En álgebra abstracta , un módulo dualizante , también llamado módulo canónico , es un módulo sobre un anillo conmutativo que es análogo al fibrado canónico de una variedad suave . Se utiliza en la dualidad local de Grothendieck .
Un módulo dualizante para un anillo noetheriano R es un módulo finitamente generado M tal que para cualquier ideal maximalista m , el espacio vectorial R / m Ext en R
( R / m , M ) se desvanece si n ≠ altura( m ) y es unidimensional si n = altura( m ).
Un módulo dualizante no necesita ser único porque el producto tensorial de cualquier módulo dualizante con un módulo proyectivo de rango 1 también es un módulo dualizante. Sin embargo, esta es la única forma en la que el módulo dualizante no es único: dados dos módulos dualizantes, uno es isomorfo al producto tensorial del otro con un módulo proyectivo de rango 1. En particular, si el anillo es local, el módulo dualizante es único salvo que exista isomorfismo.
Un anillo noetheriano no tiene necesariamente un módulo dualizante. Cualquier anillo con un módulo dualizante debe ser de Cohen-Macaulay . Por el contrario, si un anillo de Cohen-Macaulay es un cociente de un anillo de Gorenstein , entonces tiene un módulo dualizante. En particular, cualquier anillo de Cohen-Macaulay local completo tiene un módulo dualizante. Para anillos sin un módulo dualizante, a veces es posible utilizar el complejo dualizante como sustituto.
Si R es un anillo de Gorenstein, entonces R considerado como un módulo sobre sí mismo es un módulo dualizante.
Si R es un anillo local artiniano , entonces el módulo Matlis de R (la envoltura inyectiva del campo de residuos) es el módulo dualizante.
El anillo local artiniano R = k [ x , y ]/( x 2 , y 2 , xy ) tiene un módulo dualizador único, pero no es isomorfo a R .
El anillo Z [ √ –5 ] tiene dos módulos dualizantes no isomorfos, correspondientes a las dos clases de ideales invertibles.
El anillo local k [ x , y ]/( y 2 , xy ) no es Cohen-Macaulay, por lo que no tiene un módulo dualizante.