cubo bhargava

Cubo de Bhargava con los números enteros a , b , c , d , e , f , g , h en las esquinas

En matemáticas , en teoría de números , un cubo de Bhargava (también llamado cubo de Bhargava ) es una configuración que consta de ocho números enteros colocados en las ocho esquinas de un cubo . ^[1] Esta configuración fue ampliamente utilizada por Manjul Bhargava , un matemático canadiense-estadounidense ganador de la Medalla Fields , para estudiar las leyes de composición de formas cuadráticas binarias y otras formas similares. A cada par de caras opuestas de un cubo de Bhargava se le puede asociar una forma cuadrática binaria entera , obteniendo así tres formas cuadráticas binarias correspondientes a los tres pares de caras opuestas del cubo de Bhargava. ^[2] Estas tres formas cuadráticas tienen todas el mismo discriminante y Manjul Bhargava demostró que su composición en el sentido de Gauss ^[3] es el elemento de identidad en el grupo asociado de clases de equivalencia de formas cuadráticas binarias primitivas. (Esta formulación de la composición de Gauss probablemente se debió primero a Dedekind). ^[4] Usando esta propiedad como punto de partida para una teoría de la composición de formas cuadráticas binarias, Manjul Bhargava pasó a definir catorce leyes de composición diferentes usando un cubo.

Formas cuadráticas binarias enteras

Una expresión de la forma , donde a , b y c son números enteros fijos y x e y son números enteros variables, se llama forma cuadrática binaria entera. El discriminante de la forma se define como ${\displaystyle Q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$

${\displaystyle D=b^{2}-4ac.}$

Se dice que la forma es primitiva si los coeficientes a , b , c son primos relativos. Dos formas

${\displaystyle Q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2},\quad Q^{\prime }(x,y)=a^{\prime }x^{2}+b^{\prime }xy+c^{\prime }y^{2}}$

se dice que son equivalentes si existe una transformación

${\displaystyle x\mapsto \alpha x+\beta y,\quad y\mapsto \gamma x+\delta y}$

con coeficientes enteros que satisfacen y se transforman en . Esta relación es de hecho una relación de equivalencia en el conjunto de formas cuadráticas binarias enteras y preserva los discriminantes y la primitividad. ${\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma =1}$ ${\displaystyle Q(x,y)}$ ${\displaystyle Q^{\prime }(x,y)}$

Composición gaussiana de formas cuadráticas binarias enteras

Sean y dos formas cuadráticas binarias primitivas que tengan el mismo discriminante y sean las clases de equivalencia de formas correspondientes y . Se pueden encontrar números enteros tales que ${\displaystyle Q(x,y)}$ ${\displaystyle Q^{\prime }(x,y)}$ ${\displaystyle [Q(x,y)]}$ ${\displaystyle [Q^{\prime }(x,y)]}$ ${\displaystyle p,q,r,s,p^{\prime },q^{\prime },r^{\prime },s^{\prime },a^{\prime \prime },b^{\prime \prime },c^{\prime \prime }}$

${\displaystyle X=px_{1}x_{2}+qx_{1}y_{2}+ry_{1}x_{2}+sy_{1}y_{2}}$

${\displaystyle Y=p^{\prime }x_{1}x_{2}+q^{\prime }x_{1}y_{2}+r^{\prime }y_{1}x_{2}+s^{\prime }y_{1}y_{2}}$

${\displaystyle Q^{\prime \prime }(x,y)=a^{\prime \prime }x^{2}+b^{\prime \prime }xy+c^{\prime \prime }y^{2}}$

${\displaystyle Q^{\prime \prime }(X,Y)=Q(x_{1},y_{1})Q^{\prime }(x_{2},y_{2})}$

La clase está determinada únicamente por las clases [ Q ( x , y )] y [ Q ^′ ( x , y )] y se denomina compuesta de las clases y . ^[3] Esto se indica escribiendo ${\displaystyle [Q^{\prime \prime }(x,y)]}$ ${\displaystyle [Q(x,y)]}$ ${\displaystyle [Q^{\prime }(x,y)]}$

${\displaystyle [Q^{\prime \prime }(x,y)]=[Q(x,y)]\ast [Q^{\prime }(x,y)]}$

El conjunto de clases de equivalencia de formas cuadráticas binarias primitivas que tienen un discriminante D dado es un grupo según la ley de composición descrita anteriormente. El elemento de identidad del grupo es la clase determinada de la siguiente forma:

${\displaystyle Q_{Id}^{(D)}(x,y)={\begin{cases}x^{2}-{\frac {D}{4}}y^{2}&D\equiv 0{\pmod {4}}\\x^{2}+xy+{\frac {1-D}{4}}y^{2}&D\equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}}$

La inversa de la clase es la clase . ${\displaystyle [ax^{2}+hxy+by^{2}]}$ ${\displaystyle [ax^{2}-hxy+by^{2}]}$

Formas cuadráticas asociadas con el cubo de Bhargava.

