}$ $${\displaystyle \left(U\otimes V\right)^{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma }=U^{\alpha }{}_{\beta }V^{\gamma }}$$ $${\displaystyle (V\otimes U)^{\mu \nu }{}_{\sigma }=V^{\mu }U^{\nu }{}_{\sigma }.}$$

Los tensores equipados con su operación producto forman un álgebra , llamada álgebra tensorial .

Mapa de evaluación y contracción del tensor

Para los tensores de tipo (1, 1) existe un mapa de evaluación canónico: definido por su acción sobre tensores puros: $${\displaystyle V\otimes V^{*}\to K}$$ $${\displaystyle v\otimes f\mapsto f(v).}$$

De manera más general, para tensores de tipo ⁠ ⁠ ${\displaystyle (r,s)}$ , con r , s > 0 , existe una función, llamada contracción tensorial : (Se deben especificar las copias de y sobre las que se aplicará esta función). $${\displaystyle T_{s}^{r}(V)\to T_{s-1}^{r-1}(V).}$$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$

Por otra parte, si es de dimensión finita , existe una función canónica en la otra dirección (llamada función de coevaluación ): donde es cualquier base de ⁠ ⁠ , y es su base dual . Esta función no depende de la elección de la base. ^[6] ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle {\begin{cases}K\to V\otimes V^{*}\\\lambda \mapsto \sum _{i}\lambda v_{i}\otimes v_{i}^{*}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v_{i}^{*}}$

La interacción de evaluación y coevaluación se puede utilizar para caracterizar espacios vectoriales de dimensión finita sin hacer referencia a bases. ^[7]

Representación adjunta

El producto tensorial puede verse naturalmente como un módulo para el álgebra de Lie por medio de la acción diagonal: para simplificar supongamos ⁠ ⁠ , entonces, para cada ⁠ ⁠ , donde es la transpuesta de u , es decir, en términos del emparejamiento obvio en ⁠ ⁠ , ${\displaystyle T_{s}^{r}(V)}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$ ${\displaystyle r=s=1}$ ${\displaystyle u\in \mathrm {End} (V)}$ $${\displaystyle u(a\otimes b)=u(a)\otimes b-a\otimes u^{*}(b),}$$ ${\displaystyle u^{*}\in \mathrm {End} \left(V^{*}\right)}$ ${\displaystyle V\otimes V^{*}}$ $${\displaystyle \langle u(a),b\rangle =\langle a,u^{*}(b)\rangle .}$$

Existe un isomorfismo canónico dado por: ${\displaystyle T_{1}^{1}(V)\to \mathrm {End} (V)}$ $${\displaystyle (a\otimes b)(x)=\langle x,b\rangle a.}$$

Bajo este isomorfismo, cada u en puede verse primero como un endomorfismo de y luego como un endomorfismo de ⁠ ⁠ . De hecho, es la representación adjunta ad( u ) de ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$ ${\displaystyle T_{1}^{1}(V)}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$

Mapas lineales como tensores

Dados dos espacios vectoriales de dimensión finita U , V sobre el mismo cuerpo K , denotemos el espacio dual de U como U* , y el espacio vectorial K de todas las aplicaciones lineales de U a V como Hom( U , V ) . Existe un isomorfismo: definido por una acción del tensor puro sobre un elemento de ⁠ ⁠ , $${\displaystyle U^{*}\otimes V\cong \mathrm {Hom} (U,V),}$$ ${\displaystyle f\otimes v\in U^{*}\otimes V}$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle (f\otimes v)(u)=f(u)v.}$$

Su "inverso" se puede definir utilizando una base y su base dual como en la sección "Mapa de evaluación y contracción tensorial" más arriba: ${\displaystyle \{u_{i}\}}$ ${\displaystyle \{u_{i}^{*}\}}$ $${\displaystyle {\begin{cases}\mathrm {Hom} (U,V)\to U^{*}\otimes V\\F\mapsto \sum _{i}u_{i}^{*}\otimes F(u_{i}).\end{cases}}}$$

