En álgebra conmutativa , un anillo de intersección completo es un anillo conmutativo similar a los anillos de coordenadas de variedades que son intersecciones completas . Informalmente, pueden considerarse aproximadamente como anillos locales que pueden definirse utilizando el número "mínimo posible" de relaciones.
Para los anillos locales noetherianos, existe la siguiente cadena de inclusiones:
Un anillo de intersección local completo es un anillo local noetheriano cuya terminación es el cociente de un anillo local regular por un ideal generado por una secuencia regular . Completar es una complicación técnica menor causada por el hecho de que no todos los anillos locales son cocientes de los regulares. Para los anillos que son cocientes de anillos locales regulares, que cubren la mayoría de los anillos locales que ocurren en geometría algebraica, no es necesario completar en la definición.
Existe una definición intrínseca alternativa que no depende de incrustar el anillo en un anillo local normal. Si R es un anillo local noetheriano con m ideal máximo , entonces la dimensión de m / m 2 se llama dimensión de incrustación emb dim ( R ) de R. Definir un álgebra graduada H ( R ) como la homología del complejo de Koszul respecto de un sistema mínimo de generadores de m / m 2 ; hasta el isomorfismo esto sólo depende de R y no de la elección de los generadores de m . La dimensión de H 1 ( R ) se denota por ε 1 y se llama primera desviación de R ; desaparece si y sólo si R es regular. Un anillo local noetheriano se denomina anillo de intersección completo si su dimensión de incrustación es la suma de la dimensión y la primera desviación:
También existe una caracterización recursiva de anillos de intersección completos locales que se puede utilizar como definición, de la siguiente manera. Supongamos que R es un anillo local noetheriano completo. Si R tiene una dimensión mayor que 0 y x es un elemento del ideal máximo que no es un divisor de cero, entonces R es un anillo de intersección completo si y sólo si R /( x ) lo es. (Si el ideal máximo consta enteramente de divisores cero, entonces R no es un anillo de intersección completo). Si R tiene dimensión 0, entonces Wiebe (1969) demostró que es un anillo de intersección completo si y sólo si el ideal de ajuste de su ideal máximo es distinto de cero.
Los anillos locales regulares son anillos de intersección completos, pero lo contrario no es cierto: el anillo es un anillo de intersección completo de dimensión 0 que no es regular.
Un ejemplo de un anillo de intersección localmente completo que no es un anillo de intersección completo lo da el cual tiene longitud 3 ya que es isomorfo como espacio vectorial . [1]
Los anillos locales de intersección completos son anillos de Gorenstein , pero lo contrario no es cierto: el anillo es un anillo de Gorenstein de dimensión 0 que no es un anillo de intersección completo. Como espacio vectorial, este anillo es isomorfo a
mostrando que es Gorenstein ya que el componente de grado superior es dimensión y satisface la propiedad de Poincaré. No es un anillo de intersección local completo porque el ideal no es regular. Por ejemplo, es un divisor cero de in .
![{\displaystyle k[x]/(x^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/152b7c94aa6b8a03eb284cc318ae1cfc2164b8cf)
![{\displaystyle k[x,y]/(yx^{2},x^{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac119c9b7d89d85997eafa27ce80ec802afaa9b9)
![{\displaystyle k[x,y,z]/(x^{2},y^{2},xz,yz,z^{2}-xy)=R/I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82da7195df38ebe3716551475ae004199d14c18)
![{\displaystyle {\frac {k[x,y,z]}{(x^{2},y^{2},xz,yz,z^{2}-xy)}}\cong R_{0} \oplus R_ {1} \oplus R_ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/809f08395b3784eccac59b30cc4f4c83ae1d383f)
