La controversia Brouwer-Hilbert ( en alemán : Grundlagenstreit , lit. 'debate fundacional') fue un debate en las matemáticas del siglo XX sobre cuestiones fundamentales acerca de la consistencia de los axiomas y el papel de la semántica y la sintaxis en las matemáticas. LEJ Brouwer , un defensor de la escuela constructivista del intuicionismo , se opuso a David Hilbert , un defensor del formalismo . Gran parte de la controversia tuvo lugar mientras ambos estaban involucrados en Mathematische Annalen , la revista matemática líder de la época, con Hilbert como editor en jefe y Brouwer como miembro de su consejo editorial. En 1928, Hilbert hizo que Brouwer fuera eliminado del consejo editorial de Mathematische Annalen .
La controversia comenzó con la axiomatización de la geometría por parte de Hilbert a finales de la década de 1890. En su biografía de Kurt Gödel , John W. Dawson, Jr. , observó que "partidarios de tres posiciones filosóficas principales tomaron parte en el debate" [1] : estos tres eran los logicistas ( Gottlob Frege y Bertrand Russell ), los formalistas ( David Hilbert y sus colegas) y los constructivistas ( Henri Poincaré y Hermann Weyl ); dentro de esta escuela constructivista estaba el autodenominado "intuicionista" radical LEJ Brouwer .
Brouwer fundó la filosofía matemática del intuicionismo como un desafío al formalismo prevaleciente de David Hilbert y sus colegas, Paul Bernays , Wilhelm Ackermann , John von Neumann y otros. [2] Como una variedad de matemáticas constructivas , el intuicionismo es una filosofía de los fundamentos de las matemáticas que rechaza la ley del tercero excluido en el razonamiento matemático.
Después de completar su tesis, Brouwer decidió no compartir su filosofía hasta que hubiera establecido su carrera. En 1910, había publicado una serie de artículos importantes, en particular el teorema del punto fijo . Hilbert admiraba a Brouwer y lo ayudó a recibir un nombramiento académico regular en 1912 en la Universidad de Ámsterdam. [3] Después de establecerse, Brouwer decidió volver al intuicionismo. [3] A finales de la década de 1920, Brouwer se vio involucrado en una controversia pública con Hilbert sobre la política editorial de Mathematische Annalen , en ese momento una importante revista erudita . [4] Se volvió relativamente aislado; el desarrollo del intuicionismo en su origen fue retomado por su estudiante Arend Heyting .
La naturaleza de la prueba del teorema de la base de Hilbert de 1888 fue controvertida. Aunque Leopold Kronecker , un constructivista, había admitido, Hilbert respondería más tarde a críticas similares de otros que "muchas construcciones diferentes están subsumidas bajo una idea fundamental"; en otras palabras (para citar a la biógrafa de Hilbert, Constance Reid ): "A través de una prueba de existencia, Hilbert había podido obtener una construcción"; "la prueba" (es decir, los símbolos en la página) era "el objeto". [5]
Brouwer no estaba convencido y, en particular, se opuso al uso de la ley del medio excluido sobre conjuntos infinitos. Hilbert respondió: "Tomar el principio del medio excluido del matemático... es lo mismo que... prohibirle al boxeador el uso de sus puños". [6]
En un discurso pronunciado en 1927, Hilbert intentó defender su sistema axiomático como poseedor de "importante significado filosófico general". [1] Hilbert considera que su sistema no admite suposiciones tácitas , y afirma: "Después de todo, es parte de la tarea de la ciencia liberarnos de la arbitrariedad, el sentimiento y el hábito y protegernos del subjetivismo que... encuentra su culminación en el intuicionismo". [1]
Más adelante en el discurso, Hilbert trata el rechazo de la ley del tercio excluido : "El desafío más agudo y apasionado del intuicionismo es el que lanza a la validez del principio del tercio excluido..." [1] Rechazar la ley del tercio excluido, tal como se extiende sobre el infinito completo de Cantor , implica rechazar el sistema axiomático de Hilbert, en particular su "axioma lógico ε". [2]