Este resultado implica: lo que da automáticamente el hecho importante de que forma una base de donde son bases de U y V. $${\displaystyle \dim(U\otimes V)=\dim(U)\dim(V),}$$ ${\displaystyle \{u_{i}\otimes v_{j}\}}$ ${\displaystyle U\otimes V}$ ${\displaystyle \{u_{i}\},\{v_{j}\}}$

Además, dados tres espacios vectoriales U , V , W, el producto tensorial está vinculado al espacio vectorial de todas las aplicaciones lineales, de la siguiente manera: Este es un ejemplo de funtores adjuntos : el producto tensorial es "adjunto por la izquierda" a Hom. $${\displaystyle \mathrm {Hom} (U\otimes V,W)\cong \mathrm {Hom} (U,\mathrm {Hom} (V,W)).}$$

Productos tensoriales de módulos sobre un anillo

El producto tensorial de dos módulos A y B sobre un anillo conmutativo R se define exactamente de la misma manera que el producto tensorial de espacios vectoriales sobre un cuerpo: donde ahora es el R -módulo libre generado por el producto cartesiano y G es el R -módulo generado por estas relaciones . $${\displaystyle A\otimes _{R}B:=F(A\times B)/G,}$$ ${\displaystyle F(A\times B)}$

En términos más generales, el producto tensorial puede definirse incluso si el anillo es no conmutativo . En este caso , A tiene que ser un módulo R derecho y B es un módulo R izquierdo , y en lugar de las dos últimas relaciones anteriores, se impone la relación: . Si R es no conmutativo, ya no es un módulo R , sino simplemente un grupo abeliano . $${\displaystyle (ar,b)\sim (a,rb)}$$

La propiedad universal también se aplica, ligeramente modificada: la función definida por es una función lineal media (denominada "función lineal media canónica" ^[8] ); es decir, satisface: ^[9] ${\displaystyle \varphi :A\times B\to A\otimes _{R}B}$ ${\displaystyle (a,b)\mapsto a\otimes b}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (a+a',b)&=\varphi (a,b)+\varphi (a',b)\\\varphi (a,b+b')&=\varphi (a,b)+\varphi (a,b')\\\varphi (ar,b)&=\varphi (a,rb)\end{aligned}}}$$

Las dos primeras propiedades hacen de φ una función bilineal del grupo abeliano ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\times B}$ . Para cualquier función lineal media de ⁠ ⁠ , un homomorfismo de grupo único f de satisface ⁠ ⁠ , y esta propiedad determina el isomorfismo dentro del grupo. Consulte el artículo principal para obtener más detalles. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$ ${\displaystyle \psi =f\circ \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

Producto tensorial de módulos sobre un anillo no conmutativo

Sea A un módulo R derecho y B un módulo R izquierdo . Entonces el producto tensorial de A y B es un grupo abeliano definido por: donde es un grupo abeliano libre sobre y G es el subgrupo de generado por las relaciones: $${\displaystyle A\otimes _{R}B:=F(A\times B)/G}$$ ${\displaystyle F(A\times B)}$ ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle F(A\times B)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\forall a,a_{1},a_{2}\in A,\forall b,b_{1},b_{2}\in B,{\text{ for all }}r\in R:\\&(a_{1},b)+(a_{2},b)-(a_{1}+a_{2},b),\\&(a,b_{1})+(a,b_{2})-(a,b_{1}+b_{2}),\\&(ar,b)-(a,rb).\\\end{aligned}}}$$

La propiedad universal puede enunciarse de la siguiente manera: sea G un grupo abeliano con una función bilineal, en el sentido de que: ${\displaystyle q:A\times B\to G}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}q(a_{1}+a_{2},b)&=q(a_{1},b)+q(a_{2},b),\\q(a,b_{1}+b_{2})&=q(a,b_{1})+q(a,b_{2}),\\q(ar,b)&=q(a,rb).\end{aligned}}}$$

Entonces existe un mapa único tal que para todos y ⁠ ⁠ . ${\displaystyle {\overline {q}}:A\otimes B\to G}$ ${\displaystyle {\overline {q}}(a\otimes b)=q(a,b)}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in B}$

Además, podemos dar una estructura de módulo bajo algunas condiciones adicionales: ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$

