Media móvil

Tipo de medida estadística sobre subconjuntos de un conjunto de datos

Suavizado de un seno ruidoso (curva azul) con una media móvil (curva roja).

En estadística , un promedio móvil ( promedio móvil o promedio móvil o media móvil ^[1] o media móvil ) es un cálculo para analizar puntos de datos mediante la creación de una serie de promedios de diferentes selecciones del conjunto de datos completo. Las variaciones incluyen: formas simples, acumulativas o ponderadas.

Matemáticamente, una media móvil es un tipo de convolución . Por lo tanto, en el procesamiento de señales se considera un filtro de respuesta de impulso finito de paso bajo . Debido a que la función furgón describe sus coeficientes de filtro, se denomina filtro furgón . A veces va seguido de una reducción de resolución .

Dada una serie de números y un tamaño de subconjunto fijo, el primer elemento de la media móvil se obtiene tomando el promedio del subconjunto fijo inicial de la serie numérica. Luego, el subconjunto se modifica "avanzando"; es decir, excluyendo el primer número de la serie e incluyendo el siguiente valor del subconjunto.

Una media móvil se utiliza habitualmente con datos de series temporales para suavizar las fluctuaciones a corto plazo y resaltar tendencias o ciclos a largo plazo. El umbral entre el corto y el largo plazo depende de la aplicación y los parámetros de la media móvil se establecerán en consecuencia. También se utiliza en economía para examinar el producto interno bruto, el empleo u otras series de tiempo macroeconómicas. Cuando se utiliza con datos que no son series de tiempo, un promedio móvil filtra componentes de mayor frecuencia sin ninguna conexión específica con el tiempo, aunque normalmente implica algún tipo de ordenamiento. Visto de manera simplista, se puede considerar que suaviza los datos.

media móvil simple

En aplicaciones financieras, una media móvil simple ( SMA ) es la media no ponderada de los puntos de datos anteriores. Sin embargo, en ciencia e ingeniería, la media normalmente se toma de un número igual de datos a ambos lados de un valor central. Esto asegura que las variaciones en la media estén alineadas con las variaciones en los datos en lugar de desplazarse en el tiempo. ${\displaystyle k}$Un ejemplo de media móvil simple igualmente ponderada es la media de las últimas entradas de un conjunto de datos que contiene entradas. Dejemos que esos puntos de datos sean . Estos podrían ser los precios de cierre de una acción. La media de los últimos puntos de datos (días en este ejemplo) se denota y se calcula como: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\textit {SMA}}_{k}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\textit {SMA}}_{k}&={\frac {p_{n-k+1}+p_{n-k+2}+\cdots +p_{n}}{k}}\\&={\frac {1}{k}}\sum _{i=n-k+1}^{n}p_{i}\end{aligned}}}$$

Al calcular la siguiente media con el mismo ancho de muestreo, se considera el rango de hasta . Un nuevo valor entra en la suma y el valor más antiguo desaparece. Esto simplifica los cálculos al reutilizar la media anterior . ${\displaystyle {\textit {SMA}}_{k,{\text{next}}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n-k+2}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle p_{n+1}}$ ${\displaystyle p_{n-k+1}}$ ${\displaystyle {\textit {SMA}}_{k,{\text{prev}}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\textit {SMA}}_{k,{\text{next}}}&={\frac {1}{k}}\sum _{i=n-k+2}^{n+1}p_{i}\\&={\frac {1}{k}}{\Big (}\underbrace {p_{n-k+2}+p_{n-k+3}+\dots +p_{n}+p_{n+1}} _{\sum _{i=n-k+2}^{n+1}p_{i}}+\underbrace {p_{n-k+1}-p_{n-k+1}} _{=0}{\Big )}\\&=\underbrace {{\frac {1}{k}}{\Big (}p_{n-k+1}+p_{n-k+2}+\dots +p_{n}{\Big )}} _{={\textit {SMA}}_{k,{\text{prev}}}}-{\frac {p_{n-k+1}}{k}}+{\frac {p_{n+1}}{k}}\\&={\textit {SMA}}_{k,{\text{prev}}}+{\frac {1}{k}}{\Big (}p_{n+1}-p_{n-k+1}{\Big )}\end{aligned}}}$$

búfer circular

Durante el llenado inicial del búfer circular/FIFO, la ventana de muestreo es igual al tamaño del conjunto de datos, por lo que el cálculo promedio se realiza como un promedio móvil acumulativo. ${\displaystyle k=n}$

