Secuencia regular

En álgebra conmutativa , una sucesión regular es una sucesión de elementos de un anillo conmutativo que son tan independientes como sea posible, en un sentido preciso. Este es el análogo algebraico de la noción geométrica de intersección completa .

Definiciones

Para un anillo conmutativo R y un módulo R M , un elemento r en R se llama divisor no nulo en M si rm = 0 implica m = 0 para m en M . Una secuencia M -regular es una secuencia

r ₁ , ..., r _d en R

tal que r _i no es un divisor de cero en M /( r ₁ , ..., r _{i -1} ) M para i = 1, ..., d . ^[1] Algunos autores también requieren que M /( r ₁ , ..., r _d ) M no sea cero. Intuitivamente, decir que r ₁ , ..., r _d es una sucesión M -regular significa que estos elementos "reducen M " tanto como sea posible, cuando pasamos sucesivamente de M a M /( r ₁ ) M , a M /( r ₁ , r ₂ ) M , y así sucesivamente.

Una secuencia R -regular se denomina simplemente secuencia regular . Es decir, r ₁ , ..., r _d es una secuencia regular si r ₁ es un divisor distinto de cero en R , r ₂ es un divisor distinto de cero en el anillo R /( r ₁ ), y así sucesivamente. En lenguaje geométrico, si X es un esquema afín y r ₁ , ..., r _d es una secuencia regular en el anillo de funciones regulares en X , entonces decimos que el subesquema cerrado { r ₁ =0, ..., r _d =0} ⊂ X es un subesquema de intersección completo de X .

El hecho de que una secuencia sea regular puede depender del orden de sus elementos. Por ejemplo, x , y (1- x ), z (1- x ) es una secuencia regular en el anillo polinómico C [ x , y , z ], mientras que y (1- x ), z (1- x ), x no es una secuencia regular. Pero si R es un anillo local noetheriano y los elementos r _i están en el ideal maximal, o si R es un anillo graduado y los r _i son homogéneos de grado positivo, entonces cualquier permutación de una secuencia regular es una secuencia regular.

Sea R un anillo noetheriano, I un ideal en R y M un R -módulo finitamente generado . La profundidad de I en M , escrita profundidad _R ( I , M ) o simplemente profundidad( I , M ), es el supremo de las longitudes de todas las M -secuencias regulares de elementos de I . Cuando R es un anillo local noetheriano y M es un R -módulo finitamente generado, la profundidad de M , escrita profundidad _R ( M ) o simplemente profundidad( M ), significa profundidad _R ( m , M ); es decir, es el supremo de las longitudes de todas las M -secuencias regulares en el ideal maximal m de R . En particular, la profundidad de un anillo local noetheriano R significa la profundidad de R como un R -módulo. Es decir, la profundidad de R es la longitud máxima de una secuencia regular en el ideal maximal.

Para un anillo local noetheriano R , la profundidad del módulo cero es ∞, ^[2] mientras que la profundidad de un módulo R finitamente generado distinto de cero M es como máximo la dimensión de Krull de M (también llamada la dimensión del soporte de M ). ^[3]

Ejemplos

• Dado un dominio integral, cualquier valor distinto de cero da una secuencia regular. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f\in R}$
• Para un número primo p , el anillo local Z _{( p )} es el subanillo de los números racionales que consisten en fracciones cuyo denominador no es un múltiplo de p . El elemento p es un divisor no nulo en Z _{( p )} , y el anillo cociente de Z _{( p )} por el ideal generado por p es el cuerpo Z /( p ). Por lo tanto, p no puede extenderse a una secuencia regular más larga en el ideal maximal ( p ) y, de hecho, el anillo local Z _{( p )} tiene profundidad 1.
• Para cualquier cuerpo k , los elementos x ₁ , ..., x _n en el anillo polinomial A = k [ x ₁ , ..., x _n ] forman una sucesión regular. De ello se deduce que la localización R de A en el ideal máximo m = ( x ₁ , ..., x _n ) tiene una profundidad de al menos n . De hecho, R tiene una profundidad igual a n ; es decir, no existe ninguna sucesión regular en el ideal máximo de longitud mayor que n .
• De manera más general, sea R un anillo local regular con ideal máximo m . Entonces, cualesquiera elementos r ₁ , ..., r _d de m que se asignan a una base para m / m ² como un espacio vectorial R / m forman una secuencia regular.