1. Si A es un ( S , R )-bimódulo, entonces es un S -módulo izquierdo, donde ⁠ ⁠ . ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$ ${\displaystyle s(a\otimes b):=(sa)\otimes b}$
2. Si B es un ( R , S )-bimódulo, entonces es un S -módulo recto, donde ⁠ ⁠ . ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$ ${\displaystyle (a\otimes b)s:=a\otimes (bs)}$
3. Si A es un ( S , R )-bimódulo y B es un ( R , T )-bimódulo, entonces es un ( S , T )-bimódulo, donde las acciones izquierda y derecha se definen de la misma manera que los dos ejemplos anteriores. ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$
4. Si R es un anillo conmutativo, entonces A y B son ( R , R )-bimódulos donde y ⁠ ⁠ . Por 3), podemos concluir que es un ( R , R )-bimódulo. ${\displaystyle ra:=ar}$ ${\displaystyle br:=rb}$ ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$

Cálculo del producto tensorial

Para espacios vectoriales, el producto tensorial se calcula rápidamente ya que las bases de V de W determinan inmediatamente una base de ⁠ ⁠ , como se mencionó anteriormente. Para módulos sobre un anillo general (conmutativo), no todos los módulos son libres. Por ejemplo, Z / n Z no es un grupo abeliano libre ( módulo Z ). El producto tensorial con Z / n Z viene dado por: ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ $${\displaystyle M\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} =M/nM.}$$

De manera más general, dada una presentación de algún R -módulo M , es decir, un número de generadores junto con relaciones: el producto tensorial se puede calcular como el siguiente co-núcleo : ${\displaystyle m_{i}\in M,i\in I}$ $${\displaystyle \sum _{j\in J}a_{ji}m_{i}=0,\qquad a_{ij}\in R,}$$ $${\displaystyle M\otimes _{R}N=\operatorname {coker} \left(N^{J}\to N^{I}\right)}$$

Aquí ⁠ ⁠ ${\displaystyle N^{J}=\oplus _{j\in J}N}$ , y el mapa se determina enviando algunos en la j ésima copia de a (en ⁠ ⁠ ). Coloquialmente, esto se puede reformular diciendo que una presentación de M da lugar a una presentación de ⁠ ⁠ . Esto se hace referencia diciendo que el producto tensorial es un funtor exacto a la derecha . En general, no es exacto a la izquierda, es decir, dado un mapa inyectivo de R -módulos ⁠ ⁠ , el producto tensorial: no suele ser inyectivo. Por ejemplo, tensando el mapa (inyectivo) dado por la multiplicación con n , n  : Z → Z con Z / n Z se obtiene el mapa cero 0 : Z / n Z → Z / n Z , que no es inyectivo. Los funtores Tor superiores miden el defecto del producto tensorial de no ser exacto a la izquierda. Todos los functores Tor superiores se ensamblan en el producto tensorial derivado . ${\displaystyle N^{J}\to N^{I}}$ ${\displaystyle n\in N}$ ${\displaystyle N^{J}}$ ${\displaystyle a_{ij}n}$ ${\displaystyle N^{I}}$ ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$ ${\displaystyle M_{1}\to M_{2}}$ $${\displaystyle M_{1}\otimes _{R}N\to M_{2}\otimes _{R}N}$$

Producto tensorial de álgebras

Sea R un anillo conmutativo. El producto tensorial de R -módulos se aplica, en particular, si A y B son R -álgebras . En este caso, el producto tensorial es una R -álgebra en sí misma al poner: Por ejemplo: ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$ $${\displaystyle (a_{1}\otimes b_{1})\cdot (a_{2}\otimes b_{2})=(a_{1}\cdot a_{2})\otimes (b_{1}\cdot b_{2}).}$$ $${\displaystyle R[x]\otimes _{R}R[y]\cong R[x,y].}$$

