Anillo Gorenstein

En álgebra conmutativa , un anillo local de Gorenstein es un anillo local conmutativo noetheriano R con dimensión inyectiva finita como módulo R. Hay muchas condiciones equivalentes, algunas de ellas se enumeran a continuación, y a menudo dicen que un anillo Gorenstein es autodual en algún sentido.

Los anillos de Gorenstein fueron introducidos por Grothendieck en su seminario de 1961 (publicado en (Hartshorne 1967)). El nombre proviene de una propiedad de dualidad de curvas planas singulares estudiada por Gorenstein (1952) (a quien le gustaba afirmar que no entendía la definición de anillo de Gorenstein ^{[ cita necesaria ]} ). El caso de dimensión cero había sido estudiado por Macaulay (1934). Serre (1961) y Bass (1963) dieron a conocer el concepto de anillos de Gorenstein.

Los anillos de Frobenius son análogos no conmutativos de los anillos de Gorenstein de dimensión cero. Los esquemas Gorenstein son la versión geométrica de los anillos Gorenstein.

Para los anillos locales noetherianos, existe la siguiente cadena de inclusiones.

Anillos catenarios universales ⊃ Anillos de Cohen-Macaulay ⊃ Anillos de Gorenstein ⊃ Anillos de intersección completos ⊃ Anillos locales regulares

Definiciones

Un anillo de Gorenstein es un anillo noetheriano conmutativo tal que cada localización en un ideal primo es un anillo local de Gorenstein, como se define a continuación. Un anillo de Gorenstein es en particular Cohen-Macaulay .

Una caracterización elemental es: un anillo local noetheriano R de dimensión cero (equivalentemente, con R de longitud finita como un módulo R ) es Gorenstein si y sólo si Hom _R ( k , R ) tiene dimensión 1 como un espacio vectorial k , donde k es el campo residual de R . De manera equivalente, R tiene un zócalo simple como R -módulo. _[^1] De manera más general, un anillo local noetheriano R es Gorenstein si y solo si hay una secuencia regular a ₁ ,..., an en el ideal máximo de R tal que el anillo cociente R /( a ₁ ,.. ., an ) es Gorenstein de dimensión cero _.

Por ejemplo, si R es un álgebra graduada conmutativa sobre un campo k tal que R tiene dimensión finita como un espacio vectorial k , R = k ⊕ R ₁ ⊕ ... ⊕ R _m , entonces R es Gorenstein si y sólo si satisface la dualidad de Poincaré , lo que significa que la pieza mejor calificada R _m tiene dimensión 1 y el producto R _a × R _{m − a} → R _m es un emparejamiento perfecto para cada a . ^[2]

Otra interpretación de la propiedad de Gorenstein como un tipo de dualidad, para anillos no necesariamente graduados , es: para un campo F , un F -álgebra R conmutativa de dimensión finita como un F -espacio vectorial (por lo tanto, de dimensión cero como anillo) es Gorenstein si y solo si hay un mapa F -lineal e : R → F tal que la forma bilineal simétrica ( x , y ) := e ( xy ) en R (como un espacio vectorial F ) no es degenerada . ^[3]

Para un anillo local noetheriano conmutativo ( R , m , k ) de dimensión Krull n , lo siguiente es equivalente: ^[4]

R tiene dimensión inyectiva finita como R -módulo;
R tiene dimensión inyectiva n como módulo R ;
El grupo Ext para i ≠ n mientras $\operatorname {Ext} _ {R}^{i}(k,R)=0$ $\operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)\cong k;$
$\operatorname {Ext} _ {R}^{i}(k,R)=0$ para algunos i > n ;
$\operatorname {Ext} _ {R}^{i}(k,R)=0$ para todo i < n y $\operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)\cong k;$
R es un anillo de Gorenstein de n dimensiones.

Un anillo R (no necesariamente conmutativo) se llama Gorenstein si R tiene una dimensión inyectiva finita como módulo R izquierdo y como módulo R derecho . Si R es un anillo local, se dice que R es un anillo local de Gorenstein.

