Problema inverso de Galois

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Es todo grupo finito el grupo de Galois de una extensión de Galois de los números racionales ?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

En la teoría de Galois , el problema inverso de Galois se refiere a si cada grupo finito aparece o no como el grupo de Galois de alguna extensión de Galois de los números racionales . Este problema, planteado por primera vez a principios del siglo XIX, ^[1] no está resuelto. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Hay algunos grupos de permutaciones para los cuales se conocen polinomios genéricos , que definen todas las extensiones algebraicas de tener un grupo particular como grupo de Galois. Estos grupos incluyen todos los de grado no mayor a 5 . También hay grupos que se sabe que no tienen polinomios genéricos, como el grupo cíclico de orden 8 . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

De manera más general, sea G un grupo finito dado y K un campo. Si hay un campo de extensión de Galois L / K cuyo grupo de Galois es isomorfo a G , se dice que G es realizable sobre K.

Resultados parciales

Se conocen muchos casos. Se sabe que todo grupo finito es realizable sobre cualquier campo funcional en una variable sobre números complejos y, más generalmente, sobre campos funcionales en una variable sobre cualquier campo algebraicamente cerrado de característica cero. Igor Shafarevich demostró que todo grupo finito con solución es realizable . ^[2] También se sabe que todo grupo esporádico simple , excepto posiblemente el grupo M ₂₃ de Mathieu , es realizable en . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

David Hilbert demostró que esta pregunta está relacionada con una pregunta de racionalidad para G :

Si K es cualquier extensión de la cual G actúa como un grupo de automorfismos , y el campo invariante KG ^es racional en exceso , entonces G es realizable en exceso . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Aquí racional significa que es una extensión puramente trascendental de , generada por un conjunto algebraicamente independiente . Este criterio se puede utilizar, por ejemplo, para demostrar que todos los grupos simétricos son realizables. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Se ha llevado a cabo un trabajo muy detallado sobre la cuestión, que en modo alguno está resuelta en general. Algo de esto se basa en construir G geométricamente como una cobertura de Galois de la línea proyectiva : en términos algebraicos, comenzando con una extensión del campo de funciones racionales en una t indeterminada . Después de eso, se aplica el teorema de irreductibilidad de Hilbert para especializar t , de tal manera que se preserve el grupo de Galois. ${\displaystyle \mathbb {Q} (t)}$

Se sabe que todos los grupos de permutaciones de grado 16 o menos son realizables en ; ^[4] el grupo PSL(2,16):2 de grado 17 puede no serlo. ^[5] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Se sabe que los 13 grupos simples no abelianos más pequeños que PSL(2,25) (orden 7800) son realizables en . ^[6] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Un ejemplo simple: grupos cíclicos

Es posible, utilizando resultados clásicos, construir explícitamente un polinomio cuyo grupo de Galois sea el grupo cíclico Z / n Z para cualquier entero positivo n . Para hacer esto, elija un primo p tal que p ≡ 1 (mod n ) ; esto es posible mediante el teorema de Dirichlet . Sea Q ( μ ) la extensión ciclotómica de generada por μ , donde μ es una raíz p - ésima primitiva de la unidad ; el grupo de Galois de Q ( μ )/ Q es cíclico de orden p − 1 . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Dado que n divide p − 1 , el grupo de Galois tiene un subgrupo cíclico H de orden ( p − 1)/ n . El teorema fundamental de la teoría de Galois implica que el campo fijo correspondiente, F = Q ( μ ) ^H , tiene el grupo de Galois Z / n Z sobre . Tomando sumas apropiadas de conjugados de μ , siguiendo la construcción de períodos gaussianos , se puede encontrar un elemento α de F que genera F sobre y calcular su polinomio mínimo . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Este método puede ampliarse para cubrir todos los grupos abelianos finitos , ya que cada uno de esos grupos aparece de hecho como un cociente del grupo de Galois de alguna extensión ciclotómica de . (Sin embargo, esta afirmación no debe confundirse con el teorema de Kronecker-Weber , que es mucho más profundo). ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Ejemplo resuelto: el grupo cíclico de orden tres

Para n = 3 , podemos tomar p = 7 . Entonces Gal( Q ( μ )/ Q ) es cíclica de orden seis. Tomemos el generador η de este grupo que envía μ a μ ³ . Nos interesa el subgrupo H = {1, η ³ } de orden dos. Considere el elemento α = μ + η ³ ( μ ) . Por construcción, α está fijada por H y solo tiene tres conjugados sobre : ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

α = η ⁰ ( α ) = μ + μ ⁶ ,

β = η ¹ ( α ) = μ ³ + μ ⁴ ,

γ = η ² ( α ) = μ ² + μ ⁵ .

