En matemáticas , una representación en serie discreta es una representación unitaria irreducible de un grupo topológico localmente compacto G que es una subrepresentación de la representación regular izquierda de G en L²( G ). En la medida de Plancherel , tales representaciones tienen medida positiva. El nombre proviene del hecho de que son exactamente las representaciones que ocurren discretamente en la descomposición de la representación regular.
Si G es unimodular , una representación unitaria irreducible ρ de G está en la serie discreta si y solo si uno (y por lo tanto todos) de los coeficientes de la matriz
con v , w vectores distintos de cero son integrables al cuadrado en G , con respecto a la medida de Haar .
Cuando G es unimodular, la representación en serie discreta tiene una dimensión formal d , con la propiedad de que
para v , w , x , y en la representación. Cuando G es compacto, esto coincide con la dimensión cuando la medida de Haar en G se normaliza de modo que G tenga medida 1.
Harish-Chandra (1965, 1966) clasificó las representaciones en series discretas de grupos semisimples conexos G . En particular, un grupo de este tipo tiene representaciones en series discretas si y solo si tiene el mismo rango que un subgrupo compacto maximal K . En otras palabras, un toro maximal T en K debe ser un subgrupo de Cartan en G . (Este resultado requería que el centro de G fuera finito, descartando grupos como la cubierta simplemente conexa de SL(2, R ).) Se aplica en particular a grupos lineales especiales ; de estos, solo SL(2, R ) tiene una serie discreta (para esto, véase la teoría de representación de SL(2, R ) ).
La clasificación de Harish-Chandra de las representaciones en serie discreta de un grupo de Lie conexo semisimple se da de la siguiente manera. Si L es la red de pesos del toro máximo T , una subred de este donde t es el álgebra de Lie de T , entonces existe una representación en serie discreta para cada vector v de
donde ρ es el vector de Weyl de G , que no es ortogonal a ninguna raíz de G . Toda representación en serie discreta se produce de esta manera. Dos de estos vectores v corresponden a la misma representación en serie discreta si y solo si son conjugados bajo el grupo de Weyl W K del subgrupo compacto maximalista K . Si fijamos una cámara fundamental para el grupo de Weyl de K , entonces la representación en serie discreta está en correspondencia 1:1 con los vectores de L + ρ en esta cámara de Weyl que no son ortogonales a ninguna raíz de G . El carácter infinitesimal de la representación de mayor peso está dado por v (mod el grupo de Weyl W G de G ) bajo la correspondencia de Harish-Chandra que identifica caracteres infinitesimales de G con puntos de
Así que para cada representación de serie discreta, hay exactamente
representaciones de series discretas con el mismo carácter infinitesimal.
Harish-Chandra continuó demostrando un análogo para estas representaciones de la fórmula de carácter de Weyl . En el caso en que G no es compacto, las representaciones tienen dimensión infinita y, por lo tanto, la noción de carácter es más sutil de definir, ya que se trata de una distribución de Schwartz (representada por una función integrable localmente), con singularidades.
El carácter se da en el toro máximo T por
Cuando G es compacto esto se reduce a la fórmula del carácter de Weyl, con v = λ + ρ para λ el peso más alto de la representación irreducible (donde el producto es sobre las raíces α que tienen un producto interno positivo con el vector v ).
El teorema de regularidad de Harish-Chandra implica que el carácter de una representación de serie discreta es una función localmente integrable en el grupo.
Los puntos v en la clase lateral L + ρ ortogonales a raíces de G no corresponden a representaciones de series discretas, pero aquellos no ortogonales a raíces de K están relacionados con ciertas representaciones irreducibles llamadas límite de representaciones de series discretas . Existe una representación de este tipo para cada par ( v , C ) donde v es un vector de L + ρ ortogonal a alguna raíz de G pero no ortogonal a ninguna raíz de K correspondiente a una pared de C , y C es una cámara de Weyl de G que contiene a v . (En el caso de representaciones de series discretas solo hay una cámara de Weyl que contiene a v por lo que no es necesario incluirla explícitamente). Dos pares ( v , C ) dan el mismo límite de representación de series discretas si y solo si son conjugados bajo el grupo de Weyl de K . Al igual que para las representaciones de series discretas v da el carácter infinitesimal. Hay como máximo | W G |/| W K | límite de representaciones de series discretas con cualquier carácter infinitesimal dado.
Las representaciones de límites de series discretas son representaciones templadas , lo que significa, aproximadamente, que por poco no logran ser representaciones de series discretas.
La construcción original de la serie discreta de Harish-Chandra no era muy explícita. Varios autores posteriores encontraron realizaciones más explícitas de la serie discreta.