Un ejemplo particular es cuando A y B son cuerpos que contienen un subcuerpo común R . El producto tensorial de cuerpos está estrechamente relacionado con la teoría de Galois : si, digamos, A = R [ x ] / f ( x ) , donde f es algún polinomio irreducible con coeficientes en R , el producto tensorial puede calcularse como: donde ahora f se interpreta como el mismo polinomio, pero con sus coeficientes considerados como elementos de B . En el cuerpo más grande B , el polinomio puede volverse reducible, lo que introduce la teoría de Galois. Por ejemplo, si A = B es una extensión de Galois de R , entonces: es isomorfo (como un A -álgebra) al ⁠ ⁠ . $${\displaystyle A\otimes _{R}B\cong B[x]/f(x)}$$ $${\displaystyle A\otimes _{R}A\cong A[x]/f(x)}$$ ${\displaystyle A^{\operatorname {deg} (f)}}$

Configuraciones propias de tensores.

Las matrices cuadradas con entradas en un campo representan aplicaciones lineales de espacios vectoriales , digamos ⁠ ⁠ , y por lo tanto aplicaciones lineales de espacios proyectivos sobre ⁠ ⁠ . Si es no singular entonces está bien definido en todas partes, y los vectores propios de corresponden a los puntos fijos de ⁠ ⁠ . La configuración propia de consiste en puntos en ⁠ ⁠ , siempre que sea genérico y esté algebraicamente cerrado . Los puntos fijos de las aplicaciones no lineales son los vectores propios de los tensores. Sea un tensor -dimensional de formato con entradas que se encuentran en un campo algebraicamente cerrado de característica cero. Tal tensor define aplicaciones polinómicas y con coordenadas: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K^{n}\to K^{n}}$ ${\displaystyle \psi :\mathbb {P} ^{n-1}\to \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A=(a_{i_{1}i_{2}\cdots i_{d}})}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n\times n\times \cdots \times n}$ ${\displaystyle (a_{i_{1}i_{2}\cdots i_{d}})}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A\in (K^{n})^{\otimes d}}$ ${\displaystyle K^{n}\to K^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}\to \mathbb {P} ^{n-1}}$ $${\displaystyle \psi _{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{j_{2}=1}^{n}\sum _{j_{3}=1}^{n}\cdots \sum _{j_{d}=1}^{n}a_{ij_{2}j_{3}\cdots j_{d}}x_{j_{2}}x_{j_{3}}\cdots x_{j_{d}}\;\;{\mbox{for }}i=1,\ldots ,n}$$

Por lo tanto, cada una de las coordenadas de es un polinomio homogéneo de grado en ⁠ ⁠ . Los vectores propios de son las soluciones de la restricción: y la configuración propia está dada por la variedad de los menores de esta matriz. ^[10] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi _{i}}$ ${\displaystyle d-1}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle {\mbox{rank}}{\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}\\\psi _{1}(\mathbf {x} )&\psi _{2}(\mathbf {x} )&\cdots &\psi _{n}(\mathbf {x} )\end{pmatrix}}\leq 1}$$ ${\displaystyle 2\times 2}$

Otros ejemplos de productos tensoriales

Productos tensoriales topológicos

Los espacios de Hilbert generalizan espacios vectoriales de dimensión finita a dimensiones arbitrarias. Existe una operación análoga , también llamada "producto tensorial", que convierte a los espacios de Hilbert en una categoría monoidal simétrica . Se construye esencialmente como la completitud del espacio métrico del producto tensorial algebraico analizado anteriormente. Sin embargo, no satisface el análogo obvio de la propiedad universal que define los productos tensoriales; ^[11] los morfismos para esa propiedad deben restringirse a los operadores de Hilbert–Schmidt . ^[12]

En situaciones en las que la imposición de un producto interno no es adecuada, todavía se puede intentar completar el producto tensorial algebraico, como un producto tensorial topológico . Sin embargo, dicha construcción ya no está especificada de manera única: en muchos casos, existen múltiples topologías naturales en el producto tensorial algebraico.

Producto tensorial de espacios vectoriales graduados

Algunos espacios vectoriales se pueden descomponer en sumas directas de subespacios. En tales casos, el producto tensorial de dos espacios se puede descomponer en sumas de productos de los subespacios (de manera análoga a la forma en que la multiplicación se distribuye con respecto a la suma).

