Cubo de Bhargava

Cubo de Bhargava con los números enteros a , b , c , d , e , f , g , h en las esquinas

En matemáticas , en teoría de números , un cubo de Bhargava (también llamado cubo de Bhargava ) es una configuración que consiste en ocho números enteros colocados en las ocho esquinas de un cubo . ^[1] Esta configuración fue ampliamente utilizada por Manjul Bhargava , un matemático canadiense-estadounidense ganador de la Medalla Fields , para estudiar las leyes de composición de las formas cuadráticas binarias y otras formas similares. A cada par de caras opuestas de un cubo de Bhargava se le puede asociar una forma cuadrática binaria entera , obteniendo así tres formas cuadráticas binarias correspondientes a los tres pares de caras opuestas del cubo de Bhargava. ^[2] Estas tres formas cuadráticas tienen todas el mismo discriminante y Manjul Bhargava demostró que su composición en el sentido de Gauss ^[3] es el elemento identidad en el grupo asociado de clases de equivalencia de formas cuadráticas binarias primitivas. (Esta formulación de la composición de Gauss probablemente se debió por primera vez a Dedekind.) ^[4] Usando esta propiedad como punto de partida para una teoría de composición de formas cuadráticas binarias, Manjul Bhargava pasó a definir catorce leyes de composición diferentes usando un cubo.

Formas cuadráticas binarias enteras

Una expresión de la forma , donde a , b y c son números enteros fijos y x e y son números enteros variables, se denomina forma cuadrática binaria entera. El discriminante de la forma se define como ${\displaystyle Q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$

${\displaystyle D=b^{2}-4ac.}$

Se dice que la forma es primitiva si los coeficientes a , b , c son primos entre sí. Dos formas

${\displaystyle Q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2},\quad Q^{\prime }(x,y)=a^{\prime }x^{2}+b^{\prime }xy+c^{\prime }y^{2}}$

Se dice que son equivalentes si existe una transformación

${\displaystyle x\mapsto \alpha x+\beta y,\quad y\mapsto \gamma x+\delta y}$

con coeficientes enteros que satisfacen que se transforma en . Esta relación es de hecho una relación de equivalencia en el conjunto de formas cuadráticas binarias enteras y preserva los discriminantes y la primitividad. ${\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma =1}$ ${\displaystyle Q(x,y)}$ ${\displaystyle Q^{\prime }(x,y)}$

Composición gaussiana de formas cuadráticas binarias enteras

Sean y dos formas cuadráticas binarias primitivas que tienen el mismo discriminante y sean las clases de equivalencia correspondientes de las formas y . Se pueden encontrar números enteros tales que ${\displaystyle Q(x,y)}$ ${\displaystyle Q^{\prime }(x,y)}$ ${\displaystyle [Q(x,y)]}$ ${\displaystyle [Q^{\prime }(x,y)]}$ ${\displaystyle p,q,r,s,p^{\prime },q^{\prime },r^{\prime },s^{\prime },a^{\prime \prime },b^{\prime \prime },c^{\prime \prime }}$

${\displaystyle X=px_{1}x_{2}+qx_{1}y_{2}+ry_{1}x_{2}+sy_{1}y_{2}}$

${\displaystyle Y=p^{\prime }x_{1}x_{2}+q^{\prime }x_{1}y_{2}+r^{\prime }y_{1}x_{2}+s^{\prime }y_{1}y_{2}}$

${\displaystyle Q^{\prime \prime }(x,y)=a^{\prime \prime }x^{2}+b^{\prime \prime }xy+c^{\prime \prime }y^{2}}$

${\displaystyle Q^{\prime \prime }(X,Y)=Q(x_{1},y_{1})Q^{\prime }(x_{2},y_{2})}$

La clase está determinada de forma única por las clases [ Q ( x , y )] y [ Q ^′ ( x , y )] y se denomina compuesta de las clases y . ^[3] Esto se indica escribiendo ${\displaystyle [Q^{\prime \prime }(x,y)]}$ ${\displaystyle [Q(x,y)]}$ ${\displaystyle [Q^{\prime }(x,y)]}$

${\displaystyle [Q^{\prime \prime }(x,y)]=[Q(x,y)]\ast [Q^{\prime }(x,y)]}$

El conjunto de clases de equivalencia de formas cuadráticas binarias primitivas que tienen un discriminante D dado es un grupo según la ley de composición descrita anteriormente. El elemento identidad del grupo es la clase determinada por la siguiente forma:

${\displaystyle Q_{Id}^{(D)}(x,y)={\begin{cases}x^{2}-{\frac {D}{4}}y^{2}&D\equiv 0{\pmod {4}}\\x^{2}+xy+{\frac {1-D}{4}}y^{2}&D\equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}}$

La inversa de la clase es la clase . ${\displaystyle [ax^{2}+hxy+by^{2}]}$ ${\displaystyle [ax^{2}-hxy+by^{2}]}$

Formas cuadráticas asociadas con el cubo de Bhargava

Sea ( M , N ) el par de matrices 2 × 2 asociadas a un par de caras opuestas de un cubo de Bhargava; las matrices están formadas de tal manera que sus filas y columnas corresponden a las aristas de las caras correspondientes. La forma cuadrática binaria entera asociada a este par de caras se define como

${\displaystyle Q=-\det(Mx+Ny)}$

La forma cuadrática también se define como

${\displaystyle Q=-\det(Mx-Ny)}$

Sin embargo, en lo que sigue se asumirá la primera definición.

Las tres formas

Sea el cubo formado por los números enteros a , b , c , d , e , f , g , h . Los pares de matrices asociadas con aristas opuestas se denotan por ( M ₁ , N ₁ ), ( M ₂ , N ₂ ) y ( M ₃ , N ₃ ). Las primeras filas de M ₁ , M ₂ y M ₃ son respectivamente [ a b ], [ a c ] y [ a e ]. Las aristas opuestas en la misma cara son las segundas filas. Las aristas correspondientes en las caras opuestas forman las filas de las matrices N ₁ , N ₂ , N ₃ (ver figura).

La forma Q₁

La forma cuadrática asociada a las caras definidas por las matrices (ver figura) es ${\displaystyle M_{1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}},N_{1}={\begin{bmatrix}e&f\\g&h\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle Q_{1}=-\det(M_{1}x+N_{1}y)=-(\det(M_{1})x^{2}+(ah+ed-bg-fc)xy+\det(N_{1})y^{2})}$

El discriminante de una forma cuadrática Q ₁ es

${\displaystyle D_{1}=(ah+ed-bg-fc)^{2}-4\det(M_{1})\det(N_{1}).}$

La forma Q₂

La forma cuadrática asociada a las caras definidas por las matrices (ver figura) es ${\displaystyle M_{2}={\begin{bmatrix}a&c\\e&g\end{bmatrix}},N_{2}={\begin{bmatrix}b&d\\f&h\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle Q_{2}=-\det(M_{2}x+N_{2}y)=-(\det(M_{2})x^{2}+(ah+bg-fc-ed)xy+\det(N_{2})y^{2})}$

El discriminante de una forma cuadrática Q ₂ es

${\displaystyle D_{2}=(ah+bg-fc-ed)^{2}-4\det(M_{2})\det(N_{2}).}$

La forma Q₃

La forma cuadrática asociada a las caras definidas por las matrices (ver figura) es ${\displaystyle M_{3}={\begin{bmatrix}a&e\\b&f\end{bmatrix}},N_{3}={\begin{bmatrix}c&g\\d&h\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle Q_{3}=-\det(M_{3}x+N_{3}y)=-(\det(M_{3})x^{2}+(ah+fc-ed-bg)xy+\det(N_{3})y^{2})}$

El discriminante de una forma cuadrática Q ₃ es

${\displaystyle D_{3}=(ah+fc-ed-bg)^{2}-4\det(M_{3})\det(N_{3}).}$

Relación entre Q₁, Q₂, Q₃

El sorprendente descubrimiento de Manjul Bhargava se puede resumir así: ^[2]

Si un cubo A da lugar a tres formas cuadráticas binarias primitivas Q ₁ , Q ₂ , Q ₃ , entonces Q ₁ , Q ₂ , Q ₃ tienen el mismo discriminante, y el producto de estas tres formas es la identidad en el grupo definido por la composición de Gauss. Por el contrario, si Q ₁ , Q ₂ , Q ₃ son tres formas cuadráticas binarias primitivas cualesquiera del mismo discriminante cuyo producto es la identidad bajo la composición de Gauss, entonces existe un cubo A que da lugar a Q ₁ , Q ₂ , Q ₃ .

Ejemplo

Un ejemplo de cubo de Bhargava

Las tres formas cuadráticas asociadas con el cubo numérico Bhargava que se muestran en la figura se calculan de la siguiente manera.

