Métrica de Hilbert

Función de distancia

En matemáticas , la métrica de Hilbert , también conocida como métrica proyectiva de Hilbert , es una función de distancia definida explícitamente en un subconjunto convexo acotado del espacio euclidiano n -dimensional R ⁿ . Fue introducido por David Hilbert  (1895) como una generalización de la fórmula de Cayley para la distancia en el modelo de geometría hiperbólica de Cayley-Klein , donde el conjunto convexo es la bola unitaria abierta de n dimensiones . La métrica de Hilbert se ha aplicado a la teoría de Perron-Frobenius y a la construcción de espacios hiperbólicos de Gromov .

Definición

Sea Ω un dominio abierto convexo en un espacio euclidiano que no contiene una línea. Dados dos puntos distintos A y B de Ω, sean X e Y los puntos en los que la recta AB intersecta el límite de Ω, donde el orden de los puntos es X , A , B , Y. Entonces la distancia de Hilbert d ( A ,  B ) es el logaritmo de la razón cruzada de este cuádruple de puntos:

${\displaystyle d(A,B)=\log \left({\frac {|YA|}{|YB|}}{\frac {|XB|}{|XA|}}\right).}$

La función d se extiende a todos los pares de puntos dejando d ( A ,  A ) = 0 y define una métrica en Ω. Si uno de los puntos A y B se encuentra en el límite de Ω, entonces d puede definirse formalmente como +∞, correspondiente a un caso límite de la fórmula anterior cuando uno de los denominadores es cero.

Una variante de esta construcción surge para un cono convexo cerrado K en un espacio de Banach V (posiblemente de dimensión infinita). Además, se supone que el cono K es puntiagudo , es decir, K  ∩ (− K ) = {0} y, por lo tanto, K determina un orden parcial en V. Dados cualesquiera vectores v y w en K  \ {0}, primero se define ${\displaystyle \leq _{K}}$

${\displaystyle M(v/w)=\inf\{\lambda :v\leq _{K}\lambda w\},\quad m(v/w)=\sup\{\mu :\mu w\leq _{K}v\}.}$

La pseudométrica de Hilbert en K  \ {0} se define entonces mediante la fórmula

${\displaystyle d(v,w)=\log {\frac {M(v/w)}{m(v/w)}}.}$

Es invariante bajo el cambio de escala de v y w por constantes positivas y, por lo tanto, desciende a una métrica en el espacio de rayos de K , lo que se interpreta como la proyectivización de K (para que d sea finito, es necesario restringirlo al interior de K ). Además, si K  ⊂  R  ×  V es el cono sobre un conjunto convexo Ω,

${\displaystyle K=\{(t,tx):t\in \mathbb {R} ,x\in \Omega \},}$

entonces el espacio de rayos de K es canónicamente isomorfo a Ω. Si v y w son vectores en rayos en K correspondientes a los puntos A ,  B  ∈ Ω, entonces estas dos fórmulas para d producen el mismo valor de la distancia.

Ejemplos

• En el caso en que el dominio Ω sea una bola unitaria en R ⁿ , la fórmula para d coincide con la expresión para la distancia entre puntos en el modelo de geometría hiperbólica de Cayley-Klein , hasta una constante multiplicativa.
• Si el cono K es el ortante positivo en R ^n, entonces la métrica inducida sobre la proyectivización de K a menudo se denomina simplemente métrica proyectiva de Hilbert . Este cono corresponde a un dominio Ω que es un símplex regular de dimensión  n  − 1.

Motivación y aplicaciones.

• Hilbert introdujo su métrica para construir una geometría métrica axiomática en la que existen triángulos ABC cuyos vértices A , B , C no son colineales , pero uno de los lados es igual a la suma de los otros dos; se deduce que el camino más corto conectar dos puntos no es único en esta geometría. En particular, esto sucede cuando el conjunto convexo Ω es un triángulo euclidiano y las extensiones de recta de los segmentos AB , BC , AC no tocan el interior de uno de los lados de Ω.
• Garrett Birkhoff utilizó la métrica de Hilbert y el principio de contracción de Banach para volver a derivar el teorema de Perron-Frobenius en álgebra lineal de dimensión finita y sus análogos para operadores integrales con núcleos positivos. Las ideas de Birkhoff se han desarrollado y utilizado para establecer varias generalizaciones no lineales del teorema de Perron-Frobenius, que han encontrado usos significativos en informática, biología matemática, teoría de juegos, teoría de sistemas dinámicos y teoría ergódica.
• Generalizando resultados anteriores de Anders Karlsson y Guennadi Noskov, Yves Benoist determinó un sistema de condiciones necesarias y suficientes para que un dominio convexo acotado en R ⁿ , dotado con su métrica de Hilbert, fuera un espacio hiperbólico de Gromov .
• C. Vernicos y C. Walsh demostraron que las bolas en la métrica de Hilbert y las bolas asintóticas son aproximadamente equivalentes hasta factores constantes.
• C. Vernicos y C. Walsh, luego ampliados por David Mount y Ahmed Abdelkader, demostraron que las bolas en las regiones Hilbert Metric y Macbeath son aproximadamente equivalentes hasta factores constantes.

Referencias

• de la Harpe, Pierre (1993). "Sobre la métrica de Hilbert". En Graham Niblo; Martín Roller (eds.). Teoría de grupos geométricos, volumen 1 . Notas de conferencias de la serie de matemáticas de Londres. vol. 1. Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 97-119. doi :10.1017/CBO9780511661860.009. SEÑOR  1238518.
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