Usando la identidad:

1 + μ + μ ² + ⋯ + μ ⁶ = 0 ,

uno encuentra que

α + β + γ = −1 ,

αβ + βγ + γα = −2 ,

αβγ = 1 .

Por lo tanto α es una raíz del polinomio

( x − α )( x − β )( x − γ ) = x ³ + x ² − 2 x − 1 ,

lo que en consecuencia tiene el grupo de Galois Z /3 Z por encima . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Grupos simétricos y alternos.

Hilbert demostró que todos los grupos simétricos y alternos se representan como grupos de polinomios de Galois con coeficientes racionales .

El polinomio x ⁿ + ax + b tiene discriminante

${\displaystyle (-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\!\left(n^{n}b^{n-1}+(-1)^{1-n}(n-1)^{n-1}a^{n}\right)\!.}$

Tomamos el caso especial

f ( x , s ) = x ^norte - sx - s .

Sustituir s por un número primo entero en f ( x , s ) da un polinomio (llamado especialización de f ( x , s ) ) que según el criterio de Eisenstein es irreducible . Entonces f ( x , s ) debe ser irreducible . Además, f ( x , s ) se puede escribir ${\displaystyle \mathbb {Q} (s)}$

${\displaystyle x^{n}-{\tfrac {x}{2}}-{\tfrac {1}{2}}-\left(s-{\tfrac {1}{2}}\right)\!(x+1)}$

y f ( x , 1/2) se puede factorizar para:

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x-1)\!\left(1+2x+2x^{2}+\cdots +2x^{n-1}\right)}$

cuyo segundo factor es irreducible (pero no según el criterio de Eisenstein). Sólo el polinomio recíproco es irreducible según el criterio de Eisenstein. Ahora hemos demostrado que el grupo Gal( f ( x , s )/ Q ( s )) es doblemente transitivo .

Entonces podemos encontrar que este grupo de Galois tiene una transposición. Utilice la escala (1 − n ) x = ny para obtener

${\displaystyle y^{n}-\left\{s\left({\frac {1-n}{n}}\right)^{n-1}\right\}y-\left\{s\left({\frac {1-n}{n}}\right)^{n}\right\}}$

y con

${\displaystyle t={\frac {s(1-n)^{n-1}}{n^{n}}},}$

llegamos a:

gramo ( y , t ) = y ^norte − nty + ( norte − 1 ) t

que se puede arreglar para

y ^norte − y − ( norte − 1)( y − 1) + ( t − 1)(− ny + n − 1) .

Entonces g ( y , 1 ) tiene 1 como doble cero y sus otros n − 2 ceros son simples , y se implica una transposición en Gal( f ( x , s )/ Q ( s )) . Cualquier grupo de permutación finito doblemente transitivo que contenga una transposición es un grupo simétrico completo.

El teorema de irreductibilidad de Hilbert implica entonces que un conjunto infinito de números racionales da especializaciones de f ( x , t ) cuyos grupos de Galois son S _n sobre el campo racional . De hecho este conjunto de números racionales es denso en . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

El discriminante de g ( y , t ) es igual

${\displaystyle (-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}(1-t),}$

y este no es en general un cuadrado perfecto.

Grupos alternos

Las soluciones para grupos alternos deben manejarse de manera diferente para grados pares e impares .

grado impar

Dejar

${\displaystyle t=1-(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}nu^{2}}$

Bajo esta sustitución el discriminante de g ( y , t ) es igual

${\displaystyle {\begin{aligned}(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}(1-t)&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left(1-\left(1-(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}nu^{2}\right)\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left((-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}nu^{2}\right)\\&=n^{n+1}(n-1)^{n-1}t^{n-1}u^{2}\end{aligned}}}$

que es un cuadrado perfecto cuando n es impar.

Grado par

Dejar:

${\displaystyle t={\frac {1}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}}$

Bajo esta sustitución el discriminante de g ( y , t ) es igual a:

${\displaystyle {\begin{aligned}(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}(1-t)&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left(1-{\frac {1}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left({\frac {\left(1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}\right)-1}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left({\frac {(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left(t(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}\right)\\&=n^{n}(n-1)^{n}t^{n}u^{2}\end{aligned}}}$

que es un cuadrado perfecto cuando n es par.

Nuevamente, el teorema de irreductibilidad de Hilbert implica la existencia de infinitas especializaciones cuyos grupos de Galois son grupos alternos.

