En álgebra abstracta , un magma , binar , [1] o, raramente, grupoide es un tipo básico de estructura algebraica . En concreto, un magma consiste en un conjunto dotado de una única operación binaria que debe ser cerrada por definición. No se imponen otras propiedades.
El término grupoide fue introducido en 1927 por Heinrich Brandt describiendo su grupoide Brandt (traducido del alemán Gruppoid ). Luego, B. A. Hausmann y Øystein Ore (1937) [2] se apropiaron del término en el sentido (de conjunto con una operación binaria) utilizado en este artículo. En un par de reseñas de artículos posteriores en Zentralblatt , Brandt estuvo totalmente en desacuerdo con esta sobrecarga de terminología. El grupoide de Brandt es un grupoide en el sentido usado en la teoría de categorías, pero no en el sentido usado por Hausmann y Ore. Sin embargo, libros influyentes en teoría de semigrupos, incluidos Clifford y Preston (1961) y Howie (1995), usan grupoide en el sentido de Hausmann y Ore. Hollings (2014) escribe que el término grupoide es "quizás el más utilizado en las matemáticas modernas" en el sentido que se le da en la teoría de categorías. [3]
Según Bergman y Hausknecht (1996): "No existe una palabra generalmente aceptada para un conjunto con una operación binaria no necesariamente asociativa. La palabra grupoide es utilizada por muchos algebristas universales, pero los investigadores de la teoría de categorías y áreas relacionadas se oponen firmemente a este uso. porque usan la misma palabra para significar 'categoría en la que todos los morfismos son invertibles'. El término magma fue utilizado por Serre [Lie Algebras and Lie Groups, 1965]". [4] También aparece en Éléments de mathématique de Bourbaki , Algèbre, chapitres 1 à 3, 1970 . [5]
Un magma es un conjunto M emparejado con una operación • que envía dos elementos cualesquiera a , b ∈ M a otro elemento, a • b ∈ M . El símbolo • es un marcador de posición general para una operación definida correctamente. Para calificar como magma, el conjunto y la operación ( M , •) deben satisfacer el siguiente requisito (conocido como magma o axioma de cierre ):
Y en notación matemática:
Si • es en cambio una operación parcial , entonces ( M , •) se llama magma parcial [6] o, más a menudo, grupoide parcial . [6] [7]
Un morfismo de magmas es una función f : M → N que asigna magma ( M , • ) a magma ( N , ∗) que preserva la operación binaria:
La operación magma puede aplicarse repetidamente y, en el caso general, no asociativo, importa el orden, que se anota entre paréntesis. Además, la operación • a menudo se omite y se anota mediante yuxtaposición:
A menudo se utiliza una taquigrafía para reducir el número de paréntesis, en la que se omiten las operaciones más internas y los pares de paréntesis, y se reemplazan simplemente con yuxtaposición: xy • z ≡ ( x • y ) • z . Por ejemplo, lo anterior se abrevia a la siguiente expresión, que aún contiene paréntesis:
Una forma de evitar por completo el uso de paréntesis es la notación de prefijo , en la que la misma expresión se escribiría •• a • bcd . Otra forma, familiar para los programadores, es la notación postfija ( notación polaca inversa ), en la que la misma expresión se escribiría abc •• d • , en la que el orden de ejecución es simplemente de izquierda a derecha (sin curry ).
El conjunto de todas las cadenas posibles que consta de símbolos que denotan elementos del magma y conjuntos de paréntesis equilibrados se denomina lenguaje de Dyck . El número total de formas diferentes de escribir n aplicaciones del operador magma viene dado por el número catalán C n . Así, por ejemplo, C 2 = 2 , que es simplemente la afirmación de que ( ab ) c y a ( bc ) son las dos únicas formas de emparejar tres elementos de un magma con dos operaciones. De manera menos trivial, C 3 = 5 : (( ab ) c ) d , ( a ( bc )) d , ( ab )( cd ) , a (( bc ) d ) y a ( b ( cd )) .
Hay n n 2 magmas con n elementos, por lo que hay 1, 1, 16, 19683,4 294 967 296 , ... (secuencia A002489 en el OEIS ) magmas con 0, 1, 2, 3, 4, ... elementos. Los números correspondientes de magmas no isomórficos son 1, 1, 10, 3330,178 981 952 , ... (secuencia A001329 en el OEIS ) y los números de magmas no isomorfos y no antiisomorfos simultáneamente son 1, 1, 7, 1734,89 521 056 , ... (secuencia A001424 en la OEIS ). [8]
Un magma libre M X en un conjunto X es el magma "más general posible" generado por X (es decir, no hay relaciones ni axiomas impuestos a los generadores; ver objeto libre ). La operación binaria en M X se forma envolviendo cada uno de los dos operandos entre paréntesis y yuxtaponiéndolos en el mismo orden. Por ejemplo:
M X puede describirse como el conjunto de palabras no asociativas en X que se mantienen entre paréntesis. [9]
También puede verse, en términos familiares en informática , como el magma de árboles binarios completos con hojas etiquetadas por elementos de X. La operación es la de unir árboles por la raíz. Por tanto, tiene un papel fundamental en la sintaxis .
Un magma libre tiene la propiedad universal tal que si f : X → N es una función de X a cualquier magma N , entonces existe una extensión única de f a un morfismo de magmas f ′
Los magmas no suelen estudiarse como tales; en cambio, hay varios tipos diferentes de magma, dependiendo de los axiomas que deba satisfacer la operación. Los tipos de magma comúnmente estudiados incluyen:
Tenga en cuenta que cada una de las divisibilidad e invertibilidad implica la propiedad de cancelación .
Un magma ( S , • ) , con x , y , u , z ∈ S , se llama
La categoría de magmas, denotada Mag , es la categoría cuyos objetos son magmas y cuyos morfismos son homomorfismos de magma. La categoría Mag tiene productos directos , y hay un funtor de inclusión : Conjunto → Med ↪ Mag como magmas triviales, con operaciones dadas por proyección x T y = y .
Una propiedad importante es que un endomorfismo inyectivo se puede extender a un automorfismo de una extensión de magma , justo el colímite del ( secuencia constante del) endomorfismo .
Debido a que el singleton ({*}, *) es el objeto terminal de Mag , y debido a que Mag es algebraico , Mag es puntiagudo y completo . [12]
