Conjunto de cohomotopía

En matemáticas , particularmente en topología algebraica , los conjuntos de cohomotopía son functores contravariantes particulares de la categoría de espacios topológicos puntiagudos y mapas continuos que preservan puntos de base a la categoría de conjuntos y funciones . Son duales a los grupos de homotopía , pero menos estudiados.

Descripción general

El p -ésimo conjunto de cohomotopía de un espacio topológico puntiagudo X está definido por

${\displaystyle \pi ^{p}(X)=[X,S^{p}]}$

el conjunto de clases de homotopía puntuales de asignaciones continuas desde la esfera p . ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{p}}$

Para p = 1 este conjunto tiene una estructura de grupo abeliano y se denomina grupo de Bruschlinsky . Siempre que sea un complejo CW , es isomorfo al primer grupo de cohomología , ya que el círculo es un espacio de tipo Eilenberg-MacLane . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{1}(X)}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)}$

Un teorema de Heinz Hopf establece que si es un complejo CW de dimensión como máximo p , entonces está en biyección con el p -ésimo grupo de cohomología . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [X,S^{p}]}$ ${\displaystyle H^{p}(X)}$

El conjunto también tiene una estructura de grupo natural si es una suspensión , como una esfera para . ${\displaystyle [X,S^{p}]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma Y}$ ${\displaystyle S^{q}}$ ${\displaystyle q\geq 1}$

Si X no es homotópicamente equivalente a un complejo CW, entonces podría no ser isomorfo a . Un contraejemplo lo da el círculo de Varsovia , cuyo primer grupo de cohomología desaparece, pero admite un mapa que no es homotópico a un mapa constante. ^[2] ${\displaystyle H^{1}(X)}$ ${\displaystyle [X,S^{1}]}$ ${\displaystyle S^{1}}$

Propiedades

Algunos datos básicos sobre los conjuntos de cohomotopía, algunos más obvios que otros:

• ${\displaystyle \pi ^{p}(S^{q})=\pi _{q}(S^{p})}$para todo p y q .
• Para y , el grupo es igual a . (Para probar este resultado, Lev Pontryagin desarrolló el concepto de cobordismo enmarcado ). ${\displaystyle q=p+1}$ ${\displaystyle p>2}$ ${\displaystyle \pi ^{p}(S^{q})}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$
• Si tiene para todo x , entonces , y la homotopía es suave si f y g lo son. ${\displaystyle f,g\colon X\to S^{p}}$ ${\displaystyle \|f(x)-g(x)\|<2}$ ${\displaystyle [f]=[g]}$
• Para una variedad compacta y suave , es isomorfa al conjunto de clases de homotopía de mapas suaves ; en este caso, cada mapa continuo puede aproximarse uniformemente mediante un mapa suave y cualquier mapa homotópico suave será suavemente homotópico. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi ^{p}(X)}$ ${\displaystyle X\to S^{p}}$
• Si es una variedad , entonces para . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \pi ^{p}(X)=0}$ ${\displaystyle p>m}$
• Si es una variedad con límite , el conjunto está canónicamente en biyección con el conjunto de clases de cobordismo de subvariedades enmarcadas en codimensión - p del interior . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \pi ^{p}(X,\partial X)}$ ${\displaystyle X\setminus \partial X}$
• El grupo de cohomotopía estable es el colimit. ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \pi _{s}^{p}(X)=\varinjlim _{k}{[\Sigma ^{k}X,S^{p+k}]}}$

que es un grupo abeliano.

Historia

Los conjuntos de cohomotopía fueron introducidos por Karol Borsuk en 1936. ^[3] Edwin Spanier realizó un examen sistemático en 1949. ^[4] Los grupos de cohomotopía estables fueron definidos por Franklin P. Peterson en 1956. ^[5]

Referencias

1. "Cohomotopy_group", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
2. "El Círculo Polaco y algunas de sus propiedades inusuales". Notas de conferencias de Matemáticas 205B-2012, Universidad de California Riverside. Consultado el 16 de noviembre de 2023. Véase también el diagrama adjunto "Construcciones en el círculo polaco".
3. K. Borsuk, Continúa Sur les groupes des Classes de Transformations , Comptes Rendue de Academie de Science. París 202 (1936), núm. 1400-1403, 2
4. E. Spanier, grupos de cohomotopía de Borsuk , Annals of Mathematics. Segunda Serie 50 (1949), 203–245. SEÑOR 29170 https://doi.org/10.2307/1969362 https://www.jstor.org/stable/1969362
5. FP Peterson, Grupos de cohomotopía generalizada , American Journal of Mathematics 78 (1956), 259–281. Señor 0084136