Teorema fundamental de la teoría de Galois

Correspondencia entre subcampos y subgrupos

En matemáticas , el teorema fundamental de la teoría de Galois es un resultado que describe la estructura de ciertos tipos de extensiones de campo en relación con grupos . Fue demostrado por Évariste Galois en su desarrollo de la teoría de Galois .

En su forma más básica, el teorema afirma que dada una extensión de campo E / F que es finita y de Galois , existe una correspondencia uno a uno entre sus campos intermedios y los subgrupos de su grupo de Galois . ( Los campos intermedios son campos K que satisfacen F ⊆ K ⊆ E ; también se denominan subextensiones de E / F ).

Descripción explícita de la correspondencia.

Para extensiones finitas, la correspondencia se puede describir explícitamente de la siguiente manera.

• Para cualquier subgrupo H de Gal( E / F ), el campo fijo ^{correspondiente} , denotado EH , es el conjunto de aquellos elementos de E que están fijados por cada automorfismo en H.
• Para cualquier campo intermedio K de E / F , el subgrupo correspondiente es Aut( E / K ), es decir, el conjunto de aquellos automorfismos en Gal( E / F ) que fijan cada elemento de K .

El teorema fundamental dice que esta correspondencia es una correspondencia uno a uno si (y sólo si) E / F es una extensión de Galois . Por ejemplo, el campo superior E corresponde al subgrupo trivial de Gal ( E / F ), y el campo base F corresponde al grupo completo Gal ( E / F ).

La notación Gal( E / F ) sólo se utiliza para extensiones de Galois . Si E / F es Galois, entonces Gal( E / F ) = Aut( E / F ). Si E / F no es Galois, entonces la "correspondencia" proporciona sólo un mapa inyectivo (pero no sobreyectivo ) de a , y un mapa sobreyectivo (pero no inyectivo) en la dirección inversa. En particular, si E / F no es Galois, entonces F no es el campo fijo de ningún subgrupo de Aut( E / F ). ${\displaystyle \{{\text{subgroups of Aut}}(E/F)\}}$ ${\displaystyle \{{\text{subfields of }}E/F\}}$

Propiedades de la correspondencia

La correspondencia tiene las siguientes propiedades útiles.

• Es una reversión de la inclusión . La inclusión de subgrupos H ₁ ⊆ H ₂ se cumple si y sólo si se cumple la inclusión de los campos E ^{H ₁} ⊇ E ^{H ₂} .
• Los grados de extensiones están relacionados con órdenes de grupos, de manera consistente con la propiedad de inversión de inclusión. Específicamente, si H es un subgrupo de Gal ( E / F ), entonces | H | = [ E : E ^H ] y |Gal( E / F )|/| H | = [ E ^H : F ].
• El campo E ^H es una extensión normal de F (o, equivalentemente, una extensión de Galois, ya que cualquier subextensión de una extensión separable es separable) si y sólo si H es un subgrupo normal de Gal ( E / F ). En este caso, la restricción de los elementos de Gal( E / F ) a E ^H induce un isomorfismo entre Gal( E ^H / F ) y el grupo cociente Gal( E / F )/ H .

Ejemplo 1

Celosía de subgrupos y subcampos.

Considere el campo

${\displaystyle K=\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}},{\sqrt {3}}\right)=\left[\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\right]\!({\sqrt {3}}).}$

Dado que K se construye a partir del campo base uniendo √ 2 , entonces √ 3 , cada elemento de K se puede escribir como: ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle (a+b{\sqrt {2}})+(c+d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}},\qquad a,b,c,d\in \mathbb {Q} .}$

Su grupo Galois comprende los automorfismos de K que fijan a . Tales automorfismos deben enviar √ 2 a √ 2 o – √ 2 , y enviar √ 3 a √ 3 o – √ 3 , ya que permutan las raíces de cualquier polinomio irreducible. Supongamos que f intercambia √ 2 y – √ 2 , entonces ${\displaystyle G={\text{Gal}}(K/\mathbb {Q} )}$

${\displaystyle f\left((a+b{\sqrt {2}})+(c+d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}\right)=(a-b{\sqrt {2}})+(c-d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}=a-b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}-d{\sqrt {6}},}$

y g intercambia √ 3 y – √ 3 , entonces

${\displaystyle g\left((a+b{\sqrt {2}})+(c+d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}\right)=(a+b{\sqrt {2}})-(c+d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}=a+b{\sqrt {2}}-c{\sqrt {3}}-d{\sqrt {6}}.}$

Estos son claramente automorfismos de K , respetando su suma y multiplicación. También existe el automorfismo de identidad e que fija cada elemento, y la composición de f y g que cambia los signos en ambos radicales:

${\displaystyle (fg)\left((a+b{\sqrt {2}})+(c+d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}\right)=(a-b{\sqrt {2}})-(c-d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}=a-b{\sqrt {2}}-c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}.}$

Dado que el orden del grupo de Galois es igual al grado de extensión del campo, no puede haber más automorfismos: ${\displaystyle |G|=[K:\mathbb {Q} ]=4}$

${\displaystyle G=\left\{1,f,g,fg\right\},}$

que es isomorfo al grupo de cuatro de Klein . Sus cinco subgrupos corresponden a los campos intermedios entre la base y la extensión K. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

• El subgrupo trivial {1} ​​corresponde a todo el campo de extensión K.
• Todo el grupo G corresponde al campo base. ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$
• El subgrupo {1, f } corresponde al subcampo ya que f fija √ 3 . ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {3}}),}$
• El subgrupo {1, g } corresponde al subcampo ya que g fija √ 2 . ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}}),}$
• El subgrupo {1, fg } corresponde al subcampo ya que fg fija √ 6 . ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {6}}),}$

Ejemplo 2

Celosía de subgrupos y subcampos.

