Si p es un número real distinto de cero y son números reales positivos, entonces la media generalizada o media potencia con exponente p de estos números reales positivos es [2] [3]
(Ver p -norma ). Para p = 0 lo igualamos a la media geométrica (que es el límite de las medias con exponentes cercanos a cero, como se demuestra a continuación):
Además, para una secuencia de pesos positivos w i definimos la potencia media ponderada como [2]
A los efectos de la prueba, asumiremos sin pérdida de generalidad que
y
Podemos reescribir la definición de uso de la función exponencial como
En el límite p → 0 , podemos aplicar la regla de L'Hôpital al argumento de la función exponencial. Suponemos que pero p ≠ 0 , y que la suma de w i es igual a 1 (sin pérdida de generalidad); [7] Diferenciando el numerador y denominador con respecto a p , tenemos
Por la continuidad de la función exponencial, podemos sustituir nuevamente en la relación anterior para obtener
como se desee. [2]
Prueba de y
Suponga (posiblemente después de volver a etiquetar y combinar términos) que . Entonces
La fórmula para sigue de
Propiedades
Sea una secuencia de números reales positivos, entonces se cumplen las siguientes propiedades: [1]
.
Cada media generalizada siempre se encuentra entre el menor y el mayor de los valores de x .
, donde es un operador de permutación.
Cada media generalizada es una función simétrica de sus argumentos; permutar los argumentos de una media generalizada no cambia su valor.
.
Como la mayoría de las medias , la media generalizada es una función homogénea de sus argumentos x 1 ,..., x n . Es decir, si b es un número real positivo, entonces la media generalizada con exponente p de los números es igual a b multiplicado por la media generalizada de los números x 1 , ..., x n .
.
Al igual que las medias cuasi aritméticas , el cálculo de la media se puede dividir en cálculos de subbloques de igual tamaño. Esto permite el uso de un algoritmo de divide y vencerás para calcular las medias, cuando sea conveniente.
Desigualdad media generalizada
En general, si p < q , entonces
x 1 = x 2 = ... = x n
La desigualdad es cierta para los valores reales de p y q , así como para los valores infinitos positivos y negativos.
Demostraremos la desigualdad media ponderada. A los efectos de la prueba asumiremos lo siguiente sin pérdida de generalidad:
La prueba de las medias de potencia no ponderadas se puede obtener fácilmente sustituyendo wi = 1/ n .
Equivalencia de desigualdades entre medias de signos opuestos
Supongamos que se cumple un promedio entre potencias con exponentes p y q :
Elevamos ambos lados a la potencia de −1 (función estrictamente decreciente en reales positivos):
Obtenemos la desigualdad para medias con exponentes − p y − q , y podemos usar el mismo razonamiento al revés, demostrando así que las desigualdades son equivalentes, lo que se usará en algunas de las demostraciones posteriores.
Significado geometrico
Para cualquier q > 0 y pesos no negativos que sumen 1, se cumple la siguiente desigualdad:
Aplicando la función exponencial a ambos lados y observando que como función estrictamente creciente conserva el signo de la desigualdad, obtenemos
Tomando q -ésimas potencias de x i se obtiene
Por lo tanto, hemos terminado con la desigualdad con q positivo ; el caso de los negativos es idéntico excepto para los signos intercambiados en el último paso:
Por supuesto, elevando cada lado a la potencia de un número negativo -1/ q se intercambia la dirección de la desigualdad.
Desigualdad entre dos medios de poder cualesquiera.
Debemos demostrar que para cualquier p < q se cumple la siguiente desigualdad:
pq
La prueba de p y q positivas es la siguiente: Defina la siguiente función: f : R + → R + . f es una función potencia, por lo que tiene una segunda derivada:
fq > pque f
Usando esto y la desigualdad de Jensen obtenemos:
1/ q1/ q
Usando la equivalencia mostrada anteriormente, podemos probar la desigualdad para p y q negativos reemplazándolos con −q y −p , respectivamente.
Esto cubre la media geométrica sin usar un límite con f ( x ) = log ( x ) . La potencia media se obtiene para f ( x ) = x p . Las propiedades de estos medios se estudian en de Carvalho (2016). [3]
Aplicaciones
Procesamiento de la señal
Una media de potencia sirve a una media móvil no lineal que se desplaza hacia valores de señal pequeños para p pequeños y enfatiza valores de señales grandes para p grandes . Dada una implementación eficiente de una media aritmética móvil llamada, smoothse puede implementar una media de potencia móvil de acuerdo con el siguiente código Haskell .
powerSmooth :: Flotante a => ([ a ] -> [ a ]) -> a -> [ a ] -> [ a ] powerSmooth smooth p = map ( ** recip p ) . liso . mapa ( ** p )
^ Si AC = a y BC = b . OC = AM de a y b , y radio r = QO = OG. Usando el teorema de Pitágoras , QC² = QO² + OC² ∴ QC = √ QO² + OC² = QM . Usando el teorema de Pitágoras, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √ OC² − OG² = GM . Usando triángulos semejantes ,HC/GC=GC/jefe∴ HC =GC²/jefe= HM .
Referencias
^ ab Sýkora, Stanislav (2009). "Medias y promedios matemáticos: propiedades básicas". Biblioteca de Stan . III . Castano Primo, Italia: Biblioteca Stan. doi :10.3247/SL3Math09.001.
^ abc PS Bullen: Manual de medios y sus desigualdades . Dordrecht, Países Bajos: Kluwer, 2003, págs. 175-177
^ ab de Carvalho, Miguel (2016). "Quiero decir, ¿qué quieres decir?". El estadístico estadounidense . 70 (3): 764‒776. doi :10.1080/00031305.2016.1148632. hdl : 20.500.11820/fd7a8991-69a4-4fe5-876f-abcd2957a88c .
^ Thompson, Sylvanus P. (1965). Cálculo simplificado. Educación Superior Internacional Macmillan. pag. 185.ISBN9781349004874. Consultado el 5 de julio de 2020 .[ enlace muerto permanente ]
^ Jones, Alan R. (2018). Probabilidad, estadística y otras cosas aterradoras. Rutledge. pag. 48.ISBN9781351661386. Consultado el 5 de julio de 2020 .
^ Manual de medias y sus desigualdades (Matemáticas y sus aplicaciones) .
Otras lecturas
Bullen, PS (2003). "Capítulo III - Los Medios de Poder". Manual de medios y sus desigualdades . Dordrecht, Países Bajos: Kluwer. págs. 175-265.