El período seleccionado ( ) depende del tipo de movimiento de interés, como corto, mediano o largo plazo. ${\displaystyle k}$

Si los datos utilizados no se centran alrededor de la media, un promedio móvil simple se retrasa con respecto al último dato en la mitad del ancho de la muestra. Una SMA también puede verse influenciada de manera desproporcionada por la eliminación de datos antiguos o la entrada de nuevos datos. Una característica de la SMA es que si los datos tienen una fluctuación periódica, la aplicación de una SMA de ese período eliminará esa variación (el promedio siempre contiene uno). ciclo completo). Pero rara vez se encuentra un ciclo perfectamente regular. ^[2]

Para una serie de aplicaciones, resulta ventajoso evitar el cambio inducido por el uso sólo de datos "pasados". Por lo tanto, se puede calcular una media móvil central utilizando datos equiespaciados a ambos lados del punto de la serie donde se calcula la media. ^[3] Esto requiere utilizar un número impar de puntos en la ventana de muestra.

Un inconveniente importante del SMA es que deja pasar una cantidad significativa de señal más corta que la longitud de la ventana. Peor aún, en realidad lo invierte. ^{[ cita necesaria ]} Esto puede provocar artefactos inesperados, como picos en el resultado suavizado que aparecen donde había valles en los datos. También hace que el resultado sea menos fluido de lo esperado, ya que algunas de las frecuencias más altas no se eliminan adecuadamente.

Su respuesta en frecuencia es un tipo de filtro de paso bajo llamado sinc-in-frequency .

Promedio acumulado

En un promedio acumulativo ( CA ), los datos llegan en un flujo de datos ordenado y al usuario le gustaría obtener el promedio de todos los datos hasta el dato actual. Por ejemplo, un inversor puede querer el precio promedio de todas las transacciones de acciones de una acción en particular hasta el momento actual. A medida que ocurre cada nueva transacción, el precio promedio en el momento de la transacción se puede calcular para todas las transacciones hasta ese momento utilizando el promedio acumulado, generalmente un promedio igualmente ponderado de la secuencia de n valores hasta el momento actual: ${\displaystyle x_{1}.\ldots ,x_{n}}$

$${\displaystyle {\textit {CA}}_{n}={{x_{1}+\cdots +x_{n}} \over n}\,.}$$

El método de fuerza bruta para calcular esto sería almacenar todos los datos y calcular la suma y dividirlos por el número de puntos cada vez que llegue un nuevo dato. Sin embargo, es posible simplemente actualizar el promedio acumulado a medida que un nuevo valor esté disponible, usando la fórmula ${\displaystyle x_{n+1}}$

$${\displaystyle {\textit {CA}}_{n+1}={{x_{n+1}+n\cdot {\textit {CA}}_{n}} \over {n+1}}.}$$

Por lo tanto, el promedio acumulado actual para un nuevo dato es igual al promedio acumulado anterior, multiplicado por n , más el último dato, todo dividido por el número de puntos recibidos hasta el momento, n +1. Cuando lleguen todos los datos ( n = N ), el promedio acumulado será igual al promedio final. También es posible almacenar un total acumulado de los datos, así como el número de puntos y dividir el total por el número de puntos para obtener el CA cada vez que llega un nuevo dato.

La derivación de la fórmula del promedio acumulativo es sencilla. Usando

$${\displaystyle x_{1}+\cdots +x_{n}=n\cdot {\textit {CA}}_{n}}$$

n + 1

$${\displaystyle x_{n+1}=(x_{1}+\cdots +x_{n+1})-(x_{1}+\cdots +x_{n})}$$

$${\displaystyle x_{n+1}=(n+1)\cdot {\textit {CA}}_{n+1}-n\cdot {\textit {CA}}_{n}}$$

Resolver esta ecuación para obtener resultados en ${\displaystyle {\textit {CA}}_{n+1}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\textit {CA}}_{n+1}&={x_{n+1}+n\cdot {\textit {CA}}_{n} \over {n+1}}\\[6pt]&={x_{n+1}+(n+1-1)\cdot {\textit {CA}}_{n} \over {n+1}}\\[6pt]&={(n+1)\cdot {\textit {CA}}_{n}+x_{n+1}-{\textit {CA}}_{n} \over {n+1}}\\[6pt]&={{\textit {CA}}_{n}}+{{x_{n+1}-{\textit {CA}}_{n}} \over {n+1}}\end{aligned}}}$$

