En matemáticas, el teorema de regularidad de Harish-Chandra , introducido por Harish-Chandra (1963), establece que cada distribución propia invariante en un grupo de Lie semisimple , y en particular cada carácter de una representación unitaria irreducible en un espacio de Hilbert , está dado por un localmente integrable. función . Harish-Chandra (1978, 1999) demostró un teorema similar para grupos p -ádicos semisimples.
Harish-Chandra (1955, 1956) había demostrado previamente que cualquier distribución propia invariante es analítica en los elementos regulares del grupo, al mostrar que en estos elementos es una solución de una ecuación diferencial elíptica . El problema es que puede tener singularidades en los elementos singulares del grupo; el teorema de regularidad implica que estas singularidades no son demasiado severas.
Declaración
Una distribución en un grupo G o su álgebra de Lie se llama invariante si es invariante bajo conjugación por G.
Una distribución en un grupo G o su álgebra de Lie se llama distribución propia si es un vector propio del centro del álgebra envolvente universal de G (identificado con los operadores diferenciales invariantes izquierdo y derecho de G ).
El teorema de regularidad de Harish-Chandra establece que cualquier distribución propia invariante en un grupo semisimple o álgebra de Lie es una función localmente integrable. La condición de que sea una distribución propia se puede relajar ligeramente a la condición de que su imagen bajo el centro del álgebra envolvente universal sea de dimensión finita. El teorema de regularidad también implica que en cada subálgebra de Cartan la distribución se puede escribir como una suma finita de exponenciales dividida por una función Δ que se parece mucho al denominador de la fórmula del carácter de Weyl .
Prueba
La demostración original de Harish-Chandra del teorema de regularidad se presenta en una secuencia de cinco artículos (Harish-Chandra 1964a, 1964b, 1964c, 1965a, 1965b). Atiyah (1988) expuso la demostración del teorema de regularidad de Harish-Chandra para el caso de SL 2 ( R ) y esbozó su generalización a grupos de rango superior.
La mayoría de las pruebas se pueden dividir en varios pasos de la siguiente manera.
- Paso 1. Si Θ es una distribución propia invariante , entonces es analítica sobre los elementos regulares de G. Esto se desprende de la regularidad elíptica , al mostrar que el centro del álgebra envolvente universal tiene un elemento que es "elíptico transversal a una órbita de G" para cualquier órbita regular.
- Paso 2. Si Θ es una distribución propia invariante, entonces su restricción a los elementos regulares de G es localmente integrable en G. (Esto tiene sentido ya que los elementos no regulares de G tienen medida cero). Esto se sigue mostrando que ΔΘ en cada subálgebra de Cartan es una suma finita de exponenciales, donde Δ es esencialmente el denominador de la fórmula del denominador de Weyl, con 1/Δ integrable localmente.
- Paso 3. En los pasos 1 y 2, la distribución propia invariante Θ es una suma S + F donde F es una función localmente integrable y S tiene apoyo en los elementos singulares de G. El problema es demostrar que S desaparece. Esto se hace estratificando el conjunto de elementos singulares de G como una unión de subvariedades localmente cerradas de G y usando inducción en la codimensión de los estratos. Si bien es posible que una función propia de una ecuación diferencial sea de la forma S + F con F localmente integrable y S con soporte singular en una subvariedad, esto solo es posible si el operador diferencial satisface algunas condiciones restrictivas. Entonces se puede comprobar que el operador Casimir de G no satisface estas condiciones en los estratos del conjunto singular, lo que obliga a S a desaparecer.
Referencias
- Atiyah, Michael (1988), "Personajes de grupos de Lie semisimples", Obras completas. vol. 4 , Publicaciones científicas de Oxford, The Clarendon Press Oxford University Press, págs. 491–557, ISBN 978-0-19-853278-1, señor 0951895
- Harish-Chandra (1955), "Sobre los caracteres de un grupo de Lie semisimple", Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense , 61 (5): 389–396, doi : 10.1090/S0002-9904-1955-09935-X , ISSN 0002 -9904, SEÑOR 0071715
- Harish-Chandra (1956), "Los personajes de los grupos de Lie semisimples", Transactions of the American Mathematical Society , 83 : 98–163, doi : 10.2307/1992907 , ISSN 0002-9947, JSTOR 1992907, MR 0080875
- Harish-Chandra (1963), "Distribuciones propias invariantes en grupos de Lie semisimples", Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense , 69 : 117–123, doi : 10.1090/S0002-9904-1963-10889-7 , ISSN 0002-9904, SEÑOR 0145006
- Harish-Chandra (1964a), "Distribuciones invariantes en álgebras de Lie", American Journal of Mathematics , 86 : 271–309, doi :10.2307/2373165, ISSN 0002-9327, JSTOR 2373165, MR 0161940
- Harish-Chandra (1964b), "Operadores diferenciales invariantes y distribuciones en un álgebra de Lie semisimple", American Journal of Mathematics , 86 : 534–564, doi :10.2307/2373023, ISSN 0002-9327, JSTOR 2373023, MR 0180628
- Harish-Chandra (1964c), "Algunos resultados sobre una integral invariante en un álgebra de Lie semisimple", Annals of Mathematics , Second Series, 80 : 551–593, doi :10.2307/1970664, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970664, MR 0180629
- Harish-Chandra (1965a), "Distribuciones propias invariantes en un álgebra de Lie semisimple", Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS (27): 5–54, ISSN 1618-1913, SEÑOR 0180630
- Harish-Chandra (1965b), "Distribuciones propias invariantes en un grupo de Lie semisimple", Transactions of the American Mathematical Society , 119 : 457–508, doi : 10.2307/1994080 , ISSN 0002-9947, JSTOR 1994080, MR 0180631
- Harish-Chandra (1978), "Distribuciones invariantes admisibles en grupos p-ádicos reductivos", en Rossmann, Wulf (ed.), Teorías de Lie y sus aplicaciones (actas del seminario anual de 1977 del congreso matemático canadiense, Queen's University en Kingston , Ontario, 1977) , Queen's Papers in Pure Appl. Matemáticas, vol. 48, Kingston, Ontario: Queen's Univ., págs. 281–347, MR 0579175, reimpreso en el volumen 4 de sus obras completas.
- Harish-Chandra (1999), DeBacker, Stephen; Sally, Paul J. Jr. (eds.), Distribuciones invariantes admisibles en grupos p-ádicos reductivos, University Lecture Series, vol. 16, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-2025-4, SEÑOR 1702257
