magma conmutativo

En matemáticas existen magmas que son conmutativos pero no asociativos . Un ejemplo sencillo de tal magma puede derivarse del juego infantil de piedra, papel y tijera . Tales magmas dan lugar a álgebras no asociativas .

Un magma que es a la vez conmutativo y asociativo es un semigrupo conmutativo .

Un magma conmutativo no asociativo derivado del juego de piedra, papel y tijera.

Sea , que representa los gestos de "piedra", "papel" y "tijeras" respectivamente, y considere la operación binaria derivada de las reglas del juego de la siguiente manera: ${\displaystyle M:=\{r,p,s\}}$ ${\displaystyle \cdot :M\times M\to M}$

Para todos : ${\displaystyle x,y\in M}$

• Si y gana en el juego, entonces ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x=x}$
• ${\displaystyle x\cdot x=x}$     Es decir, todo es idempotente . ${\displaystyle x}$

Así que por ejemplo:

• ${\displaystyle r\cdot p=p\cdot r=p}$   "el papel vence a la piedra";
• ${\displaystyle s\cdot s=s}$   "tijeras atadas con tijeras".

Esto da como resultado la tabla Cayley :

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}\cdot &r&p&s\\\hline r&r&p&r\\p&p&p&s\\s&r&s&s\end{array}}}$

Por definición, el magma es conmutativo, pero también no asociativo, como lo muestra: ${\displaystyle (M,\cdot )}$

${\displaystyle r\cdot (p\cdot s)=r\cdot s=r}$

pero

${\displaystyle (r\cdot p)\cdot s=p\cdot s=s}$

es decir

${\displaystyle r\cdot (p\cdot s)\neq (r\cdot p)\cdot s}$

Otros ejemplos

La operación " media " en los números racionales (o cualquier sistema numérico conmutativo cerrado bajo división) también es conmutativa pero no asociativa en general, por ejemplo ${\displaystyle x\oplus y=(x+y)/2}$

${\displaystyle -4\oplus (0\oplus +4)=-4\oplus +2=-1}$

pero

${\displaystyle (-4\oplus 0)\oplus +4=-2\oplus +4=+1}$

Generalmente, las operaciones medias estudiadas en topología no necesitan ser asociativas.

La construcción aplicada en la sección anterior a piedra-papel-tijera se aplica fácilmente a variantes del juego con otro número de gestos, como se describe en la sección Variaciones , siempre que haya dos jugadores y las condiciones sean simétricas entre ellos; De manera más abstracta, se puede aplicar a cualquier relación binaria tricotómica (como los "ritmos" en el juego). El magma resultante será asociativo si la relación es transitiva y, por tanto, es un orden total (estricto) ; de lo contrario, si es finito, contiene ciclos dirigidos (como piedra-papel-tijera-roca) y el magma no es asociativo. Para ver esto último, considere combinar todos los elementos de un ciclo en orden inverso, es decir, de modo que cada elemento combinado supere al anterior; el resultado es el último elemento combinado, mientras que la asociatividad y la conmutatividad significarían que el resultado sólo depende del conjunto de elementos del ciclo.

La fila inferior del diagrama de Karnaugh anterior ofrece más operaciones de ejemplo, definidas en números enteros (o en cualquier anillo conmutativo ).

Álgebras conmutativas no asociativas derivadas

Usando el ejemplo de piedra, papel y tijera, se puede construir un álgebra conmutativa no asociativa sobre un campo : tomar como el espacio vectorial tridimensional sobre cuyos elementos están escritos en la forma ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle (x,y,z)=xr+yp+zs,}$

para . La suma de vectores y la multiplicación escalar se definen por componentes , y los vectores se multiplican utilizando las reglas anteriores para multiplicar los elementos . El conjunto ${\displaystyle x,y,z\in K}$ ${\displaystyle r,p,s}$

${\displaystyle \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}}$es decir ${\displaystyle \{r,p,s\}}$

forma una base para el álgebra . Como antes, la multiplicación de vectores en es conmutativa, pero no asociativa. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Se puede utilizar el mismo procedimiento para derivar de cualquier magma conmutativo un álgebra conmutativa sobre , que será no asociativa si es. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K^{M}}$ ${\displaystyle M}$