Infraestructura (teoría de números)

Estructura tipo grupo que aparece en campos globales.

En matemáticas , una infraestructura es una estructura similar a un grupo que aparece en campos globales .

Desarrollo histórico

En 1972, D. Shanks descubrió por primera vez la infraestructura de un campo numérico cuadrático real y aplicó su algoritmo de paso gigante para calcular el regulador de dicho campo en operaciones binarias (para cada ), donde está el discriminante del campo cuadrático. ; Los métodos anteriores requerían operaciones binarias. ^[1] Diez años más tarde, HW Lenstra publicó ^[2] un marco matemático que describe la infraestructura de un campo numérico cuadrático real en términos de "grupos circulares". También fue descrito por R. Schoof ^[3] y HC Williams, ^[4] y posteriormente ampliado por HC Williams, GW Dueck y BK Schmid a ciertos campos numéricos cúbicos de rango unitario uno ^{[5] [6]} y por J. Buchmann. y HC Williams a todos los campos numéricos de la unidad de rango uno. ^[7] En su tesis de habilitación , J. Buchmann presentó un algoritmo de paso gigante para calcular el regulador de un campo numérico de rango unitario arbitrario . ^[8] La primera descripción de infraestructuras en campos numéricos de rango unitario arbitrario fue dada por R. Schoof utilizando divisores de Arakelov en 2008. ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D^{1/4+\varepsilon })}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D^{1/2+\varepsilon })}$

La infraestructura también se describió para otros campos globales , concretamente para campos de funciones algebraicas sobre campos finitos . Esto lo hicieron por primera vez A. Stein y HG Zimmer en el caso de campos funcionales hiperelípticos reales. ^[10] R. Scheidler y A. Stein lo ampliaron a ciertos campos funcionales cúbicos de rango unitario uno. ^{[11] [12]} En 1999, S. Paulus y H.-G. Rück relacionó la infraestructura de un campo de función cuadrática real con el grupo de clases divisor. ^[13] Esta conexión se puede generalizar a campos funcionales arbitrarios y, combinándolos con los resultados de R. Schoof, a todos los campos globales. ^[14]

Caso unidimensional

Definición abstracta

Una infraestructura unidimensional (abstracta) consta de un número real , un conjunto finito junto con un mapa inyectivo . ^[15] El mapa a menudo se llama mapa de distancias . ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle R>0}$ ${\displaystyle X\neq \emptyset }$ ${\displaystyle d:X\to \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle d}$

Al interpretarlo como un círculo de circunferencia e identificarlo con , uno puede ver una infraestructura unidimensional como un círculo con un conjunto finito de puntos. ${\displaystyle \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d(X)}$

Pequeños pasos

Un pequeño paso es una operación unaria en una infraestructura unidimensional . Visualizando la infraestructura como un círculo, un pequeño paso asigna cada punto del siguiente. Formalmente, se puede definir esto asignándole al número real ; entonces, se puede definir . ${\displaystyle bs:X\to X}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle d(X)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f_{x}:=\inf\{f'>0\mid d(x)+f'\in d(X)\}}$ ${\displaystyle bs(x):=d^{-1}(d(x)+f_{x})}$

Pasos gigantes y mapas de reducción.

Observando que es naturalmente un grupo abeliano , se puede considerar la suma de . En general, este no es un elemento de . Pero en su lugar, se puede tomar un elemento que se encuentra cerca . Para formalizar este concepto, supongamos que existe un mapa ; luego, se puede definir para obtener una operación binaria , llamada operación de paso gigante . Tenga en cuenta que esta operación en general no es asociativa . ${\displaystyle \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle d(x)+d(y)\in \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle d(X)}$ ${\displaystyle d(X)}$ ${\displaystyle red:\mathbb {R} /R\mathbb {Z} \to X}$ ${\displaystyle gs(x,y):=red(d(x)+d(y))}$ ${\displaystyle gs:X\times X\to X}$

La principal dificultad es cómo elegir el mapa . Suponiendo que uno quiera tener la afección , queda un abanico de posibilidades. Una posible elección ^[15] se da de la siguiente manera: para , define ; entonces uno puede definir . Esta elección, que parece un tanto arbitraria, aparece de forma natural cuando se intenta obtener infraestructuras de ámbitos globales. ^[14] También son posibles otras opciones, por ejemplo, elegir un elemento que sea mínimo (aquí, significa , ya que tiene la forma ); Una posible construcción en el caso de campos de funciones hiperelípticas cuadráticas reales la dan SD Galbraith, M. Harrison y DJ Mireles Morales. ^[dieciséis] ${\displaystyle red}$ ${\displaystyle red\circ d=\mathrm {id} _{X}}$ ${\displaystyle v\in \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle f_{v}:=\inf\{f\geq 0\mid v-f\in d(X)\}}$ ${\displaystyle red(v):=d^{-1}(v-f_{v})}$ ${\displaystyle x\in d(X)}$ ${\displaystyle |d(x)-v|}$ ${\displaystyle |d(x)-v|}$ ${\displaystyle \inf\{|f-v|\mid f\in d(x)\}}$ ${\displaystyle d(x)}$ ${\displaystyle v+R\mathbb {Z} }$

