Forma multilineal

Mapa de múltiples vectores a un campo subyacente de escalares, lineal en cada argumento

En álgebra abstracta y álgebra multilineal , una forma multilineal en un espacio vectorial sobre un cuerpo es una función. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle f\colon V^{k}\to K}$

que es lineal por separado en cada uno de sus argumentos. ^[1] De manera más general, se pueden definir formas multilineales en un módulo sobre un anillo conmutativo . Sin embargo, el resto de este artículo solo considerará formas multilineales en espacios vectoriales de dimensión finita . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle k}$

Una forma multilineal sobre se llama tensor ( covariante ) , y el espacio vectorial de dichas formas se denota generalmente como o . ^[2] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{k}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{k}(V)}$

Producto tensorial

Dado un -tensor y un -tensor , un producto , conocido como producto tensorial , se puede definir por la propiedad ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {T}}^{k}(V)}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {T}}^{\ell }(V)}$ ${\displaystyle f\otimes g\in {\mathcal {T}}^{k+\ell }(V)}$

${\displaystyle (f\otimes g)(v_{1},\ldots ,v_{k},v_{k+1},\ldots ,v_{k+\ell })=f(v_{1},\ldots ,v_{k})g(v_{k+1},\ldots ,v_{k+\ell }),}$

para todos . El producto tensorial de formas multilineales no es conmutativo; sin embargo, es bilineal y asociativo: ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k+\ell }\in V}$

${\displaystyle f\otimes (ag_{1}+bg_{2})=a(f\otimes g_{1})+b(f\otimes g_{2})}$, ${\displaystyle (af_{1}+bf_{2})\otimes g=a(f_{1}\otimes g)+b(f_{2}\otimes g),}$

y

${\displaystyle (f\otimes g)\otimes h=f\otimes (g\otimes h).}$

Si forma una base para un espacio vectorial de dimensión n y es la base dual correspondiente para el espacio dual , entonces los productos , con forman una base para . En consecuencia, tiene dimensión . ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (\phi ^{1},\ldots ,\phi ^{n})}$ ${\displaystyle V^{*}={\mathcal {T}}^{1}(V)}$ ${\displaystyle \phi ^{i_{1}}\otimes \cdots \otimes \phi ^{i_{k}}}$ ${\displaystyle 1\leq i_{1},\ldots ,i_{k}\leq n}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{k}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{k}(V)}$ ${\displaystyle n^{k}}$

Ejemplos

Formas bilineales

Si , se denomina forma bilineal . Un ejemplo conocido e importante de una forma bilineal (simétrica) es el producto interno estándar (producto escalar) de vectores. ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle f:V\times V\to K}$

Formas multilineales alternas

Una clase importante de formas multilineales son las formas multilineales alternas , que tienen la propiedad adicional de que ^[3]

${\displaystyle f(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)})=\operatorname {sgn}(\sigma )f(x_{1},\ldots ,x_{k}),}$

donde es una permutación y denota su signo (+1 si es par, –1 si es impar). Como consecuencia, las formas multilineales alternas son antisimétricas con respecto al intercambio de dos argumentos cualesquiera (es decir, y ): ${\displaystyle \sigma :\mathbf {N} _{k}\to \mathbf {N} _{k}}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )}$ ${\displaystyle \sigma (p)=q,\sigma (q)=p}$ ${\displaystyle \sigma (i)=i,1\leq i\leq k,i\neq p,q}$

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{p},\ldots ,x_{q},\ldots ,x_{k})=-f(x_{1},\ldots ,x_{q},\ldots ,x_{p},\ldots ,x_{k}).}$

Con la hipótesis adicional de que la característica del cuerpo no es 2, el establecimiento implica como corolario que ; es decir, la forma tiene un valor de 0 siempre que dos de sus argumentos sean iguales. Nótese, sin embargo, que algunos autores ^[4] utilizan esta última condición como la propiedad definitoria de las formas alternadas. Esta definición implica la propiedad dada al comienzo de la sección, pero como se señaló anteriormente, la implicación inversa se cumple solo cuando . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x_{p}=x_{q}=x}$ ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x,\ldots ,x,\ldots ,x_{k})=0}$ ${\displaystyle \operatorname {char} (K)\neq 2}$