Finalmente, Hilbert señaló a Brouwer, por implicación más que por su nombre, como la causa de su actual tribulación: "Me sorprende que un matemático pueda dudar de que el principio del tercero excluido sea estrictamente válido como modo de inferencia ... Me sorprende aún más que, como parece, se haya constituido así toda una comunidad de matemáticos que hacen lo mismo. Me sorprende sobre todo el hecho de que incluso en círculos matemáticos, el poder de sugestión de un solo hombre, por muy lleno de temperamento e inventiva que sea, sea capaz de tener los efectos más improbables y excéntricos". [3]
Brouwer respondió a esto diciendo: "El formalismo no ha recibido más que beneficios del intuicionismo y puede esperar más beneficios. Por lo tanto, la escuela formalista debería otorgar algún reconocimiento al intuicionismo en lugar de polemizar contra él en tonos despectivos y sin siquiera observar la mención adecuada de la autoría". [4]
Hasta que Hilbert propuso su formalismo, los axiomas de las matemáticas se elegían de forma intuitiva en un intento de utilizar las matemáticas para encontrar la verdad. La lógica aristotélica es un ejemplo de ello: parece "lógico" que un objeto tenga una propiedad establecida (por ejemplo, "este camión es amarillo") o que no tenga esa propiedad ("este camión no es amarillo"), pero no ambas simultáneamente (la ley aristotélica de no contradicción). La forma primitiva del axioma de inducción es otro ejemplo: si un predicado P(n) es verdadero para n = 0 y para todos los números naturales n, si P(n) es verdadero implica que P(n+1) es verdadero, entonces P(n) es verdadero para todos los números naturales n.
El sistema axiomático de Hilbert es diferente. En el comienzo declara sus axiomas [7], y cualquier colección (arbitraria, abstracta) de axiomas es libre de ser elegida. Weyl criticó la formalización de Hilbert, diciendo que transformaba las matemáticas "de un sistema de resultados intuitivos a un juego con fórmulas que procede de acuerdo con reglas fijas" y preguntó qué podría guiar la elección de estas reglas. Weyl concluyó que "la consistencia es de hecho una condición necesaria pero no suficiente" y afirmó "Si la visión de Hilbert prevalece sobre el intuicionismo, como parece ser el caso, entonces veo en esto una derrota decisiva de la actitud filosófica de la fenomenología pura , que así demuestra ser insuficiente para la comprensión de la ciencia creativa incluso en el área de la cognición que es más primaria y más abierta a la evidencia: las matemáticas". [8]
Cantor (1897) extendió la noción intuitiva de “lo infinito” –un pie colocado detrás del otro en una marcha sin fin hacia el horizonte– a la noción de “un infinito completado” –la llegada “hasta el final, hasta allá lejos” de un solo golpe– y simbolizó esta noción con un solo signo ℵ 0 (aleph-nulo). La adopción de la noción por parte de Hilbert en su conjunto fue “irreflexiva”, afirmó Brouwer. Brouwer en sus "Reflexiones intuicionistas sobre el formalismo" (1927a) afirma: "SEGUNDA IDEA. El rechazo del uso irreflexivo del principio lógico del tercio excluido, así como el reconocimiento, en primer lugar, del hecho de que la investigación de la cuestión de por qué el principio mencionado está justificado y en qué medida es válido constituye un objeto esencial de investigación en los fundamentos de las matemáticas, y, en segundo lugar, del hecho de que en las matemáticas intuitivas (de contenido) este principio es válido sólo para sistemas finitos. TERCERA IDEA. La identificación del principio del tercio excluido con el principio de la resolubilidad de todo problema matemático". [9]
Esta tercera intuición se refiere al segundo problema de Hilbert y al intento permanente de Hilbert de axiomatizar toda la aritmética y, con este sistema, descubrir una "prueba de consistencia" para todas las matemáticas (véase más abajo). Así que Brouwer se lanzó de cabeza a esta batalla (iniciada por Poincaré), con Weyl como respaldo.