Relación con campos cuadráticos reales

D. Shanks observó la infraestructura en campos de números cuadráticos reales cuando observaba ciclos de formas cuadráticas binarias reducidas . Tenga en cuenta que existe una estrecha relación entre la reducción de formas cuadráticas binarias y la expansión continua de fracciones ; un paso en la expansión fraccionaria continua de una cierta irracionalidad cuadrática da una operación unaria en el conjunto de formas reducidas, que recorre todas las formas reducidas en una clase de equivalencia. Al organizar todas estas formas reducidas en un ciclo, Shanks notó que se puede saltar rápidamente a formas reducidas más alejadas del comienzo del círculo componiendo dos de esas formas y reduciendo el resultado. Llamó a esta operación binaria en el conjunto de formas reducidas un paso de gigante , y a la operación para pasar a la siguiente forma reducida en el ciclo, un pequeño paso .

Relación con R / R z {\displaystyle \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }

El conjunto tiene un funcionamiento grupal natural y el funcionamiento de paso de gigante se define en términos del mismo. Por lo tanto, tiene sentido comparar la aritmética de la infraestructura con la aritmética de . Resulta que la operación grupal de puede describirse usando pasos gigantes y pequeños, representando elementos de por elementos de junto con un número real relativamente pequeño; esto ha sido descrito por primera vez por D. Hühnlein y S. Paulus ^[17] y por MJ Jacobson, Jr., R. Scheidler y HC Williams ^[18] en el caso de infraestructuras obtenidas a partir de campos de números cuadráticos reales. Usaron números de punto flotante para representar los números reales y llamaron a estas representaciones representaciones CRIAD resp. -representaciones. De manera más general, se puede definir un concepto similar para todas las infraestructuras unidimensionales; a veces se les llama representaciones. ^[15] ${\displaystyle \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (f,p)}$ ${\displaystyle f}$

Un conjunto de representaciones ${\displaystyle f}$ es un subconjunto de tal que el mapa es una biyección y eso para cada . Si es un mapa de reducción, es un conjunto de -representaciones; por el contrario, si es un conjunto de representaciones, se puede obtener un mapa de reducción estableciendo dónde está la proyección sobre $X$. Por lo tanto, los conjuntos de representaciones y mapas de reducción están en una correspondencia uno a uno . ${\displaystyle fRep}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \Psi _{fRep}:fRep\to \mathbb {R} /R\mathbb {Z} ,\;(x,f)\mapsto d(x)+f}$ ${\displaystyle (x,0)\in fRep}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle red:\mathbb {R} /R\mathbb {Z} \to X}$ ${\displaystyle fRep_{red}:=\{(x,f)\in X\times \mathbb {R} /R\mathbb {Z} \mid red(d(x)+f)=x\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle fRep}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle red(f)=\pi _{1}(\Psi _{fRep}^{-1}(f))}$ ${\displaystyle \pi _{1}:X\times \mathbb {R} /R\mathbb {Z} \to X,\;(x,f)\mapsto x}$ ${\displaystyle f}$

Usando la biyección , uno puede detener la operación del grupo en , convirtiéndose así en un grupo abeliano por , . En ciertos casos, esta operación de grupo se puede describir explícitamente sin usar y . ${\displaystyle \Psi _{fRep}:fRep\to \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle fRep}$ ${\displaystyle fRep}$ ${\displaystyle (fRep,+)}$ ${\displaystyle x+y:=\Psi _{fRep}^{-1}(\Psi _{fRep}(x)+\Psi _{fRep}(y))}$ ${\displaystyle x,y\in fRep}$ ${\displaystyle \Psi _{fRep}}$ ${\displaystyle d}$