El siguiente es el caso más simple en el que el grupo de Galois no es abeliano.

Considere el campo de división K del polinomio irreducible sobre ; es decir, donde θ es una raíz cúbica de 2 y ω es una raíz cúbica de 1 (pero no 1 en sí). Si consideramos K dentro de los números complejos, podemos tomar , la raíz cúbica real de 2, y como ω tiene un polinomio mínimo , la extensión tiene grado: ${\displaystyle x^{3}-2}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\theta ,\omega )}$ ${\displaystyle \theta ={\sqrt[{3}]{2}}}$ ${\displaystyle \omega =-{\tfrac {1}{2}}+i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}.}$ ${\displaystyle x^{2}+x+1}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \subset K}$

$${\displaystyle [\,K:\mathbb {Q} \,]=[\,K:\mathbb {Q} (\,\theta \,)\,]\cdot [\,\mathbb {Q} (\,\theta \,):\mathbb {Q} \,]=2\cdot 3=6,}$$

${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \{1,\theta ,\theta ^{2},\omega ,\omega \theta ,\omega \theta ^{2}\}}$ ${\displaystyle G=\mathrm {Gal} (K/\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle x^{3}-2}$

${\displaystyle \alpha _{1}=\theta ,\ \alpha _{2}=\omega \theta ,\ \alpha _{3}=\omega ^{2}\theta .}$

¡Ya que solo hay 3! = 6 permutaciones de este tipo, G debe ser isomorfo al grupo simétrico de todas las permutaciones de tres objetos. El grupo puede generarse mediante dos automorfismos f y g definidos por:

${\displaystyle f(\theta )=\omega \theta ,\quad f(\omega )=\omega ,}$

${\displaystyle g(\theta )=\theta ,\quad g(\omega )=\omega ^{2},}$

y , obedeciendo las relaciones . Su efecto como permutaciones de es (en notación cíclica ): . Además, g puede considerarse como el mapeo de conjugación complejo . ${\displaystyle G=\left\{1,f,f^{2},g,gf,gf^{2}\right\}}$ ${\displaystyle f^{3}=g^{2}=(gf)^{2}=1}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}$ ${\displaystyle f=(123),g=(23)}$

Los subgrupos de G y los subcampos correspondientes son los siguientes:

• Como siempre, el grupo trivial {1} ​​corresponde al campo completo K , mientras que el grupo completo G al campo base . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

• El único subgrupo de orden 3, , corresponde al subcampo de grado dos, ya que el subgrupo tiene índice dos en G : es decir . Además, este subgrupo es normal, por lo que el subcampo es normal sobre , siendo el campo de división de . Su grupo de Galois sobre el campo base es el grupo cociente , donde [ g ] denota la clase lateral de g módulo H ; es decir, su único automorfismo no trivial es la conjugación compleja g . ${\displaystyle H=\{1,f,f^{2}\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$ ${\displaystyle [\mathbb {Q} (\omega ):\mathbb {Q} ]={\tfrac {|G|}{|H|}}=2}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle x^{2}+x+1}$ ${\displaystyle G/H=\{[1],[g]\}}$

• Hay tres subgrupos de orden 2, y correspondientes respectivamente a los subcampos. Estos subcampos tienen grado 3 encima ya que los subgrupos tienen índice 3 en G . Los subgrupos no son normales en G , por lo que los subcampos no son Galois ni normales . De hecho, cada subcampo contiene solo una de las raíces , por lo que ninguna tiene automorfismos no triviales. ${\displaystyle \{1,g\},\{1,gf\}}$ ${\displaystyle \{1,gf^{2}\},}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\theta ),\mathbb {Q} (\omega \theta ),\mathbb {Q} (\omega ^{2}\theta ).}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}$

Ejemplo 3

Sea el campo de funciones racionales en el indeterminado λ, y consideremos el grupo de automorfismos: ${\displaystyle E=\mathbb {Q} (\lambda )}$

${\displaystyle G=\left\{\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}},1-\lambda \right\}\subset \mathrm {Aut} (E);}$

aquí denotamos un automorfismo por su valor , de modo que . Este grupo es isomorfo a (ver: seis razones cruzadas ). Sea el campo fijo de , de modo que . ${\displaystyle \phi :E\to E}$ ${\displaystyle \phi (\lambda )}$ ${\displaystyle f(\lambda )\mapsto f(\phi (\lambda ))}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\rm {Gal}}(E/F)=G}$

