Grupo fucsia

Subgrupo discreto del grupo lineal especial proyectivo real de dimensión 2

En matemáticas , un grupo fuchsiano es un subgrupo discreto de PSL(2, R ) . El grupo PSL(2, R ) puede considerarse de manera equivalente como un grupo de isometrías que preservan la orientación del plano hiperbólico , o transformaciones conformes del disco unitario, o transformaciones conformes del semiplano superior , por lo que un grupo fuchsiano puede considerarse como un grupo que actúa en cualquiera de estos espacios. Hay algunas variaciones de la definición: a veces se supone que el grupo fuchsiano es finitamente generado , a veces se permite que sea un subgrupo de PGL(2, R ) (de modo que contenga elementos que invierten la orientación) y, a veces, se permite que sea un grupo kleiniano (un subgrupo discreto de PSL(2, C ) ) que es conjugado a un subgrupo de PSL(2, R ).

Los grupos fuchsianos se utilizan para crear modelos fuchsianos de superficies de Riemann . En este caso, el grupo puede llamarse grupo fuchsiano de la superficie . En cierto sentido, los grupos fuchsianos hacen por la geometría no euclidiana lo que los grupos cristalográficos hacen por la geometría euclidiana . Algunos gráficos de Escher se basan en ellos (para el modelo de disco de la geometría hiperbólica).

Los grupos fuchsianos generales fueron estudiados por primera vez por Henri Poincaré  (1882), quien se sintió motivado por el artículo (Fuchs 1880) y, por lo tanto, los nombró en honor a Lazarus Fuchs .

Grupos fucsias en el semiplano superior

Sea el semiplano superior . Entonces es un modelo del plano hiperbólico cuando se le dota de la métrica ${\displaystyle H=\{z\in \mathbb {C} |\operatorname {Im} {z}>0\}}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle ds={\frac {1}{y}}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}.}$

El grupo PSL(2, R ) actúa mediante transformaciones fraccionarias lineales ( también conocidas como transformaciones de Möbius ): ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}.}$

Esta acción es fiel y, de hecho, PSL(2, R ) es isomorfo al grupo de todas las isometrías que preservan la orientación de . ${\displaystyle H}$

Un grupo fuchsiano puede definirse como un subgrupo de PSL(2, R ), que actúa de manera discontinua sobre . Es decir, ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle H}$

• Para cada en , la órbita no tiene punto de acumulación en . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Gamma z=\{\gamma z:\gamma \in \Gamma \}}$ ${\displaystyle H}$

Una definición equivalente para ser fucsiano es ser un grupo discreto , lo que significa que: ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

• Toda secuencia de elementos que convergen a la identidad en la topología usual de convergencia puntual es eventualmente constante, es decir, existe un entero tal que para todo , , donde es la matriz identidad. ${\displaystyle \gamma _{n}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n>\mathbb {N} }$ ${\displaystyle \gamma _{n}=I}$ ${\displaystyle I}$

Aunque la discontinuidad y la discreción son equivalentes en este caso, esto no es generalmente cierto para el caso de un grupo arbitrario de homeomorfismos conformes que actúan sobre la esfera de Riemann completa (en oposición a ). De hecho, el grupo fuchsiano PSL(2, Z ) es discreto pero tiene puntos de acumulación en la línea de números reales : los elementos de PSL(2, Z ) se trasladarán a cada número racional, y los racionales Q son densos en R . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} z=0}$ ${\displaystyle z=0}$

Definición general

Una transformación fraccionaria lineal definida por una matriz de PSL(2, C ) preservará la esfera de Riemann P ¹ ( C ) = C ∪ ∞, pero enviará el semiplano superior H a algún disco abierto Δ. La conjugación mediante dicha transformación enviará un subgrupo discreto de PSL(2, R ) a un subgrupo discreto de PSL(2, C ) que preserva Δ.

Esto motiva la siguiente definición de un grupo fuchsiano . Sea Γ ⊂ PSL(2, C ) invariablemente sobre un disco abierto propio Δ ⊂ C ∪ ∞, es decir, Γ(Δ) = Δ. Entonces Γ es fuchsiano si y solo si se cumple alguna de las siguientes tres propiedades equivalentes:

1. Γ es un grupo discreto (con respecto a la topología estándar en PSL(2, C )).
2. Γ actúa propiamente de forma discontinua en cada punto z ∈ Δ.
3. El conjunto Δ es un subconjunto de la región de discontinuidad Ω(Γ) de Γ.

Es decir, cualquiera de estos tres puede servir como definición de un grupo fuchsiano, y los demás como teoremas. La noción de un subconjunto propio invariante Δ es importante; el llamado grupo de Picard PSL(2, Z [ i ]) es discreto pero no conserva ningún disco en la esfera de Riemann. De hecho, incluso el grupo modular PSL(2, Z ), que es un grupo fuchsiano, no actúa de manera discontinua en la línea de números reales; tiene puntos de acumulación en los números racionales . De manera similar, la idea de que Δ es un subconjunto propio de la región de discontinuidad es importante; cuando no lo es, el subgrupo se llama grupo kleiniano .

Lo más habitual es tomar como dominio invariante Δ el disco unitario abierto o el semiplano superior .