Ejemplos

Cada anillo de intersección local completo , en particular cada anillo local regular , es Gorenstein.
El anillo R = k [ x , y , z ]/( x ² , y ² , xz , yz , z ² − xy ) es un anillo de Gorenstein de dimensión 0 que no es un anillo de intersección completo. Más detalladamente: una base para R como k -espacio vectorial viene dada por: R es Gorenstein porque el zócalo tiene dimensión 1 como k -espacio vectorial, abarcado por z ² . Alternativamente, se puede observar que R satisface la dualidad de Poincaré cuando se lo ve como un anillo graduado con x , y , z todos del mismo grado. Finalmente. R no es una intersección completa porque tiene 3 generadores y un conjunto mínimo de 5 (no 3) relaciones. $\{1,x,y,z,z^{2}\}.$

El anillo R = k [ x , y ]/( x ² , y ² , xy ) es un anillo de Cohen-Macaulay de dimensión 0 que no es un anillo de Gorenstein. Más detalladamente: una base para R como k -espacio vectorial viene dada por: R no es Gorenstein porque el zócalo tiene dimensión 2 (no 1) como k -espacio vectorial, abarcado por x e y . $\{1,x,y\}.$

Propiedades

Un anillo local noetheriano es Gorenstein si y sólo si su finalización es Gorenstein. ^[5]

El módulo canónico de un anillo local de Gorenstein R es isomorfo a R. En términos geométricos, se deduce que el complejo dualizador estándar de un esquema de Gorenstein X sobre un campo es simplemente un paquete de líneas (visto como un complejo en grado −dim( X )); este paquete de líneas se llama paquete canónico de X . Utilizando el paquete canónico, la dualidad de Serre toma la misma forma para los esquemas de Gorenstein que en el caso suave .

En el contexto de anillos graduados R , el módulo canónico de un anillo de Gorenstein R es isomorfo a R con algún cambio de grado. ^[6]

Para un anillo local de Gorenstein ( R , m , k ) de dimensión n , la dualidad local de Grothendieck toma la siguiente forma. ^[7] Sea E ( k ) la carcasa inyectiva del campo residual k como un módulo R. Entonces, para cualquier módulo R finitamente generado y entero i , el grupo de cohomología local es dual en el sentido de que: $H_{m}^{i}(M)$ $\operatorname {Ext} _ {R}^{ni}(M,R)$

H_{m}^{i}(M)\cong \operatorname {Hom} _{R}(\operatorname {Ext} _{R}^{ni}(M,R),E(k)) .

Stanley demostró que para un álgebra graduada conmutativa generada finitamente R sobre un campo k tal que R es un dominio integral , la propiedad de Gorenstein depende sólo de la propiedad de Cohen-Macaulay junto con la serie de Hilbert

f(t)=\sum \nolimits _{j}\dim _{k}(R_{j})t^{j}.

Es decir, un dominio graduado R es Gorenstein si y sólo si es Cohen-Macaulay y la serie de Hilbert es simétrica en el sentido de que

f\left({\tfrac {1}{t}}\right)=(-1)^{n}t^{s}f(t)

para algún número entero s , donde n es la dimensión de R. ^[8]

Sea ( R , m , k ) un anillo local noetheriano de codimensión de incrustación c , lo que significa que c = dim _k ( m / m ² ) − dim( R ). En términos geométricos, esto es válido para un anillo local de un subesquema de codimensión c en un esquema regular. Para c como máximo 2, Serre demostró que R es Gorenstein si y sólo si es una intersección completa . ^[9] También existe un teorema de estructura para los anillos de Gorenstein de codimensión 3 en términos de los pfaffianos de una matriz sesgada-simétrica, de Buchsbaum y Eisenbud . ^[10]

Notas

^ Eisenbud (1995), Proposición 21.5.
^ Huneke (1999), Teorema 9.1.
^ Lam (1999), Teoremas 3.15 y 16.23.
^ Matsumura (1989), Teorema 18.1.
^ Matsumura (1989), Teorema 18.3.
^ Eisenbud (1995), sección 21.11.
^ Bruns y Herzog (1993), Teorema 3.5.8.
^ Stanley (1978), Teorema 4.4.
^ Eisenbud (1995), Corolario 21.20.
^ Bruns y Herzog (1993), Teorema 3.4.1.

Referencias