Si es un subgrupo de , entonces los coeficientes del polinomio ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle P(T):=\prod _{h\in H}(T-h)\in E[T]}$

generar el campo fijo de . La correspondencia de Galois implica que cada subcampo de puede construirse de esta manera. Por ejemplo, para , el campo fijo es y si entonces el campo fijo es . El campo fijo de es el campo base donde j es el j -invariante escrito en términos de la función lambda modular : ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle H=\{\lambda ,1-\lambda \}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\lambda (1-\lambda ))}$ ${\displaystyle H=\{\lambda ,{\tfrac {1}{\lambda }}\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\lambda +{\tfrac {1}{\lambda }})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F=\mathbb {Q} (j),}$

${\displaystyle j={\frac {256(1-\lambda (1-\lambda ))^{3}}{(\lambda (1-\lambda ))^{2}}}={\frac {256(1-\lambda +\lambda ^{2})^{3}}{\lambda ^{2}(1-\lambda )^{2}}}\ .}$

Se pueden construir ejemplos similares para cada uno de los grupos de simetría de los sólidos platónicos, ya que estos también tienen acciones fieles en la línea proyectiva y, por tanto, en adelante . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} (x)}$

Aplicaciones

El teorema clasifica los campos intermedios de E / F en términos de teoría de grupos . Esta traducción entre campos intermedios y subgrupos es clave para demostrar que la ecuación quíntica general no se puede resolver mediante radicales (ver teorema de Abel-Ruffini ). Primero se determinan los grupos de Galois de extensiones radicales (extensiones de la forma F (α) donde α es una raíz n -ésima de algún elemento de F ), y luego se usa el teorema fundamental para demostrar que las extensiones solubles corresponden a grupos solubles .

Teorías como la teoría de Kummer y la teoría del campo de clases se basan en el teorema fundamental.

caso infinito

Dada una extensión algebraica infinita todavía podemos definirla como Galois si es normal y separable. El problema que uno encuentra en el caso infinito es que la biyección en el teorema fundamental no se cumple ya que generalmente tenemos demasiados subgrupos. Más precisamente, si tomamos cada subgrupo, en general podemos encontrar dos subgrupos diferentes que fijan el mismo campo intermedio. Por lo tanto, modificamos esto introduciendo una topología en el grupo de Galois.

Sea una extensión de Galois (posiblemente infinita) y sea el grupo de Galois de la extensión. Dejar ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle G={\text{Gal}}(E/F)}$

$${\displaystyle {\text{Int}}_{\text{F}}(E/F)=\{G_{i}={\text{Gal}}(L_{i}/F)~|~L_{i}/F{\text{ is a finite Galois extension and }}L_{i}\subseteq E\}}$$

topología de Krulllímite inversogrupos topológicosgrupo profinito^[1] ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle \varphi _{i}:G\rightarrow G_{i}}$ ${\displaystyle \sigma \mapsto \sigma _{|L_{i}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle \varphi _{i}:G\rightarrow G_{i}}$ ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle G\cong \varprojlim G_{i}}$ ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E/F}$

Ahora que hemos definido una topología en el grupo de Galois, podemos reformular el teorema fundamental para infinitas extensiones de Galois.

Denotemos el conjunto de todas las extensiones de campo intermedio de y denotemos el conjunto de todos los subgrupos cerrados de dotados de la topología de Krull. Entonces existe una biyección entre y dada por el mapa ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E/F)}$ ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(G)}$ ${\displaystyle G={\text{Gal}}(E/F)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E/F)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(G)}$

${\displaystyle \Phi :{\mathcal {F}}(E/F)\rightarrow {\mathcal {C}}(G)}$

definido por y el mapa ${\displaystyle L\mapsto {\text{Gal}}(E/L)}$

${\displaystyle \Gamma :{\mathcal {C}}(G)\rightarrow {\mathcal {F}}(E/F)}$

definido por . Una cosa importante que hay que comprobar es que sea un mapa bien definido, es decir, que sea un subgrupo cerrado para todos los campos intermedios . Esto se demuestra en Ribes-Zalesskii, Teorema 2.11.3. ^[1] ${\displaystyle N\mapsto {\text{Fix}}_{E}(N):=\{a\in E~|~\sigma (a)=a{\text{ for all }}\sigma \in N\}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi (L)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L}$

Ver también

• conexión galois

Referencias

1. Ribes, Zalesskii (2010). Grupos profinitos . Saltador. ISBN 978-3-642-01641-7.

Otras lecturas

• Milne, JS (2022). Teoría de Fields y Galois. Libros Kea, Ann Arbor, MI. ISBN 979-8-218-07399-2.

enlaces externos

• Medios relacionados con el teorema fundamental de la teoría de Galois en Wikimedia Commons
• Prueba del teorema fundamental de la teoría de Galois en PlanetMath .
• Los autores del proyecto Stacks. "Teorema 9.21.7 (Teorema fundamental de la teoría de Galois)".
• Los autores del proyecto Stacks. "Teorema 9.22.4 (Teorema fundamental de la teoría de Galois infinita)".