Sea ( M , N ) el par de matrices de 2 × 2 asociadas con un par de lados opuestos de un cubo de Bhargava; las matrices se forman de tal manera que sus filas y columnas corresponden a las aristas de las caras correspondientes. La forma cuadrática binaria entera asociada con este par de caras se define como

${\displaystyle Q=-\det(Mx+Ny)}$

La forma cuadrática también se define como

${\displaystyle Q=-\det(Mx-Ny)}$

Sin embargo, en lo sucesivo se asumirá la definición anterior.

las tres formas

Sea el cubo formado por los números enteros a , b , c , d , e , f , g , h . Los pares de matrices asociadas con aristas opuestas se denotan por ( M ₁ , N ₁ ), ( M ₂ , N ₂ ) y ( M ₃ , N ₃ ). Las primeras filas de M ₁ , M ₂ y M ₃ son respectivamente [ a b ], [ a c ] y [ a e ]. Los bordes opuestos de la misma cara son las segundas filas. Las aristas correspondientes en las caras opuestas forman las filas de las matrices N ₁ , N ₂ , N ₃ (ver figura).

La forma Q ₁

La forma cuadrática asociada con las caras definidas por las matrices (ver figura) es ${\displaystyle M_{1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}},N_{1}={\begin{bmatrix}e&f\\g&h\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle Q_{1}=-\det(M_{1}x+N_{1}y)=-(\det(M_{1})x^{2}+(ah+ed-bg-fc)xy+\det(N_{1})y^{2})}$

El discriminante de una forma cuadrática Q ₁ es

${\displaystyle D_{1}=(ah+ed-bg-fc)^{2}-4\det(M_{1})\det(N_{1}).}$

La forma Q ₂

La forma cuadrática asociada con las caras definidas por las matrices (ver figura) es ${\displaystyle M_{2}={\begin{bmatrix}a&c\\e&g\end{bmatrix}},N_{2}={\begin{bmatrix}b&d\\f&h\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle Q_{2}=-\det(M_{2}x+N_{2}y)=-(\det(M_{2})x^{2}+(ah+bg-fc-ed)xy+\det(N_{2})y^{2})}$

El discriminante de una forma cuadrática Q ₂ es

${\displaystyle D_{2}=(ah+bg-fc-ed)^{2}-4\det(M_{2})\det(N_{2}).}$

El formulario Q ₃

La forma cuadrática asociada con las caras definidas por las matrices (ver figura) es ${\displaystyle M_{3}={\begin{bmatrix}a&e\\b&f\end{bmatrix}},N_{3}={\begin{bmatrix}c&g\\d&h\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle Q_{3}=-\det(M_{3}x+N_{3}y)=-(\det(M_{3})x^{2}+(ah+fc-ed-bg)xy+\det(N_{3})y^{2})}$

El discriminante de una forma cuadrática Q ₃ es

${\displaystyle D_{3}=(ah+fc-ed-bg)^{2}-4\det(M_{3})\det(N_{3}).}$

Relación entre Q ₁ , Q ₂ , Q ₃

El sorprendente descubrimiento de Manjul Bhargava se puede resumir así: ^[2]

Si un cubo A da lugar a tres formas cuadráticas binarias primitivas Q ₁ , Q ₂ , Q ₃ , entonces Q ₁ , Q ₂ , Q ₃ tienen el mismo discriminante y el producto de estas tres formas es la identidad en el grupo definido por Composición de Gauss. Por el contrario, si Q ₁ , Q ₂ , Q ₃ son tres formas cuadráticas binarias primitivas del mismo discriminante cuyo producto es la identidad bajo composición de Gauss, entonces existe un cubo A que produce Q ₁ , Q ₂ , Q ₃ .

Ejemplo

Un ejemplo de cubo Bhargava

Las tres formas cuadráticas asociadas con el cubo numérico de Bhargava que se muestra en la figura se calculan de la siguiente manera.