Su primera queja (la segunda intuición de Brouwer, arriba) surgió de la extensión que Hilbert hizo de la "Ley del tercero excluido" (y la "doble negación") de Aristóteles –hasta entonces restringida a dominios finitos del discurso aristotélico– a dominios infinitos del discurso [10] ". A finales de la década de 1890, Hilbert axiomatizó la geometría. [11] Luego pasó a utilizar la noción de inspiración cantoriana del infinito completo para producir pruebas elegantes y radicalmente abreviadas en análisis (1896 y después). [12] En sus propias palabras de defensa, Hilbert se creía justificado en lo que había hecho (en lo que sigue llama a este tipo de prueba una prueba de existencia): "... establecí un teorema general (1896) sobre formas algebraicas que es un enunciado de existencia puro y por su propia naturaleza no puede transformarse en un enunciado que implique constructibilidad. "Solamente mediante el uso de este teorema de existencia evité la argumentación larga y poco clara de Weierstrass y los cálculos altamente complicados de Dedekind, y además, creo que sólo mi prueba descubre la razón interna de la validez de las afirmaciones esbozadas por Gauss [13] y formuladas por Weierstrass y Dedekind." [14] "El valor de las pruebas de existencia puras consiste precisamente en que la construcción individual es eliminada por ellas y que muchas construcciones diferentes son subsumidas bajo una idea fundamental, de modo que sólo lo que es esencial para la prueba se destaca claramente; la brevedad y la economía de pensamiento son la razón de ser de las pruebas de existencia." [15]
A lo que Hilbert tuvo que renunciar fue a la "constructibilidad". Sus pruebas no producirían "objetos" (excepto las pruebas mismas, es decir, cadenas de símbolos), sino que producirían contradicciones de las premisas y tendrían que proceder por reductio ad absurdum extendido al infinito.
Brouwer consideraba que esta pérdida de constructibilidad era mala, pero era peor cuando se aplicaba a una "prueba de consistencia" generalizada para todas las matemáticas. En su discurso de 1900, Hilbert había especificado, como el segundo de sus 23 problemas para el siglo XX, la búsqueda de una prueba generalizada de (un procedimiento para determinar) la consistencia de los axiomas de la aritmética. Hilbert, a diferencia de Brouwer, creía que la noción formalizada de inducción matemática podía aplicarse en la búsqueda de la prueba de consistencia generalizada .
Una consecuencia de esta maravillosa demostración/procedimiento P sería la siguiente: dado cualquier teorema matemático arbitrario T (fórmula, procedimiento, demostración) aplicado a P (por tanto, P(T)), incluido el propio P (por tanto, P(P)), P determinaría de manera concluyente si el teorema T (y P) es demostrable o no , es decir, derivable de sus premisas, los axiomas de la aritmética. Por tanto, para todo T, T sería demostrable por P o no demostrable por P y bajo todas las condiciones (es decir, para cualquier asignación de valores numéricos a las variables de T). Esta es una ilustración perfecta del uso de la Ley del Tercero Excluido extendida sobre el infinito, de hecho extendida dos veces : primero sobre todos los teoremas (fórmulas, procedimientos, demostraciones) y segundo para un teorema dado, para toda asignación de sus variables. Este punto, que Hilbert pasó por alto, le fue señalado por primera vez por Poincaré y más tarde por Weyl en sus comentarios de 1927 sobre la conferencia de Hilbert: "Después de todo, Hilbert, también, no se ocupa simplemente de, digamos, 0' o 0' ', sino de cualquier 0' ... ', de un numeral dado de manera concreta y arbitraria . Aquí se puede enfatizar lo "dado de manera concreta"; por otro lado, es igualmente esencial que los argumentos de contenido en la teoría de la prueba se lleven a cabo en generalidad hipotética , sobre cualquier prueba, sobre cualquier numeral... Me parece que la teoría de la prueba de Hilbert muestra que Poincaré tenía toda la razón en este punto". [16]
En su discusión previa a los comentarios de Weyl en 1927, van Heijenoort explica que Hilbert insistió en que había abordado la cuestión de "si una fórmula, tomada como un axioma, conduce a una contradicción, la cuestión es si se me puede presentar una prueba que conduzca a una contradicción". [17]