Una forma -lineal alternada sobre sobre se llama multicovector de grado o -covector , y el espacio vectorial de tales formas alternadas, un subespacio de , generalmente se denota , o, usando la notación para la k- ésima potencia exterior isomorfa de (el espacio dual de ), . ^[5] Nótese que los funcionales lineales (formas 1-lineales multilineales sobre ) son trivialmente alternantes, de modo que , mientras que, por convención, las formas 0 se definen como escalares: . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{k}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{k}(V)}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\textstyle \bigwedge ^{k}V^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{1}(V)={\mathcal {T}}^{1}(V)=V^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{0}(V)={\mathcal {T}}^{0}(V)=\mathbb {R} }$

El determinante de las matrices, visto como una función argumento de los vectores columna, es un ejemplo importante de una forma multilineal alternada. ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle n}$

Producto exterior

El producto tensorial de formas multilineales alternadas ya no es, en general, alternante. Sin embargo, sumando todas las permutaciones del producto tensorial, teniendo en cuenta la paridad de cada término, se puede definir el producto exterior ( , también conocido como producto de cuña ) de multicovectores, de modo que si y , entonces : ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {A}}^{k}(V)}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {A}}^{\ell }(V)}$ ${\displaystyle f\wedge g\in {\mathcal {A}}^{k+\ell }(V)}$

${\displaystyle (f\wedge g)(v_{1},\ldots ,v_{k+\ell })={\frac {1}{k!\ell !}}\sum _{\sigma \in S_{k+\ell }}(\operatorname {sgn}(\sigma ))f(v_{\sigma (1)},\ldots ,v_{\sigma (k)})g(v_{\sigma (k+1)},\ldots ,v_{\sigma (k+\ell )}),}$

donde la suma se toma sobre el conjunto de todas las permutaciones sobre los elementos, . El producto exterior es bilineal, asociativo y de alternancia gradual: si y entonces . ${\displaystyle k+\ell }$ ${\displaystyle S_{k+\ell }}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {A}}^{k}(V)}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {A}}^{\ell }(V)}$ ${\displaystyle f\wedge g=(-1)^{k\ell }g\wedge f}$

Dada una base para y una base dual para , los productos exteriores , con forman una base para . Por lo tanto, la dimensión de para n -dimensional es . ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (\phi ^{1},\ldots ,\phi ^{n})}$ ${\displaystyle V^{*}={\mathcal {A}}^{1}(V)}$ ${\displaystyle \phi ^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge \phi ^{i_{k}}}$ ${\displaystyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{k}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{k}(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\textstyle {\tbinom {n}{k}}={\frac {n!}{(n-k)!\,k!}}}$

Formas diferenciales

Las formas diferenciales son objetos matemáticos construidos a través de espacios tangentes y formas multilineales que se comportan, en muchos sentidos, como diferenciales en el sentido clásico. Aunque conceptualmente y computacionalmente útiles, las diferenciales se basan en nociones mal definidas de cantidades infinitesimales desarrolladas temprano en la historia del cálculo . Las formas diferenciales proporcionan un marco matemáticamente riguroso y preciso para modernizar esta idea de larga data. Las formas diferenciales son especialmente útiles en el cálculo multivariable (análisis) y la geometría diferencial porque poseen propiedades de transformación que les permiten integrarse en curvas, superficies y sus análogos de dimensiones superiores ( variedades diferenciables ). Una aplicación de gran alcance es el enunciado moderno del teorema de Stokes , una generalización radical del teorema fundamental del cálculo a dimensiones superiores.

La sinopsis a continuación se basa principalmente en Spivak (1965) ^[6] y Tu (2011). ^[3]