Producto tensorial de representaciones

Los espacios vectoriales dotados de una estructura multiplicativa adicional se denominan álgebras . El producto tensorial de dichas álgebras se describe mediante la regla de Littlewood-Richardson .

Producto tensorial de formas cuadráticas

Producto tensorial de formas multilineales

Dadas dos formas multilineales y en un espacio vectorial sobre el campo su producto tensorial es la forma multilineal: ^[13] ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{k})}$ ${\displaystyle g(x_{1},\dots ,x_{m})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle (f\otimes g)(x_{1},\dots ,x_{k+m})=f(x_{1},\dots ,x_{k})g(x_{k+1},\dots ,x_{k+m}).}$$

Este es un caso especial del producto de tensores si se los considera como aplicaciones multilineales (ver también tensores como aplicaciones multilineales ). Por lo tanto, los componentes del producto tensorial de formas multilineales se pueden calcular mediante el producto de Kronecker .

Producto tensorial de haces de módulos

Producto tensorial de fibrados de líneas

Producto tensorial de campos

Producto tensorial de grafos

Cabe mencionar que, aunque se lo denomina "producto tensorial", no es un producto tensorial de grafos en el sentido anterior; en realidad es el producto teórico de categorías en la categoría de grafos y homomorfismos de grafos . Sin embargo, es en realidad el producto tensorial de Kronecker de las matrices de adyacencia de los grafos. Compárese también la sección Producto tensorial de aplicaciones lineales anterior.

Categorías monoidales

La configuración más general para el producto tensorial es la categoría monoidal . Capta la esencia algebraica de la tensorización, sin hacer ninguna referencia específica a lo que se está tensando. Por lo tanto, todos los productos tensoriales se pueden expresar como una aplicación de la categoría monoidal a alguna configuración particular, que actúa sobre algunos objetos particulares.

Álgebras de cocientes

Se pueden construir como cocientes varios subespacios importantes del álgebra tensorial : estos incluyen el álgebra exterior , el álgebra simétrica , el álgebra de Clifford , el álgebra de Weyl y el álgebra envolvente universal en general.

El álgebra exterior se construye a partir del producto exterior . Dado un espacio vectorial V , el producto exterior se define como: ${\displaystyle V\wedge V}$ $${\displaystyle V\wedge V:=V\otimes V{\big /}\{v\otimes v\mid v\in V\}.}$$

Cuando el campo subyacente de V no tiene característica 2, entonces esta definición es equivalente a: $${\displaystyle V\wedge V:=V\otimes V{\big /}{\bigl \{}v_{1}\otimes v_{2}+v_{2}\otimes v_{1}\mid (v_{1},v_{2})\in V^{2}{\bigr \}}.}$$

La imagen de en el producto exterior se denota habitualmente y satisface, por construcción, ⁠ ⁠ . Son posibles construcciones similares para ( n factores), dando lugar a ⁠ ⁠ , la n ésima potencia exterior de V . La última noción es la base de las n -formas diferenciales . ${\displaystyle v_{1}\otimes v_{2}}$ ${\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}}$ ${\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}=-v_{2}\wedge v_{1}}$ ${\displaystyle V\otimes \dots \otimes V}$ ${\displaystyle \Lambda ^{n}V}$

El álgebra simétrica se construye de manera similar, a partir del producto simétrico : $${\displaystyle V\odot V:=V\otimes V{\big /}{\bigl \{}v_{1}\otimes v_{2}-v_{2}\otimes v_{1}\mid (v_{1},v_{2})\in V^{2}{\bigr \}}.}$$

De manera más general: $${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{n}V:=\underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{n}{\big /}(\dots \otimes v_{i}\otimes v_{i+1}\otimes \dots -\dots \otimes v_{i+1}\otimes v_{i}\otimes \dots )}$$

Es decir, en el álgebra simétrica se pueden intercambiar dos vectores adyacentes (y por tanto todos ellos). Los objetos resultantes se denominan tensores simétricos .

Producto tensorial en programación

Lenguajes de programación de matrices

Los lenguajes de programación de matrices pueden tener este patrón incorporado. Por ejemplo, en APL el producto tensorial se expresa como ○.×(por ejemplo A ○.× Bo A ○.× B ○.× C). En J el producto tensorial es la forma diádica de */(por ejemplo a */ bo a */ b */ c).