Si la búsqueda tuviera éxito, se obtendría un resultado notable: dada una prueba generalizada de este tipo, todas las matemáticas podrían ser reemplazadas por un autómata que constara de dos partes: (i) un generador de fórmulas para crear fórmulas una tras otra, seguido de (ii) la prueba de consistencia generalizada, que arrojaría “Sí – válido (es decir, demostrable)” o “No – no válido (no demostrable)” para cada fórmula que se le presentara (y cada posible asignación de números a sus variables). En otras palabras: las matemáticas dejarían de ser una empresa creativa y se convertirían en una máquina. [19]
En el comentario de van Heijenoort que precede a los "Comentarios a la segunda conferencia de Hilbert sobre los fundamentos de las matemáticas" de Weyl (1927), Poincaré señala a Hilbert (1905) que hay dos tipos de "inducción": (1) la versión intuitiva de la lógica animal, pie tras pie, que nos da la sensación de que siempre hay otro paso después del último, y (2) la versión formal, por ejemplo, la versión de Peano: una cadena de símbolos. [20] La pandilla de los tres -Poincaré, Weyl y Brouwer- afirmó que Hilbert adoptó tácitamente, e injustificadamente, como una de sus premisas la inducción formal (la cadena de símbolos de Kleen). Poincaré (1905) afirmó que, al hacer esto, el razonamiento de Hilbert se volvió circular. [21] El acuerdo de Weyl (1927) y las polémicas de Brouwer finalmente obligaron a Hilbert y a sus discípulos Herbrand, Bernays y Ackermann a reexaminar su noción de "inducción" –para evitar el supuesto de una "totalidad de todos los objetos x de una colección infinita" y (intuicionistamente) asumir que el argumento general procede un x después de otro, ad infinitum (van Heijenoort p. 481, nota a). De hecho, este es el llamado "esquema de inducción" utilizado en la noción de "recursión" que todavía estaba en desarrollo en ese momento (van Heijenoort p. 493). [22] Este esquema era aceptable para los intuicionistas porque había sido derivado de "la intuición".
Para llevar esta distinción más allá, Kleene 1952/1977 distingue entre tres tipos de inducción matemática: (1) la regla de inducción formal (el axioma de Peano, véase la siguiente sección para un ejemplo); (2) la definición inductiva (ejemplos: conteo, "prueba por inducción"); y (3) la definición por inducción (definición recursiva de "funciones o predicados de teoría de números"). Con respecto a (3), Kleene considera las funciones recursivas primitivas :
"una teoría intuitiva sobre una cierta clase de funciones y predicados teóricos de números... En esta teoría, como en las metamatemáticas, utilizaremos únicamente métodos finitarios.
La serie de los números naturales 0, 0', 0 ' ' , 0 ' ' ' , ..., o bien 0, 1, 2, 3, ... la hemos descrito como la clase de los objetos generados a partir de un objeto primitivo 0 mediante una operación primitiva ' o +1. Esto constituye una definición inductiva de la clase de los números naturales.
La demostración por inducción... corresponde inmediatamente a este modo de generar los números. La definición por inducción (que no debe confundirse con la "definición inductiva"...) es el método análogo de definir una función o predicado numérico φ(y) o un predicado P(y). [Una función o predicado numérico toma como variables sólo una selección de los números naturales y produce sólo un único número natural a su vez]. Primero se da φ(0) o P(0) (el valor de la función o predicado para 0 como argumento). Luego, para cualquier número natural y, φ(y') o P(y') (el siguiente valor después de ese para y) se expresa en términos de y y φ(y) o P(y) (el valor de y). ... Las dos partes de la definición nos permiten, al generar cualquier número natural y, determinar al mismo tiempo el valor φ(y) o P(y)." (p. 217)
La insistencia de Brouwer en la "constructibilidad" en la búsqueda de una "prueba de consistencia para la aritmética" resultó en una sensibilidad hacia el tema, como se refleja en el trabajo de Finsler y Gödel. [23] Finalmente, Gödel "numeralizaría" sus fórmulas; Gödel entonces utilizó la recursión primitiva (y su instanciación de la forma intuitiva y constructiva de inducción, es decir, conteo y evaluación paso a paso) en lugar de una cadena de símbolos que representan la inducción formal. Gödel era tan sensible a este tema que se esforzó mucho en su artículo de 1931 para señalar que su Teorema VI (el llamado "Primer teorema de incompletitud") "es constructivo; 45a es decir, lo siguiente ha sido demostrado de una manera intuicionistamente inobjetable...". Luego demuestra lo que él cree que es la naturaleza constructiva de su "fórmula de generalización" 17 Gen r. La nota al pie 45a refuerza su punto.