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{1}(x,y)=-\det(M_{1}x+N_{1}y)&=-\det \left({\begin{bmatrix}1&0\\0&-2\end{bmatrix}}x+{\begin{bmatrix}0&3\\4&5\end{bmatrix}}y\right)\\&=-{\begin{vmatrix}x&3y\\4y&-2x+5y\end{vmatrix}}=2x^{2}-5xy+12y^{2}\\\\Q_{2}(x,y)=-\det(M_{2}x+N_{2}y)&=-\det \left({\begin{bmatrix}1&0\\0&4\end{bmatrix}}x+{\begin{bmatrix}0&3\\-2&5\end{bmatrix}}y\right)\\&=-{\begin{vmatrix}x&3y\\-2y&4x+5y\end{vmatrix}}=-4x^{2}-5xy-6y^{2}\\\\Q_{3}(x,y)=-\det(M_{3}x+N_{3}y)&=-\det \left({\begin{bmatrix}1&0\\0&3\end{bmatrix}}x+{\begin{bmatrix}0&4\\-2&5\end{bmatrix}}y\right)\\&=-{\begin{vmatrix}x&4y\\-2y&3x+5y\end{vmatrix}}=-3x^{2}-5xy-8y^{2}\\{}\end{aligned}}}$

La composición es la forma en que se debe a lo siguiente: ${\displaystyle [Q_{1}(x,y)]\ast [Q_{2}(x,y)]}$ ${\displaystyle [Q(x,y)]}$ ${\displaystyle Q(x,y)=-3x^{2}+5xy-8y^{2}}$

${\displaystyle X=-2x_{1}x_{2}+4y_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}$

${\displaystyle Y=x_{1}x_{2}+3y_{1}y_{2}}$

${\displaystyle Q(X,Y)=Q_{1}(x_{1},y_{1})Q_{2}(x_{2},y_{2})}$

También . Así es el elemento de identidad en el grupo definido por la composición de Gauss. ${\displaystyle [Q_{3}(x,y)]^{-1}=Q(x,y)}$ ${\displaystyle [Q_{1}(x,y)]\ast [Q_{2}(x,y)]\ast [Q_{3}(x,y)]}$

Otras leyes de composición sobre las formas.

Composición de cubos

Manjul Bhargava ha utilizado el hecho de que la composición de las tres formas cuadráticas binarias asociadas con el cubo de Bhargava sea el elemento de identidad en el grupo de tales formas para definir una ley de composición para los propios cubos. ^[2]

Composición de formas cúbicas.

Un cubo binario entero en la forma se puede representar mediante un cubo Bhargava triplemente simétrico como en la figura. La ley de composición de los cubos se puede utilizar para definir una ley de composición para las formas cúbicas binarias. ^[2] ${\displaystyle px^{3}+3qx^{2}y+3rxy^{2}+sy^{3}}$

El cubo Bhargava correspondiente a la forma cúbica binaria . ${\displaystyle px^{3}+3qx^{2}y+3rxy^{2}+sy^{3}}$

Composición de pares de formas cuadráticas binarias.

El par de formas cuadráticas binarias se puede representar mediante un cubo de Bhargava doblemente simétrico como en la figura. La ley de composición de cubos se utiliza ahora para definir una ley de composición de pares de formas cuadráticas binarias. ^[2] ${\displaystyle (ax^{2}+2bxy+cy^{2},dx^{2}+2exy+fy^{2})}$

El cubo de Bhargava correspondiente al par de formas cuadráticas binarias . ${\displaystyle (ax^{2}+2bxy+cy^{2},}$ ${\displaystyle dx^{2}+2exy+fy^{2})}$

Ver también

• Ley de composición de Gauss

Referencias

1. Mak Trifkovic (2013). Teoría algebraica de números cuadráticos . Nueva York: Springer. pag. 175.ISBN​ 978-1-4614-7716-7.
2. Manjul Bhargava (2006).Leyes y aplicaciones de composición superior , en Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, Madrid, España, 2006 . Sociedad Matemática Europea.
3. Carl Friedrich Gauss (traducido por Arthur A Clarke) (1986). Disquisiciones Arithmeticae . Springer Verlag. págs. 230–256.
4. Richard Dedekind (1932). Gesammelte Mathematische Werke . vol. 2. Calle principal. pag. 307.