El tratamiento de J también permite la representación de algunos campos tensoriales, ya que ay bpueden ser funciones en lugar de constantes. Este producto de dos funciones es una función derivada, y si ay bson diferenciables , entonces a */ bes diferenciable.

Sin embargo, estos tipos de notación no están presentes de manera universal en los lenguajes de matrices. Otros lenguajes de matrices pueden requerir un tratamiento explícito de los índices (por ejemplo, MATLAB ) y/o pueden no admitir funciones de orden superior como la derivada jacobiana (por ejemplo, Fortran /APL).

Véase también

• Diádica  : Tensor de segundo orden en álgebra vectorial
• Extensión de escalares
• Categoría monoidal  – Categoría que admite productos tensoriales
• Álgebra tensorial  : construcción universal en álgebra multilineal
• Contracción tensorial  – Operación en matemáticas y física
• Producto tensorial topológico  – Construcciones de productos tensoriales para espacios vectoriales topológicos

Notas

1. Trèves 2006, págs. 403–404.
2. Trèves 2006, págs. 407.
3. Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, Vladimir V. (2004). Álgebras, anillos y módulos . Saltador. pag. 100.ISBN​ 978-1-4020-2690-4.
4. Bourbaki (1989), p. 244 define el uso "producto tensorial de x e y ", elementos de los respectivos módulos.
5. También se aplican fórmulas análogas para tensores contravariantes y tensores de varianza mixta. Aunque en muchos casos, como cuando se define un producto interno , la distinción es irrelevante.
6. "La coevaluación en espacios vectoriales". The Unapologetic Mathematician . 13 de noviembre de 2008. Archivado desde el original el 2 de febrero de 2017. Consultado el 26 de enero de 2017 .
7. Ver categoría cerrada compacta .
8. Hungerford, Thomas W. (1974). Álgebra . Springer. ISBN 0-387-90518-9.
9. Chen, Jungkai Alfred (primavera de 2004), "Producto tensorial" (PDF) , Álgebra avanzada II (notas de clase), Universidad Nacional de Taiwán, archivado (PDF) desde el original el 4 de marzo de 2016{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
10. Arriba, H.; Seigal, A.; Sturmfels, B. (2015). "Configuraciones propias de tensores". arXiv : 1505.05729 [matemáticas.AG].
11. Garrett, Paul (22 de julio de 2010). "Inexistencia de productos tensoriales de espacios de Hilbert" (PDF) .
12. Kadison, Richard V.; Ringrose, John R. (1997). Fundamentos de la teoría de álgebras de operadores . Estudios de posgrado en matemáticas . Vol. I. Providence, RI: American Mathematical Society . Thm. 2.6.4. ISBN. 978-0-8218-0819-1.Señor 1468229  .
13. Tu, LW (2010). Introducción a las variedades . Universitext. Springer. pág. 25. ISBN 978-1-4419-7399-3.

Referencias

• Bourbaki, Nicolas (1989). Elementos de matemáticas, Álgebra I. Springer-Verlag. ISBN 3-540-64243-9.
• Gowers, Timothy . «Cómo perder el miedo a los productos tensoriales». Archivado desde el original el 7 de mayo de 2021.
• Grillet, Pierre A. (2007). Álgebra abstracta . Springer Science+Business Media, LLC. ISBN 978-0387715674.
• Halmos, Paul (1974). Espacios vectoriales de dimensión finita . Saltador. ISBN 0-387-90093-4.
• Hungerford, Thomas W. (2003). Álgebra . Springer. ISBN 0387905189.
• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556, Zbl  0984.00001
• Mac Lane, S .; Birkhoff, G. (1999). Álgebra . AMS Chelsea. ISBN 0-8218-1646-2.
• Aguiar, M.; Mahajan, S. (2010). Functores monoidales, especies y álgebras de Hopf . CRM Monograph Series Vol 29. ISBN 978-0-8218-4776-3.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .
• "Bibliografía sobre el producto tensorial no abeliano de grupos".