Conjuntos de límites

Debido a la acción discreta, la órbita Γ z de un punto z en el semiplano superior bajo la acción de Γ no tiene puntos de acumulación en el semiplano superior. Sin embargo, puede haber puntos límite en el eje real. Sea Λ(Γ) el conjunto límite de Γ, es decir, el conjunto de puntos límite de Γ z para z ∈ H . Entonces Λ(Γ) ⊆ R ∪ ∞. El conjunto límite puede estar vacío, o puede contener uno o dos puntos, o puede contener un número infinito. En este último caso, hay dos tipos:

Un grupo fuchsiano del primer tipo es un grupo cuyo conjunto límite es la recta real cerrada R ∪ ∞. Esto sucede si el espacio cociente H /Γ tiene volumen finito, pero existen grupos fuchsianos del primer tipo de covolumen infinito.

De lo contrario, se dice que un grupo fuchsiano es del segundo tipo . De manera equivalente, se trata de un grupo cuyo conjunto límite es un conjunto perfecto que no es denso en ninguna parte en R ∪ ∞. Como no es denso en ninguna parte, esto implica que cualquier punto límite está arbitrariamente cerca de un conjunto abierto que no está en el conjunto límite. En otras palabras, el conjunto límite es un conjunto de Cantor .

El tipo de un grupo fuchsiano no necesita ser el mismo que su tipo cuando se considera como un grupo kleiniano: de hecho, todos los grupos fuchsianos son grupos kleinianos de tipo 2, ya que sus conjuntos límite (como grupos kleinianos) son subconjuntos propios de la esfera de Riemann, contenidos en algún círculo.

Ejemplos

Un ejemplo de un grupo fuchsiano es el grupo modular PSL(2, Z ). Este es el subgrupo de PSL(2, R ) que consiste en transformaciones fraccionarias lineales.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}}$

donde a , b , c , d son números enteros. El espacio cociente H /PSL(2, Z ) es el espacio de módulos de las curvas elípticas .

Otros grupos fuchsianos incluyen los grupos Γ( n ) para cada entero n > 0. Aquí Γ( n ) consiste en transformaciones fraccionarias lineales de la forma anterior donde las entradas de la matriz

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

son congruentes con las de la matriz identidad módulo n .

Un ejemplo co-compacto es el grupo triangular (ordinario, rotacional) (2,3,7) , que contiene los grupos fuchsianos de la superficie cuártica de Klein y de la superficie de Macbeath , así como otros grupos de Hurwitz . De manera más general, cualquier grupo hiperbólico de von Dyck (el subgrupo de índice 2 de un grupo triangular , correspondiente a isometrías que preservan la orientación) es un grupo fuchsiano.

Todos estos son grupos fucsianos del primer tipo .

• Todos los subgrupos cíclicos hiperbólicos y parabólicos de PSL(2, R ) son fucsianos.
• Cualquier subgrupo cíclico elíptico es fucsiano si y sólo si es finito.
• Cada grupo fuchsiano abeliano es cíclico.
• Ningún grupo fucsiano es isomorfo a Z × Z .
• Sea Γ un grupo fuchsiano no abeliano. Entonces, el normalizador de Γ en PSL(2, R ) es fuchsiano.

Propiedades métricas

Si h es un elemento hiperbólico, la longitud de traslación L de su acción en el semiplano superior está relacionada con la traza de h como una matriz 2×2 por la relación

${\displaystyle |\mathrm {tr} \;h|=2\cosh {\frac {L}{2}}.}$

Una relación similar se aplica a la sístole de la superficie de Riemann correspondiente, si el grupo fuchsiano no tiene torsión y es co-compacto.

Véase también

• Grupo cuasi-fucsiano
• Grupo cristalográfico no euclidiano
• Grupo Schottky

Referencias

• Fuchs, Lazarus (1880), "Ueber eine Klasse von Funktionen mehrerer Variablen, welche durch Umkehrung der Integrale von Lösungen der linearen Differentialgleichungen mit racionalen Coeffizienten entstehen", J. Reine Angew. Matemáticas. , 89 : 151-169
• Hershel M. Farkas, Irwin Kra , Constantes theta, superficies de Riemann y el grupo modular , American Mathematical Society , Providence RI, ISBN 978-0-8218-1392-8 (Ver sección 1.6) 
• Henryk Iwaniec , Métodos espectrales de formas automórficas, segunda edición , (2002) (volumen 53 en Estudios de posgrado en matemáticas ), America Mathematical Society, Providence, RI ISBN 978-0-8218-3160-1 (véase el capítulo 2). 
• Svetlana Katok , Grupos fucsianos (1992), University of Chicago Press, Chicago ISBN 978-0-226-42583-2 
• David Mumford , Caroline Series , y David Wright, Indra's Pearls: The Vision of Felix Klein , (2002) Cambridge University Press ISBN 978-0-521-35253-6 . (Proporciona una excelente exposición de la teoría y los resultados, profusamente ilustrada con diagramas). 
• Peter J. Nicholls, La teoría ergódica de grupos discretos , (1989) London Mathematical Society Lecture Note Series 143, Cambridge University Press, Cambridge ISBN 978-0-521-37674-7 
• Poincaré, Henri (1882), "Théorie des groupes fuchsiens", Acta Mathematica , 1 , Springer Países Bajos: 1–62, doi : 10.1007/BF02592124 , ISSN  0001-5962, JFM  14.0338.01
• Vinberg, Ernest B. (2001) [1994], "Grupo fucsiano", Enciclopedia de matemáticas , EMS Press