Polinomio genérico

En matemáticas , un polinomio genérico se refiere generalmente a un polinomio cuyos coeficientes son indeterminados . Por ejemplo, si a , b y c son indeterminados, el polinomio genérico de grado dos en x es ${\displaystyle ax^{2}+bx+c.}$

Sin embargo, en la teoría de Galois , una rama del álgebra , y en este artículo, el término polinomio genérico tiene un significado diferente, aunque relacionado: un polinomio genérico para un grupo finito G y un cuerpo F es un polinomio mónico P con coeficientes en el cuerpo de funciones racionales L = F ( t ₁ , ..., t _n ) en n indeterminados sobre F , tal que el cuerpo de desdoblamiento M de P tiene grupo de Galois G sobre L , y tal que cada extensión K / F con grupo de Galois G puede obtenerse como el cuerpo de desdoblamiento de un polinomio que es la especialización de P resultante de fijar los n indeterminados en n elementos de F . Esto a veces se denomina F-genérico o relativo al cuerpo F ; un polinomio Q - genérico , que es genérico en relación con los números racionales, se denomina simplemente genérico.

La existencia, y especialmente la construcción, de un polinomio genérico para un grupo de Galois dado proporciona una solución completa al problema de Galois inverso para ese grupo. Sin embargo, no todos los grupos de Galois tienen polinomios genéricos; un contraejemplo es el grupo cíclico de orden ocho.

Grupos con polinomios genéricos

• El grupo simétrico S _n . Esto es trivial, ya que

${\displaystyle x^{n}+t_{1}x^{n-1}+\cdots +t_{n}}$

es un polinomio genérico para S _n .

• Grupos cíclicos C _n , donde n no es divisible por ocho. Lenstra demostró que un grupo cíclico no tiene un polinomio genérico si n es divisible por ocho, y GW Smith construye explícitamente dicho polinomio en caso de que n no sea divisible por ocho.
• La construcción del grupo cíclico conduce a otras clases de polinomios genéricos; en particular, el grupo diedro D _n tiene un polinomio genérico si y sólo si n no es divisible por ocho.
• El grupo de cuaterniones Q ₈ .
• Grupos de Heisenberg para cualquier primo impar p . ${\displaystyle H_{p^{3}}}$
• El grupo alterno A ₄ .
• El grupo alterno A ₅ .
• Grupos de reflexión definidos sobre Q , incluyendo en particular grupos de los sistemas raíz para E ₆ , E ₇ y E ₈ .
• Cualquier grupo que sea un producto directo de dos grupos que tengan polinomios genéricos.
• Cualquier grupo que sea un producto en forma de corona de dos grupos que tengan ambos polinomios genéricos.

Ejemplos de polinomios genéricos

Los polinomios genéricos son conocidos para todos los grupos transitivos de grado 5 o menos.

Dimensión genérica

La dimensión genérica para un grupo finito G sobre un campo F , denotado , se define como el número mínimo de parámetros en un polinomio genérico para G sobre F , o si no existe ningún polinomio genérico. ${\displaystyle gd_{F}G}$ ${\displaystyle \infty }$

Ejemplos:

• ${\displaystyle gd_{\mathbb {Q} }A_{3}=1}$
• ${\displaystyle gd_{\mathbb {Q} }S_{3}=1}$
• ${\displaystyle gd_{\mathbb {Q} }D_{4}=2}$
• ${\displaystyle gd_{\mathbb {Q} }S_{4}=2}$
• ${\displaystyle gd_{\mathbb {Q} }D_{5}=2}$
• ${\displaystyle gd_{\mathbb {Q} }S_{5}=2}$

Publicaciones

• Jensen, Christian U., Ledet, Arne y Yui, Noriko, Polinomios genéricos , Cambridge University Press, 2002