Definición de formas k diferenciales y construcción de formas 1

Para definir formas diferenciales en subconjuntos abiertos , primero necesitamos la noción del espacio tangente de en , usualmente denotado como . El espacio vectorial puede definirse más convenientemente como el conjunto de elementos ( , con fijo) con adición vectorial y multiplicación escalar definidas por y , respectivamente. Además, si es la base estándar para , entonces es la base estándar análoga para . En otras palabras, cada espacio tangente puede simplemente considerarse como una copia de (un conjunto de vectores tangentes) basado en el punto . La colección (unión disjunta) de espacios tangentes de en absoluto se conoce como el fibrado tangente de y usualmente se denota . Si bien la definición dada aquí proporciona una descripción simple del espacio tangente de , existen otras construcciones más sofisticadas que son más adecuadas para definir los espacios tangentes de variedades suaves en general ( ver el artículo sobre espacios tangentes para más detalles ). ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle T_{p}\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{p}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{p}^{n}}$ ${\displaystyle v_{p}}$ ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle v_{p}+w_{p}:=(v+w)_{p}}$ ${\displaystyle a\cdot (v_{p}):=(a\cdot v)_{p}}$ ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle ((e_{1})_{p},\ldots ,(e_{n})_{p})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{p}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{p}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle T\mathbb {R} ^{n}:=\bigcup _{p\in \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} _{p}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Una forma diferencial ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$ de en se define como una función que asigna a cada -covector en el espacio tangente de en , normalmente denotado como . En resumen, una forma diferencial es un campo -covectorial. El espacio de formas -de en normalmente se denota como ; por lo tanto, si es una forma diferencial, escribimos . Por convención, una función continua en es una forma 0 diferencial: . ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle p\in U}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \omega _{p}:=\omega (p)\in {\mathcal {A}}^{k}(\mathbb {R} _{p}^{n})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Omega ^{k}(U)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f\in C^{0}(U)=\Omega ^{0}(U)}$

Primero construimos 1-formas diferenciales a partir de 0-formas y deducimos algunas de sus propiedades básicas. Para simplificar la discusión a continuación, solo consideraremos formas diferenciales suaves construidas a partir de funciones suaves ( ). Sea una función suave. Definimos la 1-forma en para y por , donde es la derivada total de en . (Recuerde que la derivada total es una transformación lineal). De particular interés son los mapas de proyección (también conocidos como funciones de coordenadas) , definidos por , donde es la i ésima coordenada estándar de . Las 1-formas se conocen como las 1-formas básicas ; se denotan convencionalmente como . Si las coordenadas estándar de son , entonces la aplicación de la definición de produce , de modo que , donde es el delta de Kronecker . ^[7] Por lo tanto, como el dual de la base estándar para , forma una base para . Como consecuencia, si es una 1-forma en , entonces puede escribirse como para funciones suaves . Además, podemos derivar una expresión que coincida con la expresión clásica para un diferencial total: ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p\in U}$ ${\displaystyle v_{p}\in \mathbb {R} _{p}^{n}}$ ${\displaystyle (df)_{p}(v_{p}):=Df|_{p}(v)}$ ${\displaystyle Df|_{p}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \pi ^{i}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto x^{i}}$ ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle d\pi ^{i}}$ ${\displaystyle dx^{i}}$ ${\displaystyle v_{p}\in \mathbb {R} _{p}^{n}}$ ${\displaystyle (v^{1},\ldots ,v^{n})}$ ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle dx_{p}^{i}(v_{p})=v^{i}}$ ${\displaystyle dx_{p}^{i}((e_{j})_{p})=\delta _{j}^{i}}$ ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{p}^{n}}$ ${\displaystyle (dx_{p}^{1},\ldots ,dx_{p}^{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{1}(\mathbb {R} _{p}^{n})=(\mathbb {R} _{p}^{n})^{*}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\textstyle \sum a_{i}\,dx^{i}}$ ${\displaystyle a_{i}:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle df}$

${\displaystyle df=\sum _{i=1}^{n}D_{i}f\;dx^{i}={\partial f \over \partial x^{1}}\,dx^{1}+\cdots +{\partial f \over \partial x^{n}}\,dx^{n}.}$

[ Comentarios sobre la notación: En este artículo, seguimos la convención del cálculo tensorial y la geometría diferencial en la que los multivectores y multicovectores se escriben con índices inferiores y superiores, respectivamente. Dado que las formas diferenciales son campos multicovectoriales, se emplean índices superiores para indexarlas. ^[3] La regla opuesta se aplica a los componentes de multivectores y multicovectores, que en cambio se escriben con índices superiores e inferiores, respectivamente. Por ejemplo, representamos las coordenadas estándar de vector como , de modo que en términos de la base estándar . Además, los superíndices que aparecen en el denominador de una expresión (como en ) se tratan como índices inferiores en esta convención. Cuando los índices se aplican e interpretan de esta manera, se conserva el número de índices superiores menos el número de índices inferiores en cada término de una expresión, tanto dentro de la suma como a lo largo de un signo igual, una característica que sirve como un dispositivo mnemotécnico útil y ayuda a identificar errores cometidos durante el cálculo manual.] ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (v^{1},\ldots ,v^{n})}$ ${\textstyle v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}e_{i}}$ ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$ ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}}$