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{1}(x,y)=-\det(M_{1}x+N_{1}y)&=-\det \left({\begin{bmatrix}1&0\\0&-2\end{bmatrix}}x+{\begin{bmatrix}0&3\\4&5\end{bmatrix}}y\right)\\&=-{\begin{vmatrix}x&3y\\4y&-2x+5y\end{vmatrix}}=2x^{2}-5xy+12y^{2}\\\\Q_{2}(x,y)=-\det(M_{2}x+N_{2}y)&=-\det \left({\begin{bmatrix}1&0\\0&4\end{bmatrix}}x+{\begin{bmatrix}0&3\\-2&5\end{bmatrix}}y\right)\\&=-{\begin{vmatrix}x&3y\\-2y&4x+5y\end{vmatrix}}=-4x^{2}-5xy-6y^{2}\\\\Q_{3}(x,y)=-\det(M_{3}x+N_{3}y)&=-\det \left({\begin{bmatrix}1&0\\0&3\end{bmatrix}}x+{\begin{bmatrix}0&4\\-2&5\end{bmatrix}}y\right)\\&=-{\begin{vmatrix}x&4y\\-2y&3x+5y\end{vmatrix}}=-3x^{2}-5xy-8y^{2}\\{}\end{aligned}}}$

La composición es la forma donde se da por lo siguiente: ${\displaystyle [Q_{1}(x,y)]\ast [Q_{2}(x,y)]}$ ${\displaystyle [Q(x,y)]}$ ${\displaystyle Q(x,y)=-3x^{2}+5xy-8y^{2}}$

${\displaystyle X=-2x_{1}x_{2}+4y_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}$

${\displaystyle Y=x_{1}x_{2}+3y_{1}y_{2}}$

${\displaystyle Q(X,Y)=Q_{1}(x_{1},y_{1})Q_{2}(x_{2},y_{2})}$

Además , por tanto, el elemento identidad del grupo está definido por la composición de Gauss. ${\displaystyle [Q_{3}(x,y)]^{-1}=Q(x,y)}$ ${\displaystyle [Q_{1}(x,y)]\ast [Q_{2}(x,y)]\ast [Q_{3}(x,y)]}$

Más leyes de composición sobre formas

Composición de cubos

El hecho de que la composición de las tres formas cuadráticas binarias asociadas con el cubo de Bhargava sea el elemento identidad en el grupo de dichas formas ha sido utilizado por Manjul Bhargava para definir una ley de composición para los propios cubos. ^[2]

Composición de formas cúbicas

Un cubo binario entero en forma cúbica se puede representar mediante un cubo de Bhargava triplemente simétrico como en la figura. La ley de composición de los cubos se puede utilizar para definir una ley de composición para las formas cúbicas binarias. ^[2] ${\displaystyle px^{3}+3qx^{2}y+3rxy^{2}+sy^{3}}$

El cubo de Bhargava corresponde a la forma cúbica binaria . ${\displaystyle px^{3}+3qx^{2}y+3rxy^{2}+sy^{3}}$

Composición de pares de formas cuadráticas binarias

El par de formas cuadráticas binarias se puede representar mediante un cubo de Bhargava doblemente simétrico como en la figura. La ley de composición de cubos se utiliza ahora para definir una ley de composición sobre pares de formas cuadráticas binarias. ^[2] ${\displaystyle (ax^{2}+2bxy+cy^{2},dx^{2}+2exy+fy^{2})}$

El cubo de Bhargava correspondiente al par de formas cuadráticas binarias . ${\displaystyle (ax^{2}+2bxy+cy^{2},}$ ${\displaystyle dx^{2}+2exy+fy^{2})}$

Véase también

• Ley de composición de Gauss

Referencias

1. Mak Trifkovic (2013). Teoría algebraica de números cuadráticos . Nueva York: Springer. p. 175. ISBN 978-1-4614-7716-7.
2. Manjul Bhargava (2006).Leyes de composición superior y aplicaciones , en Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, Madrid, España, 2006. Sociedad Matemática Europea.
3. Carl Friedrich Gauss (traducido por Arthur A Clarke) (1986). Disquisiciones Arithmeticae . Springer Verlag. págs. 230–256.
4. Richard Dedekind (1932). Gesammelte Mathematische Werke . vol. 2. Calle principal. pag. 307.