Grupos rígidos

Supongamos que C ₁ , …, C _n son clases de conjugación de un grupo finito G , y A es el conjunto de n -tuplas ( g ₁ , …, g _n ) de G tales que g _i está en C _i y el producto g ₁ … g _n es trivial. Entonces A se llama rígido si no está vacío , G actúa transitivamente sobre él por conjugación y cada elemento de A genera G.

Thompson (1984) demostró que si un grupo finito G tiene un conjunto rígido, entonces a menudo puede realizarse como un grupo de Galois sobre una extensión ciclotómica de los racionales. (Más precisamente, sobre la extensión ciclotómica de los racionales generada por los valores de los caracteres irreducibles de G en las clases de conjugación Ci _. )

Esto se puede utilizar para demostrar que muchos grupos finitos simples, incluido el grupo de los monstruos , son grupos de Galois de extensiones de los racionales. El grupo de monstruos es generado por una tríada de elementos de órdenes 2 , 3 y 29 . Todas estas tríadas son conjugadas.

El prototipo de rigidez es el grupo simétrico S _n , que se genera por un n -ciclo y una transposición cuyo producto es un ( n − 1) -ciclo. La construcción de la sección anterior utilizó estos generadores para establecer el grupo de Galois de un polinomio.

Una construcción con función modular elíptica

Sea n > 1 cualquier número entero. Una red Λ en el plano complejo con una relación de períodos τ tiene una subred Λ′ con una relación de períodos nτ . Esta última red forma parte de un conjunto finito de subredes permutadas por el grupo modular PSL(2, Z ) , que se basa en cambios de base para Λ . Sea j la función modular elíptica de Felix Klein . Defina el polinomio φ _n como el producto de las diferencias ( X − j (Λ _i )) sobre las subredes conjugadas. Como polinomio en X , φ _n tiene coeficientes que son polinomios en j ( τ ) . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

En las redes conjugadas, el grupo modular actúa como PGL(2, Z / n Z ) . De ello se deduce que φ _n tiene un grupo de Galois isomorfo a PGL (2, Z / n Z ) sobre . ${\displaystyle \mathbb {Q} (\mathrm {J} (\tau ))}$

El uso del teorema de irreducibilidad de Hilbert da un conjunto infinito (y denso) de números racionales que se especializan φ _n en polinomios con el grupo de Galois PGL(2, Z / n Z ) sobre . Los grupos PGL(2, Z / n Z ) incluyen infinitos grupos no solubles. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Ver también

• Grupo semiabeliano (teoría de Galois)

Notas

1. "Publicaciones del Instituto de Investigaciones en Ciencias Matemáticas 45" (PDF) . MSRI .
2. Igor R. Shafarevich, El problema de la incrustación al dividir extensiones , Dokl. Akád. Nauk SSSR 120 (1958), 1217-1219.
3. pág. 5 de Jensen et al., 2002
4. "Inicio". galoisdb.math.upb.de .
5. "Elija un grupo".
6. Malle y Matzat (1999), págs.403-424

Referencias

• MacBeath, AM (1969). "Extensiones de los racionales con el grupo Galois PGL (2, Z _n )". Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . 1 (3): 332–338. doi :10.1112/BLMS/1.3.332.
• Thompson, John G. (1984), "Algunos grupos finitos que aparecen como Gal L/K, donde K ⊆ Q(μ _n )", Journal of Algebra , 89 (2): 437–499, doi : 10.1016/0021- 8693(84)90228-X , SEÑOR  0751155
• Helmut Völklein, Grupos como grupos Galois, introducción , Cambridge University Press, 1996. ISBN 978-0521065030.
• Serre, Jean-Pierre (1992). Temas de la teoría de Galois . Notas de investigación en matemáticas. vol. 1. Jones y Bartlett. ISBN 0-86720-210-6. Zbl  0746.12001.
• Gunter Malle, Heinrich Matzat, Teoría de Galois inversa , Springer-Verlag, 1999, ISBN 3-540-62890-8 . 
• Gunter Malle, Heinrich Matzat, Teoría inversa de Galois , 2.ª edición, Springer-Verlag, 2018.
• Alexander Schmidt, Kay Wingberg, Teorema de Safarevic sobre grupos solubles como grupos de Galois ( ver también Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomología de campos numéricos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , vol. 323, Berlín: Springer- Editorial, ISBN 978-3-540-66671-4, SEÑOR  1737196, Zbl  0948.11001)
• Christian U. Jensen, Arne Ledet y Noriko Yui , Polinomios genéricos, aspectos constructivos del problema inverso de Galois , Cambridge University Press, 2002.

enlaces externos

• "Programa de escuela de verano para graduados PCMI 2021 del problema inverso de Galois - Teoría de números informada por computación - 26 al 30 de julio de 2021". Archivado desde el original el 16 de febrero de 2023.