Operaciones básicas en formas k diferenciales

El producto exterior ( ) y la derivada exterior ( ) son dos operaciones fundamentales sobre las formas diferenciales. El producto exterior de una -forma y una -forma es una -forma, mientras que la derivada exterior de una -forma es una -forma. Por lo tanto, ambas operaciones generan formas diferenciales de grado superior a partir de las de grado inferior. ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle (k+\ell )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (k+1)}$

El producto exterior de las formas diferenciales es un caso especial del producto exterior de los multicovectores en general ( véase más arriba ). Como es cierto en general para el producto exterior, el producto exterior de las formas diferenciales es bilineal, asociativo y es gradual-alternativo . ${\displaystyle \wedge :\Omega ^{k}(U)\times \Omega ^{\ell }(U)\to \Omega ^{k+\ell }(U)}$

Más concretamente, si y , entonces ${\displaystyle \omega =a_{i_{1}\ldots i_{k}}\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}$ ${\displaystyle \eta =a_{j_{1}\ldots i_{\ell }}dx^{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{j_{\ell }}}$

${\displaystyle \omega \wedge \eta =a_{i_{1}\ldots i_{k}}a_{j_{1}\ldots j_{\ell }}\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\wedge dx^{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{j_{\ell }}.}$

Además, para cualquier conjunto de índices , ${\displaystyle \{\alpha _{1}\ldots ,\alpha _{m}\}}$

${\displaystyle dx^{\alpha _{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{p}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{q}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{m}}=-dx^{\alpha _{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{q}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{p}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{m}}.}$

Si , , y , entonces los índices de pueden ordenarse en orden ascendente mediante una secuencia (finita) de dichos intercambios. Como , implica que . Finalmente, como consecuencia de la bilinealidad, si y son las sumas de varios términos, su producto exterior obedece a la distributividad con respecto a cada uno de estos términos. ${\displaystyle I=\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}}$ ${\displaystyle J=\{j_{1},\ldots ,j_{\ell }\}}$ ${\displaystyle I\cap J=\varnothing }$ ${\displaystyle \omega \wedge \eta }$ ${\displaystyle dx^{\alpha }\wedge dx^{\alpha }=0}$ ${\displaystyle I\cap J\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \omega \wedge \eta =0}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \eta }$

La colección de los productos exteriores de las 1-formas básicas constituye una base para el espacio de las k -formas diferenciales. Por lo tanto, cualquier puede escribirse en la forma ${\displaystyle \{dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\mid 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n\}}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(U)}$

${\displaystyle \omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}a_{i_{1}\ldots i_{k}}\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}},\qquad (*)}$

donde son funciones suaves. Con cada conjunto de índices colocados en orden ascendente, se dice que (*) es la presentación estándar de . ${\displaystyle a_{i_{1}\ldots i_{k}}:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{i_{1},\ldots ,i_{k}\}}$ ${\displaystyle \omega }$

En la sección anterior, la forma 1 se definió tomando la derivada exterior de la forma 0 (función continua) . Ahora ampliamos esto definiendo el operador de derivada exterior para . Si la presentación estándar de la forma se da por (*), la forma se define por ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle d:\Omega ^{k}(U)\to \Omega ^{k+1}(U)}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle (k+1)}$ ${\displaystyle d\omega }$

${\displaystyle d\omega :=\sum _{i_{1}<\ldots <i_{k}}da_{i_{1}\ldots i_{k}}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}.}$

Una propiedad de que se cumple para todas las formas suaves es que la segunda derivada exterior de cualquier función se anula de manera idéntica: . Esto se puede establecer directamente a partir de la definición de y la igualdad de las derivadas parciales mixtas de segundo orden de funciones ( consulte el artículo sobre formas cerradas y exactas para obtener más detalles ). ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle d^{2}\omega =d(d\omega )\equiv 0}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle C^{2}}$

Integración de formas diferenciales y teorema de Stokes para cadenas

Para integrar una forma diferencial en un dominio parametrizado, primero debemos introducir la noción de pullback de una forma diferencial. En términos generales, cuando se integra una forma diferencial, la aplicación del pullback la transforma de manera que tenga en cuenta correctamente un cambio de coordenadas.