Un caso importante es cuando la profundidad de un anillo local R es igual a su dimensión de Krull : entonces se dice que R es Cohen-Macaulay . Los tres ejemplos que se muestran son todos anillos de Cohen-Macaulay. De manera similar, se dice que un R -módulo M finitamente generado es Cohen-Macaulay si su profundidad es igual a su dimensión.

Ejemplos no convencionales

Un ejemplo simple de una secuencia regular no es el de la secuencia de elementos en ya que ${\displaystyle (xy,x^{2})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$

${\displaystyle \cdot x^{2}:{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(xy)}}\to {\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(xy)}}}$

tiene un núcleo no trivial dado por el ideal . Se pueden encontrar ejemplos similares observando generadores mínimos para los ideales generados a partir de esquemas reducibles con múltiples componentes y tomando el subesquema de un componente, pero engordado. ${\displaystyle (y)\subset \mathbb {C} [x,y]/(xy)}$

Aplicaciones

• Si r ₁ , ..., r _d es una secuencia regular en un anillo R , entonces el complejo de Koszul es una resolución libre explícita de R /( r ₁ , ..., r _d ) como un R -módulo, de la forma:

${\displaystyle 0\rightarrow R^{\binom {d}{d}}\rightarrow \cdots \rightarrow R^{\binom {d}{1}}\rightarrow R\rightarrow R/(r_{1},\ldots ,r_{d})\rightarrow 0}$

En el caso especial donde R es el anillo polinomial k [ r ₁ , ..., r _d ], esto da una resolución de k como un R -módulo.

• Si I es un ideal generado por una secuencia regular en un anillo R , entonces el anillo graduado asociado

${\displaystyle \oplus _{j\geq 0}I^{j}/I^{j+1}}$

es isomorfo al anillo polinomial ( R / I )[ x ₁ , ..., x _d ]. En términos geométricos, se deduce que un subesquema de intersección completo local Y de cualquier esquema X tiene un fibrado normal que es un fibrado vectorial, aunque Y pueda ser singular.

Véase también

• Anillo de intersección completo
• Complejo Koszul
• Profundidad (teoría de anillos)
• Anillo de Cohen-Macaulay

Notas

1. N. Bourbaki. Algébre. Capítulo 10. Álgebra homologada. Springer-Verlag (2006). X.9.6.
2. A. Grothendieck. EGA IV, Parte 1. Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS 20 (1964), 259 págs. 0.16.4.5.
3. N. Bourbaki. Algèbre Conmutativo. Capítulo 10. Springer-Verlag (2007). Th. X.4.2.

Referencias

• Bourbaki, Nicolas (2006), Algèbre. Capítulo 10. Algèbre Homologique , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-540-34493-3, ISBN 978-3-540-34492-6, Sr.  2327161
• Bourbaki, Nicolas (2007), Algèbre Conmutativo. Capítulo 10 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-540-34395-0, ISBN 978-3-540-34394-3, Sr.  2333539
• Winfried Bruns; Jürgen Herzog, Anillos de Cohen-Macaulay . Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii+403 pp. ISBN 0-521-41068-1 
• David Eisenbud , Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica . Springer Graduate Texts in Mathematics, n.º 150. ISBN 0-387-94268-8 
• Grothendieck, Alexander (1964), "Éléments de géometrie algébrique IV. Première partie", Publicaciones Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques , 20 : 1–259, SEÑOR  0173675