Magma conmutativo

En matemáticas , existen magmas conmutativos pero no asociativos . Un ejemplo sencillo de un magma de este tipo puede derivarse del juego infantil de piedra, papel y tijera . Tales magmas dan lugar a álgebras no asociativas .

Un magma que es a la vez conmutativo y asociativo es un semigrupo conmutativo .

Ejemplo: piedra, papel, tijeras

En el juego de piedra, papel o tijera , sea , que representan los gestos de "piedra", "papel" y "tijera" respectivamente, y considere la operación binaria derivada de las reglas del juego de la siguiente manera: ^[1] ${\displaystyle M:=\{r,p,s\}}$ ${\displaystyle \cdot :M\times M\to M}$

Para todos : ${\displaystyle x,y\in M}$

• Si y gana en el juego, entonces ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x=x}$
• ${\displaystyle x\cdot x=x}$     Es decir, todo es idempotente . ${\displaystyle x}$

Así por ejemplo:

• ${\displaystyle r\cdot p=p\cdot r=p}$   "el papel vence a la piedra";
• ${\displaystyle s\cdot s=s}$   "tijeras atan con tijeras".

Esto da como resultado la tabla Cayley : ^[1]

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}\cdot &r&p&s\\\hline r&r&p&r\\p&p&p&s\\s&r&s&s\end{array}}}$

Por definición, el magma es conmutativo, pero también es no asociativo, ^[2] como lo demuestra: ${\displaystyle (M,\cdot )}$

${\displaystyle r\cdot (p\cdot s)=r\cdot s=r}$

pero

${\displaystyle (r\cdot p)\cdot s=p\cdot s=s}$

es decir

${\displaystyle r\cdot (p\cdot s)\neq (r\cdot p)\cdot s}$

Es el magma no asociativo más simple que es conservativo , en el sentido de que el resultado de cualquier operación de magma es uno de los dos valores dados como argumentos a la operación. ^[2]

Aplicaciones

La media aritmética y las medias generalizadas de números o de cantidades de dimensiones superiores, como las medias de Frechet , suelen ser conmutativas pero no asociativas. ^[3]

Los magmas conmutativos pero no asociativos pueden utilizarse para analizar la recombinación genética . ^[4]

Referencias

1. Aten, Charlotte (2020), "Piedra, papel y tijera multijugador", Algebra Universalis , 81 (3): Documento n.º 40, 31, arXiv : 1903.07252 , doi :10.1007/s00012-020-00667-5, MR  4123817
2. Beaudry, Martín; Dubé, Danny; Dubé, Maxime; Latendresse, Mario; Tesson, Pascal (2014), "Los grupoides conservadores reconocen sólo lenguajes regulares", Información y Computación , 239 : 13–28, doi :10.1016/j.ic.2014.08.005, SEÑOR  3281897
3. Ginestet, Cedric E.; Simmons, Andrew; Kolaczyk, Eric D. (2012), "Medias ponderadas de Frechet como combinaciones convexas en espacios métricos: propiedades y desigualdades medianas generalizadas", Statistics & Probability Letters , 82 (10): 1859–1863, arXiv : 1204.2194 , doi :10.1016/j.spl.2012.06.001, MR  2956628
4. Etherington, IMH (1941), "Álgebra no asociativa y el simbolismo de la genética", Actas de la Royal Society of Edinburgh, Sección B: Biología , 61 (1): 24–42, doi :10.1017/s0080455x00011334