Dada una función diferenciable y -forma , llamamos al pullback de por y lo definimos como la -forma tal que ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \eta \in \Omega ^{k}(\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle f^{*}\eta \in \Omega ^{k}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle (f^{*}\eta )_{p}(v_{1p},\ldots ,v_{kp}):=\eta _{f(p)}(f_{*}(v_{1p}),\ldots ,f_{*}(v_{kp})),}$

para , donde esta el mapa . ${\displaystyle v_{1p},\ldots ,v_{kp}\in \mathbb {R} _{p}^{n}}$ ${\displaystyle f_{*}:\mathbb {R} _{p}^{n}\to \mathbb {R} _{f(p)}^{m}}$ ${\displaystyle v_{p}\mapsto (Df|_{p}(v))_{f(p)}}$

Si es una forma de (es decir, ), definimos su integral sobre la celda unitaria como la integral de Riemann iterada de : ${\displaystyle \omega =f\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{n}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int _{[0,1]^{n}}\omega =\int _{[0,1]^{n}}f\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}:=\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}f\,dx^{1}\cdots dx^{n}.}$

A continuación, consideramos un dominio de integración parametrizado por una función diferenciable , conocida como n -cubo . Para definir la integral de sobre , "retrocedemos" desde hasta la celda unitaria n : ${\displaystyle c:[0,1]^{n}\to A\subset \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{n}(A)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \int _{c}\omega :=\int _{[0,1]^{n}}c^{*}\omega .}$

Para integrar sobre dominios más generales, definimos una -cadena como la suma formal de -cubos y establecemos ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$ ${\textstyle C=\sum _{i}n_{i}c_{i}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \int _{C}\omega :=\sum _{i}n_{i}\int _{c_{i}}\omega .}$

Una definición apropiada de la cadena - , conocida como el límite de , ^[8] nos permite enunciar el célebre teorema de Stokes (teorema de Stokes-Cartan) para cadenas en un subconjunto de : ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle \partial C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$

Si es una forma ${\displaystyle \omega }$ suave en un conjunto abierto y es una cadena suave en , entonces . ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \int _{C}d\omega =\int _{\partial C}\omega }$

Utilizando maquinaria más sofisticada (por ejemplo, gérmenes y derivaciones ), se puede definir el espacio tangente de cualquier variedad suave (no necesariamente embebida en ). Análogamente, una forma diferencial en una variedad suave general es una función . El teorema de Stokes se puede generalizar aún más a variedades suaves arbitrarias con borde e incluso a ciertos dominios "rugosos" ( consulte el artículo sobre el teorema de Stokes para obtener más detalles ). ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(M)}$ ${\displaystyle \omega :p\in M\mapsto \omega _{p}\in {\mathcal {A}}^{k}(T_{p}M)}$

Véase también

• Mapa bilineal
• Álgebra exterior
• Polinomio homogéneo
• Forma lineal
• Mapa multilineal

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Forma multilineal". MathWorld .
2. Muchos autores utilizan la convención opuesta, escribiendo para denotar los k -tensores contravariantes en y para denotar los k -tensores covariantes en . ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{k}(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{k}(V)}$ ${\displaystyle V}$
3. Tu, Loring W. (2011). Introducción a las variedades (2.ª ed.). Springer. págs. 22-23. ISBN 978-1-4419-7399-3.
4. Halmos, Paul R. (1958). Espacios vectoriales de dimensión finita (2.ª ed.). Van Nostrand. pág. 50. ISBN 0-387-90093-4.
5. Spivak utiliza para el espacio de -covectores en . Sin embargo, esta notación se reserva más comúnmente para el espacio de -formas diferenciales en . En este artículo, utilizamos para referirnos a esto último. ${\displaystyle \Omega ^{k}(V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Omega ^{k}(V)}$
6. Spivak, Michael (1965). Cálculo de variedades. WA Benjamin, Inc., págs. 75-146. ISBN 0805390219.
7. El delta de Kronecker se suele denotar y definir como . Aquí, la notación se utiliza para cumplir con la convención de cálculo tensorial sobre el uso de índices superiores e inferiores. ${\displaystyle \delta _{ij}=\delta (i,j)}$ ${\textstyle \delta :X\times X\to \{0,1\},\ (i,j)\mapsto {\begin{cases}1,&i=j\\0,&i\neq j\end{cases}}}$ ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$
8. La definición formal del límite de una cadena es algo complicada y se omite aquí ( véase Spivak 1965, pp. 98-99 para una discusión ). Intuitivamente, si se asigna a un cuadrado, entonces es una combinación lineal de funciones que se asigna a sus bordes en sentido antihorario. El límite de una cadena es distinto de la noción de límite en la topología de conjuntos de puntos. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \partial C}$