El artículo de Gödel de 1931 incluye la versión simbólica formalista del axioma de inducción de Peano; se ve así, donde "." es el AND lógico, f es el signo sucesor, x 2 es una función, x 1 es una variable, x 1 Π designa "para todos los valores de la variable x 1 " y denota implicación:
Pero no parece utilizar esto en el sentido formalista.
Obsérvese que existe cierta controversia en torno a este punto. Gödel especifica esta cadena de símbolos en su I.3. [24] , es decir, el axioma inductivo formalizado aparece como se muestra arriba – sin embargo, incluso esta cadena puede ser “numeralizada” usando el método de Gödel. Por otro lado, no parece usar este axioma. Más bien, su recursión recorre los enteros asignados a la variable k (cf su (2) en la página 602). Su prueba esquemática del Teorema V, sin embargo, “usa la inducción sobre el grado de φ”, y usa “la hipótesis de inducción”. Sin una prueba completa de esto, nos queda asumir que su uso de la “hipótesis de inducción” es la versión intuitiva, no el axioma simbólico. Su recursión simplemente aumenta el grado de las funciones, un acto intuitivo, ad infinitum . Pero Nagel y Newman señalan que las pruebas de Gödel son de naturaleza infinitaria, [25] no finitarias como Hilbert solicitaba (véase el segundo problema de Hilbert ), mientras que Gödel insistió en que son intuitivamente satisfactorias. No se trata de verdades incompatibles, siempre que la ley del medio excluido sobre el infinito completo no se invoque en ninguna parte de las pruebas.
A pesar de la abstracción continua de las matemáticas en la segunda mitad del siglo XX, [26] el problema no ha desaparecido por completo. He aquí dos ejemplos. En primer lugar, las premisas de un argumento –incluso las que se consideran más allá de cualquier cuestionamiento– siempre son un blanco válido. Un análisis minucioso de las premisas del trabajo de Turing de 1936-1937 llevó a Robin Gandy (1980) a proponer sus "principios para mecanismos" que incluyen la velocidad de la luz como una restricción. En segundo lugar, Breger (2000) en su "Conocimiento tácito y progreso matemático" profundiza en la cuestión de la "semántica versus sintaxis" –en su artículo Hilbert, Poincaré, Frege y Weyl hacen su aparición debidamente. Breger afirma que las pruebas axiomáticas presuponen una mente pensante y experimentada. En concreto, afirma que una mente debe llegar al argumento equipada con un conocimiento previo de los símbolos y su uso (la semántica detrás de la sintaxis sin mente): "Las matemáticas como un sistema puramente formal de símbolos sin que un ser humano posea el conocimiento para tratar con los símbolos son imposibles [según el químico Polanyi (1969, 195), el ideal de una forma de conocimiento que sea estrictamente explícita es contradictorio porque sin conocimiento tácito todas las fórmulas, palabras e ilustraciones perderían sentido]" (entre corchetes en el original, Breger 2000: 229).
Un estudio serio de esta controversia se puede encontrar en la Introducción a las metamatemáticas de Stephen Kleene , particularmente en el Capítulo III: Una crítica del razonamiento matemático. Analiza §11. Las paradojas , §12. Primeras inferencias a partir de las paradojas [definiciones impredicativas, logicismo, etc.], §13. Intuicionismo , §14. Formalismo , §15. Formalización de una teoría . Kleene toma el debate en serio, y a lo largo de su libro construye de hecho los dos "sistemas formales" (por ejemplo, en la página 119 muestra leyes lógicas, como la doble negación, que no están permitidas en el sistema intuicionista).