En caso de que se utilice el mapa de reducción , se obtiene . Dado , se puede considerar con y ; En general, esto no es un elemento de , pero se puede reducir de la siguiente manera: se calcula y ; en caso de que este último no sea negativo, se reemplaza por y continúa. Si el valor fuera negativo, se tiene eso y aquello , es decir . ${\displaystyle red:\mathbb {R} /R\mathbb {Z} \to X,\;v\mapsto d^{-1}(v-\inf\{f\geq 0\mid v-f\in d(X)\})}$ ${\displaystyle fRep_{red}=\{(x,f)\mid f\geq 0,\;\forall f'\in [0,f):d(x)+f'\not \in d(X)\}}$ ${\displaystyle (x,f),(x',f')\in fRep_{red}}$ ${\displaystyle (x'',f'')}$ ${\displaystyle x''=gs(x,x')}$ ${\displaystyle f''=f+f'+(d(x)+d(x')-d(gs(x,x')))\geq 0}$ ${\displaystyle fRep_{red}}$ ${\displaystyle bs^{-1}(x'')}$ ${\displaystyle f''-(d(x'')-d(bs^{-1}(x'')))}$ ${\displaystyle (x'',f'')}$ ${\displaystyle (bs^{-1}(x''),f''-(d(x'')-d(bs^{-1}(x''))))}$ ${\displaystyle (x'',f'')\in fRep_{red}}$ ${\displaystyle \Psi _{fRep_{red}}(x,f)+\Psi _{fRep_{red}}(x',f')=\Psi _{fRep_{red}}(x'',f'')}$ ${\displaystyle (x,f)+(x',f')=(x'',f'')}$

Referencias

1. D. Shanks: La infraestructura de un campo cuadrático real y sus aplicaciones. Actas de la Conferencia de Teoría de Números (Univ. Colorado, Boulder, Colorado, 1972), págs. Universidad de Colorado, Boulder, 1972. Señor 389842
2. HW Lenstra Jr.: Sobre el cálculo de reguladores y números de clase de campos cuadráticos. Días de teoría de números, 1980 (Exeter, 1980), 123–150, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 56, Cambridge University Press, Cambridge, 1982. SEÑOR 697260
3. RJ Schoof: campos cuadráticos y factorización. Métodos computacionales en teoría de números, Parte II, 235–286, Matemáticas. Center Tracts, 155, Matemáticas. Centrum, Ámsterdam, 1982. Señor 702519
4. HC Williams: fracciones continuas y cálculos de teoría de números. Teoría de números (Winnipeg, Man., 1983). Montañas Rocosas J. Matemáticas. 15 (1985), núm. 2, 621–655. Señor 823273
5. HC Williams, GW Dueck, BK Schmid: un método rápido para evaluar el regulador y el número de clase de un campo cúbico puro. Matemáticas. comp. 41 (1983), núm. 163, 235–286. Señor 701638
6. GW Dueck, HC Williams: Cálculo del número de clase y grupo de clases de un campo cúbico complejo. Matemáticas. comp. 45 (1985), núm. 171, 223–231. Señor 790655
7. J. Buchmann, HC Williams: Sobre la infraestructura de la clase ideal principal de un campo numérico algebraico de rango unitario. Matemáticas. comp. 50 (1988), núm. 182, 569–579. Señor 929554
8. J. Buchmann: Zur Komplexität der Berechnung von Einheiten und Klassenzahlen algebraischer Zahlkörper. Habilitationsschrift, Düsseldorf, 1987. PDF
9. R. Schoof: Informática de grupos de clases de Arakelov. (Resumen en inglés) Teoría algorítmica de números: celosías, campos numéricos, curvas y criptografía, 447–495, Matemáticas. Ciencia. Res. Inst. Publ., 44, Cambridge University Press, 2008. MR 2467554 PDF
10. A. Stein, HG Zimmer: Un algoritmo para determinar el regulador y la unidad fundamental del campo funcional de congruencia hiperelíptica. En "Actas del Simposio Internacional de 1991 sobre Computación Simbólica y Algebraica, ISSAC '91", Association for Computing Machinery, (1991), 183–184.
11. R. Scheidler, A. Stein: Cálculo de unidades en campos de funciones puramente cúbicas de rango unitario 1. (Resumen en inglés) Teoría algorítmica de números (Portland, OR, 1998), 592–606, Lecture Notes in Comput. Sci., 1423, Springer, Berlín, 1998. Señor 1726104
12. R. Scheidler: Aritmética e infraestructura ideales en campos de funciones puramente cúbicas. (Resumen en inglés y francés) J. Théor. Nombres Burdeos 13 (2001), núm. 2, 609–631. Señor 1879675
13. S. Paulus, H.-G. Rück: Representaciones cuadráticas reales e imaginarias de campos funcionales hiperelípticos. (Resumen en inglés) Matemáticas. comp. 68 (1999), núm. 227, 1233–1241. Señor 1627817
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