Media móvil ponderada

Un promedio ponderado es un promedio que tiene factores multiplicadores para dar diferentes pesos a los datos en diferentes posiciones en la ventana de muestra. Matemáticamente, la media móvil ponderada es la convolución de los datos con una función de ponderación fija. Una aplicación elimina la pixelización de una imagen gráfica digital. ^{[ cita necesaria ]}

En el ámbito financiero, y más concretamente en los análisis de datos financieros, una media móvil ponderada (WMA) tiene el significado específico de ponderaciones que disminuyen en progresión aritmética. ^[4] En un WMA de n días, el último día tiene peso n , el segundo más reciente , etc., hasta uno. ${\displaystyle n-1}$

$${\displaystyle {\text{WMA}}_{M}={np_{M}+(n-1)p_{M-1}+\cdots +2p_{((M-n)+2)}+p_{((M-n)+1)} \over n+(n-1)+\cdots +2+1}}$$

Pesos WMA n = 15

El denominador es un número triangular igual a. En el caso más general, el denominador siempre será la suma de los pesos individuales. ${\textstyle {\frac {n(n+1)}{2}}.}$

Al calcular el WMA entre valores sucesivos, la diferencia entre los numeradores de y es . Si denotamos la suma por , entonces ${\displaystyle {\text{WMA}}_{M+1}}$ ${\displaystyle {\text{WMA}}_{M}}$ ${\displaystyle np_{M+1}-p_{M}-\dots -p_{M-n+1}}$ ${\displaystyle p_{M}+\dots +p_{M-n+1}}$ ${\displaystyle {\text{Total}}_{M}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Total}}_{M+1}&={\text{Total}}_{M}+p_{M+1}-p_{M-n+1}\\[3pt]{\text{Numerator}}_{M+1}&={\text{Numerator}}_{M}+np_{M+1}-{\text{Total}}_{M}\\[3pt]{\text{WMA}}_{M+1}&={{\text{Numerator}}_{M+1} \over n+(n-1)+\cdots +2+1}\end{aligned}}}$$

El gráfico de la derecha muestra cómo disminuyen las ponderaciones, desde la ponderación más alta para los datos más recientes hasta cero. Se puede comparar con los pesos de la media móvil exponencial que sigue.

Media móvil exponencial

Una media móvil exponencial (EMA) , también conocida como media móvil ponderada exponencialmente (EWMA) , ^{[5] es un filtro} de respuesta al impulso infinito de primer orden que aplica factores de ponderación que disminuyen exponencialmente . La ponderación de cada dato más antiguo disminuye exponencialmente y nunca llega a cero. Esta formulación es según Hunter (1986). ^[6]

Otras ponderaciones

Ocasionalmente se utilizan otros sistemas de ponderación; por ejemplo, en la negociación de acciones, una ponderación de volumen ponderará cada período de tiempo en proporción a su volumen de negociación.

Otra ponderación, utilizada por los actuarios, es la media móvil de 15 puntos de Spencer ^[7] (una media móvil central). Sus coeficientes de peso simétricos son [−3, −6, −5, 3, 21, 46, 67, 74, 67, 46, 21, 3, −5, −6, −3], que se factorizan como[1, 1, 1, 1]×[1, 1, 1, 1]×[1, 1, 1, 1, 1]×[−3, 3, 4, 3, −3]/320y deja muestras de cualquier polinomio cuadrático o cúbico sin cambios. ^{[8] [9]}

Fuera del mundo de las finanzas, los medios ponderados tienen muchas formas y aplicaciones. Cada función de ponderación o "kernel" tiene sus propias características. En ingeniería y ciencia, la respuesta de frecuencia y fase del filtro suele ser de primordial importancia para comprender las distorsiones deseadas y no deseadas que un filtro particular aplicará a los datos.

Una media no sólo "suaviza" los datos. Una media es una forma de filtro de paso bajo. Se deben comprender los efectos del filtro particular utilizado para tomar la decisión adecuada. A este respecto, la versión francesa de este artículo analiza los efectos espectrales de tres tipos de medias (acumulativas, exponenciales y gaussianas).

