Fréchet significa

En matemáticas y estadística , la media de Fréchet es una generalización de los centroides a espacios métricos , que da un único punto representativo o tendencia central para un grupo de puntos. Recibe su nombre en honor a Maurice Fréchet . La media de Karcher es el cambio de nombre de la construcción del centro de masas de Riemann desarrollada por Karsten Grove y Hermann Karcher. ^{[1] [2]} En los números reales, la media aritmética , la mediana , la media geométrica y la media armónica pueden interpretarse como medias de Fréchet para diferentes funciones de distancia.

Definición

Sea ( M , d ) un espacio métrico completo. Sean x ₁ , x ₂ , …, x _N puntos en M . Para cualquier punto p en M , defina la varianza de Fréchet como la suma de las distancias al cuadrado desde p hasta x _i :

${\displaystyle \Psi (p)=\sum _{i=1}^{N}d^{2}(p,x_{i})}$

Las medias de Karcher son entonces aquellos puntos, m de M , que minimizan Ψ: ^[2]

${\displaystyle m=\mathop {\text{arg min}} _{p\in M}\sum _{i=1}^{N}d^{2}(p,x_{i})}$

Si hay un m único de M que minimiza estrictamente Ψ, entonces es la media de Fréchet .

A veces, a las x _i se les asignan pesos w _i . Entonces, las varianzas de Fréchet y la media de Fréchet se definen utilizando sumas ponderadas:

${\displaystyle \Psi (p)=\sum _{i=1}^{N}w_{i}\,d^{2}(p,x_{i}),\;\;\;\;m=\mathop {\text{arg min}} _{p\in M}\sum _{i=1}^{N}w_{i}d^{2}(p,x_{i}).}$

Ejemplos de Fréchet significa

Media aritmética y mediana

Para los números reales, la media aritmética es una media de Fréchet, que utiliza la distancia euclidiana habitual como función de distancia.

La mediana también es una media de Fréchet, si la definición de la función Ψ se generaliza a la función no cuadrática.

${\displaystyle \Psi (p)=\sum _{i=1}^{N}d^{\alpha }(p,x_{i}),}$

donde , y la distancia euclidiana es la función de distancia d . ^[3] En espacios de dimensiones superiores, esto se convierte en la mediana geométrica . ${\displaystyle \alpha =1}$

Media geométrica

En los números reales positivos, se puede definir la función de distancia (hiperbólica) . La media geométrica es la media de Fréchet correspondiente. En efecto, es entonces una isometría del espacio euclidiano a este espacio "hiperbólico" y debe respetar la media de Fréchet: la media de Fréchet de es la imagen de la media de Fréchet (en sentido euclidiano) de , es decir, debe ser: ${\displaystyle d(x,y)=|\log(x)-\log(y)|}$ ${\displaystyle f:x\mapsto e^{x}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(x_{i})}$

${\displaystyle f\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f^{-1}(x_{i})\right)=\exp \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\log x_{i}\right)={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}}}$.

Media armónica

En los números reales positivos , la métrica (función distancia):

${\displaystyle d_{\operatorname {H} }(x,y)=\left|{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}\right|}$

Se puede definir. La media armónica es la media de Fréchet correspondiente. ^{[ cita requerida ]}

El poder significa

Dado un número real distinto de cero , la media de potencia se puede obtener como una media de Fréchet introduciendo la métrica ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle m}$

${\displaystyle d_{m}(x,y)=\left|x^{m}-y^{m}\right|}$

f-media

Dada una función invertible y continua , la f-media se puede definir como la media de Fréchet obtenida utilizando la métrica: ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle f}$

${\displaystyle d_{f}(x,y)=\left|f(x)-f(y)\right|}$

Esto a veces se denomina media f generalizada o media cuasiaritmética .

Media ponderada

La definición general de la media de Fréchet que incluye la posibilidad de ponderar las observaciones puede utilizarse para derivar versiones ponderadas para todos los tipos de medias mencionados anteriormente.

Véase también

• Media circular
• Distancia de Fréchet
• Estimador M
• Mediana geométrica

Referencias

1. Arboleda, Karsten; Karcher, Hermann (1973), "Cómo conjugar acciones de grupo cerrado C1, Math.Z. 132", Mathematische Zeitschrift , 132 (1): 11–20, doi :10.1007/BF01214029.
2. Nielsen, Frank; Bhatia, Rajendra (2012), Geometría de información matricial, Springer, pág. 171, ISBN 9783642302329.
3. Nielsen y Bhatia (2012), pág. 136.