En álgebra abstracta , un magma medial o grupoide medial es un magma o grupoide (es decir, un conjunto con una operación binaria ) que satisface la identidad
o más simplemente,
para todos los x , y , u y v , utilizando la convención de que la yuxtaposición denota la misma operación pero tiene mayor precedencia. Esta identidad ha sido llamada de diversas formas: medial , abeliana , alternancia , transposición , intercambio , biconmutativa , bisimétrica , superconmutativa , entrópica, etc. [1]
Cualquier semigrupo conmutativo es un magma medial, y un magma medial tiene un elemento identidad si y solo si es un monoide conmutativo . La dirección "solo si" es el argumento de Eckmann-Hilton . Otra clase de semigrupos que forman magmas mediales son las bandas normales . [2] Los magmas mediales no necesitan ser asociativos: para cualquier grupo abeliano no trivial con operación + y números enteros m ≠ n , la nueva operación binaria definida por x • y = mx + ny produce un magma medial que en general no es asociativo ni conmutativo.
Utilizando la definición categórica de producto , para un magma M , se puede definir el magma cuadrado cartesiano M × M con la operación
La operación binaria • de M , considerada como una aplicación de M × M a M , asigna ( x , y ) a x • y , ( u , v ) a u • v , y ( x • u , y • v ) a ( x • u ) • ( y • v ) . Por lo tanto, un magma M es medial si y solo si su operación binaria es un homomorfismo de magma de M × M a M . Esto se puede expresar fácilmente en términos de un diagrama conmutativo , y por lo tanto conduce a la noción de un objeto de magma medial en una categoría con un producto cartesiano . (Véase la discusión en objeto de magma auto.)
Si f y g son endomorfismos de un magma medial, entonces la función f • g se define por la multiplicación puntual
es en sí mismo un endomorfismo. De ello se deduce que el conjunto End( M ) de todos los endomorfismos de un magma medial M es en sí mismo un magma medial.
El teorema de Bruck–Murdoch–Toyoda proporciona la siguiente caracterización de los cuasigrupos mediales . Dado un grupo abeliano A y dos automorfismos conmutativos φ y ψ de A , defina una operación • sobre A mediante
donde c es un elemento fijo de A. No es difícil demostrar que A forma un cuasigrupo medial bajo esta operación. El teorema de Bruck-Toyoda establece que todo cuasigrupo medial es de esta forma, es decir, es isomorfo a un cuasigrupo definido a partir de un grupo abeliano de esta manera. [3] En particular, todo cuasigrupo medial es isotópico a un grupo abeliano.
El resultado fue obtenido de forma independiente en 1941 por Murdoch y Toyoda. [4] [5] Luego fue redescubierto por Bruck en 1944. [6]
El término medial o (más comúnmente) entrópico también se utiliza para una generalización a operaciones múltiples. Una estructura algebraica es un álgebra entrópica [7] si cada dos operaciones satisfacen una generalización de la identidad medial. Sean f y g operaciones de aridad m y n , respectivamente. Entonces se requiere que f y g satisfagan
Un ejemplo particularmente natural de un magma medial no asociativo lo dan los puntos colineales en curvas elípticas . La operación x • y = −( x + y ) para puntos en la curva, que corresponde a trazar una línea entre x e y y definir x • y como el tercer punto de intersección de la línea con la curva elíptica, es un magma medial (conmutativo) que es isotópico a la operación de adición de curvas elípticas.
A diferencia de la suma de curvas elípticas, x • y es independiente de la elección de un elemento neutro en la curva y, además, satisface las identidades x • ( x • y ) = y . Esta propiedad se utiliza comúnmente en pruebas puramente geométricas de que la suma de curvas elípticas es asociativa.