Mediana móvil

Desde un punto de vista estadístico, la media móvil, cuando se utiliza para estimar la tendencia subyacente en una serie temporal, es susceptible a eventos raros como shocks rápidos u otras anomalías. Una estimación más sólida de la tendencia es la mediana móvil simple en n puntos temporales:

$${\displaystyle {\widetilde {p}}_{\text{SM}}={\text{Median}}(p_{M},p_{M-1},\ldots ,p_{M-n+1})}$$

mediananlista de omisión indexable^[10]

Estadísticamente, la media móvil es óptima para recuperar la tendencia subyacente de la serie temporal cuando las fluctuaciones sobre la tendencia se distribuyen normalmente . Sin embargo, la distribución normal no otorga una alta probabilidad a las desviaciones muy grandes de la tendencia, lo que explica por qué dichas desviaciones tendrán un efecto desproporcionadamente grande en la estimación de la tendencia. Se puede demostrar que si se supone que las fluctuaciones tienen la distribución de Laplace , entonces la mediana móvil es estadísticamente óptima. ^[11] Para una varianza dada, la distribución de Laplace otorga una mayor probabilidad a los eventos raros que los normales, lo que explica por qué la mediana móvil tolera los shocks mejor que la media móvil.

Cuando la mediana móvil simple de arriba es central, el suavizado es idéntico al filtro de mediana que tiene aplicaciones, por ejemplo, en el procesamiento de señales de imágenes. La mediana móvil es una alternativa más sólida a la media móvil cuando se trata de estimar la tendencia subyacente en una serie temporal. Si bien la media móvil es óptima para recuperar la tendencia si las fluctuaciones alrededor de la tendencia se distribuyen normalmente, es susceptible al impacto de eventos raros como shocks rápidos o anomalías. Por el contrario, la mediana móvil, que se encuentra clasificando los valores dentro de la ventana de tiempo y encontrando el valor en el medio, es más resistente al impacto de eventos tan raros. Esto se debe a que, para una varianza dada, la distribución de Laplace, que asume la mediana móvil, otorga mayor probabilidad a eventos raros que la distribución normal que asume la media móvil. Como resultado, la mediana móvil proporciona una estimación más confiable y estable de la tendencia subyacente incluso cuando la serie temporal se ve afectada por grandes desviaciones de la tendencia. Además, el suavizado de mediana móvil es idéntico al filtro de mediana, que tiene varias aplicaciones en el procesamiento de señales de imágenes.

Modelo de regresión de media móvil

En un modelo de regresión de media móvil , se supone que una variable de interés es una media móvil ponderada de términos de error independientes no observados; los pesos en la media móvil son parámetros a estimar.

Estos dos conceptos a menudo se confunden debido a su nombre, pero si bien comparten muchas similitudes, representan métodos distintos y se utilizan en contextos muy diferentes.

Ver también

• Suavizado exponencial
• Regresión local (LOESS y LOWESS)
• Alisado del grano
• Indicador de convergencia/divergencia de media móvil
• Martingala (teoría de la probabilidad)
• Cruce de media móvil
• Mover mínimos cuadrados
• Media móvil ascendente
• hachís rodante
• Total acumulado
• Filtro Savitzky-Golay
• Función de ventana
• Media móvil exponencial de retraso cero

Referencias

1. Variabilidad hidrológica de la llanura aluvial del río Cosumnes (Booth et al., San Francisco Estuary and Watershed Science, volumen 4, número 2, 2006)
2. Análisis estadístico , Ya-lun Chou, Holt International, 1975, ISBN  0-03-089422-0 , sección 17.9.
3. La derivación y las propiedades de la media móvil central simple se dan en su totalidad en el filtro Savitzky-Golay .
4. "Promedios móviles ponderados: conceptos básicos". Investopedia.
5. "TRATAMIENTO DEL RUIDO DE MEDICIÓN - Filtro de promedio". Archivado desde el original el 29 de marzo de 2010 . Consultado el 26 de octubre de 2010 .
6. Manual electrónico de métodos estadísticos de NIST / SEMATECH: suavizado exponencial único en el Instituto Nacional de Estándares y Tecnología
7. Media móvil de 15 puntos de Spencer - de Wolfram MathWorld
8. Rob J Hyndman. "Promedios móviles". 2009-11-08. Consultado el 20 de agosto de 2020.
9. Aditya Guntuboyina. "Estadísticas 153 (serie temporal): tercera conferencia". 2012-01-24. Consultado el 7 de enero de 2024.
10. "Mediana de ejecución eficiente utilizando una lista de omisión indexable« Recetas de Python «Código ActiveState".
11. GR Arce, "Procesamiento de señales no lineales: un enfoque estadístico", Wiley: Nueva Jersey, EE. UU., 2005.